沪教版（五四制）数学九上第24章 《相似三角形》 单元综合检测（难点）（原卷+解析卷）

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第24章 相似三角形 单元综合检测（难点）一、单选题1．如图，已知，求作，则下列作图正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作CE∥BD，交于，则即，再根据，即可得出结论．【解析】如图，需要在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作CE∥BD，交于，则，即，所以；因为，所以DE=x即即为所求．故选：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的基本作图，熟练掌握定理是解题的关键．2．如图，下列四个三角形中，与相似的是（    ）  A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】先根据勾股定理算出的边长，再将各选项三角形边长算出，判断与各边是否能形成比例，得出答案．【解析】解：根据勾股定理得，，，选项A中，三角形三边长分别是2，，，与三边不成比例，故A选项不正确．选项B中，三角形三边长分别是2，4，，与成比例，比例为，根据三边成比例的两个三角形相似，故B选项正确．选项C中，三角形三边长分别是2，3，，与三边不成比例，故C选项不正确．选项D中，三角形三边长分别是，，4，与三边不成比例，故D选项不正确．故答案选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定等内容，其中三边成比例的两个三角形相似是解决问题的关键．3．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．【解析】解∵，∴，若，，∴，故A不符合题意；若，，∴，故B不符合题意；若，，∴，故C不符合题意；∵，，∴无法判断与相似，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，熟记知识点是解题关键．4．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是……（ ）A．； B．； C．； D．【答案】B【解析】试题分析：把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．AC2=BC•AB，AC2-BC•AB=0，AC2-（AB-AC）AB=0，AC2+AB•AC-AB2=0，AC=，∵边长为正值，∴AC=AB，BC=AB-AC=，∴,即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选B．考点：黄金分割.5．如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（    ）    A． B． C．5 D．6【答案】D【分析】过C作延长线于M，根据，设，由菱形的性质表示出，由平行线分线段成比例表示出，根据勾股定理列方程计算即可．【解析】解：过C作延长线于M，  ∵，∴设，∴，∵点E是边的中点，∴，∵菱形，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．6．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解析】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．B、，计算正确，故本选项符合题意．C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．【解析】解：A、，由平行线分线段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，，故该选项正确，不符合题意；B、，，，，，为的中点，，，故该选项正确，不符合题意；C、，由平行线分线段成比例定理可得，，，由平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，即，，故该选项正确，不符合题意；D、，由平行线分线段成比例定理可得，，由平行线分线段成比例定理可得，只有当为中点时，即时，由于题中并未给出相关条件，故该选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查线段成比例，涉及平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、中点的定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．8．如图，矩形，E是的中点，连接，过点E作交CD于点F，连接，设．下列结论中错误的是（    ）A． B．平分C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据相似三角形的判定和性质逐项证明即可作出判断．【解析】解：A．如图，∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，故选项正确，不符合题意；B．∵，∴，∵E是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，故选项正确，不符合题意；C．当时，即，设，，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选项正确，不符合题意；D．当时，,∵点E为的中点，∴，∵，∴，∴，∴是三角形，而的两直角边的比为，∴与不相似，故选项错误，符合题意，故选：D【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．9．如图，在矩形中，，，垂足为E，，点P、Q分别在上，则的最小值为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，证明，则，得，解得，在中，由勾股定理列方程得到，则，，设A点关于的对称点为，连接，则当、P、Q三点在一条线上时，最小，由垂线段最短可知当时，最小，即可得到的最小值．【解析】解：设，则，∵四边形为矩形，且，∴，∴，，∴,∴，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，，如图，设A点关于的对称点为，连接，则，，  ∴是等边三角形，∵，∴当、P、Q三点在一条线上时，最小，由垂线段最短可知当时，最小，∴，故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（    ）  A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】如图1中，证明，，可得，可得，，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，证明，可得，即，可得，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，可得④错误，如图1中，于H，，同理可得：，可得，结合，可得⑤正确．【解析】解：如图1中，  ∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，  ∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，  如图1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正确，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题11．两个相似三角形的一组对应边长分别为和，它们的周长之差为，那么其中较大的三角形的周长为 ．【答案】【分析】先求出相似比，进而求出周长之比，再根据它们的周长之差为列出方程求解即可．【解析】解：∵两个相似三角形的一组对应边长分别为和，∴两个三角形的相似比为，∴两个三角形的周长之比为，设较大的三角形的周长为，则较小的三角形的周长为，∵它们的周长之差为，∴，解得，∴其中较大的三角形的周长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．12．如图，梯形中，，，，则 ．  【答案】4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．【解析】解：∵∴，，，，,故答案为：4．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质．13．如图，已知点G是的重心，设，那么用可表示为 ．  【答案】【分析】根据三角形重心的性质得出D点是边的中点，求出，再由向量的加法法则求出，然后根据G是的重心即可求出．【解析】如图，D点是边的中点，G是的重心，∵，，D点是边的中点，∴，∴，∵G是的重心，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角形的重心，向量的计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．如图，在中，是的中点，是的中点，则的长为 ．    【答案】【分析】如图，取的中点F，连接，由中位线定理得，由平行线分线段成比例定理，得，所以，得出结论．【解析】解：如图，取的中点F，连接，∵，∴是的中位线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．    【点睛】本题考查中位线定理，平行线分线段成比例定理，添加辅助线，构造中位线是解题的关键．15．如图，在中，，，点在线段上，，点在线段的延长线上，，连接，若的面积等于10，则的长为 ．  【答案】【分析】过点作于点，过点作于点，先证明，设，则，，再根据的面积等于10列方程，及勾股定理即可．【解析】解：过点作于点，过点作于点，    ，，， 在中，，，，，，，，，，解得：在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，掌握数形结合及转化思想方法是本题的关键．16．（1）是和的比例中项，则 ；（2）是和的比例中项，则 ；（3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 ．【答案】 厘米【分析】（1）根据比例中项的定义求出a与b的积，再整体代入求解即可．（2）根据比例中项的定义即可求解．（3）根据比例中项的定义即可求解．【解析】（1）由题意可知，由此，所以；故答案为：．（2）由题意可知，可解得；故答案为：．（3）因为、都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为（厘米）．故答案为：厘米．【点睛】本题考查了比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．17．在中，，在中，，点D、E分别在、上．（1）如图1，若，则与的数量关系是 ；（2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系是 ．  【答案】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理计算即可．（２）过点作交于点，求得，再证明列式计算即可．【解析】解：（1）  ，     ，         ．故答案为：．（2）过点作交于点， ，          ， ， ， 由， 得：，，， ，．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．18．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AC＝x，BC＝6，点M为边AB的中点， C关于AB的对称点是D，联结DM，若直线DM与△ABC的一条边垂直．则 AC＝ 【答案】6或或2【分析】分三种情况讨论：①M正好是CD与AB的交点；②DM⊥BC；③当DM⊥AC时解答即可．【解析】分三种情况讨论：①M正好是CD与AB的交点；C、D关于AB对称，DM⊥AB，∴点M为边AB的中点，∴CM=BM=AM，∴D、M、C在一条直线上，∵CM⊥AB，则∠B=∠A=45°，∴AC=BC=6，∴AC=6；②DM⊥BC；如图：点M为边AB的中点，延长DM交BC于E，DE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，DE⊥BC，∴AC∥DE，联结BD，∵C、D关于AB对称，∴DN=NC，∠BND=∠BNC=90°，∵BN=BN，∴Rt△BND≌Rt△BNC，∴BD=BC=6，∵点M为边AB的中点，DE∥AC，∴E为BC的中点，∠1=∠2，∴ME为△ACB的中位线，∴BE=BC=3，ME=AC=x，在Rt△DNM和Rt△CNA，∠1=∠2，DN=CN，∠DNM=∠CAN=90°，∴Rt△DNM≌Rt△CNA，∴DM=AC=x，在Rt△DEB中，BD²=BE²+DE²，即6²=3²+(x+x)²，解得：(舍去)，∴AC=；③当DM⊥AC时；同②可得Rt△BNC≌Rt△DNM，∴DM=BC=6，同②可得：ME为△ACB的中位线，∴ME=BC=×6=3，∴DE=DM+ME=6+3=9，∵∠A+∠ACD=∠D+∠ACD=90°，∴∠D=∠A，∵∠DEC=∠ACB=90°，∴Rt△DEC∽Rt△ACB，∴，∵CE=AC=x，∴，解得：(舍去)，∴AC=6，综上所述：AC的值为：6或2或6故答案为：6或或2．【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些性质，注意分类讨论思想的运用．三、解答题19．设，求的值．【答案】0【分析】根据分式基本性质，得，令，进而即可求解．【解析】根据分式基本性质，得，令，则有，，，三式相加，即得．【点睛】本题考查比例的性质的综合应用，掌握比例的性质，设参数求解是解题的关键．20．如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：    (1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，由为中点，即可证得；（2）根据平行线分线段成比例得出，等量代换后得到，再得出．【解析】（1）证明：，．，．由为中点，即可证得．（2）证明：连接．  ，．由（1）可得，，，．【点睛】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换．21．已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且．(1)求证：；(2)设，，请直接写出关于、的分解式．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，，进而得，，得， 再证得，从而即可得证； (2)由向量的差可知，，再证，从而．【解析】（1）证明：∵∴，∵四边形是平行四边形，∴，，，'，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，由（1） 知，，，，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．22．如图，在中，，过点C作，交的平分线于E．  (1)不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；(2)求证：．【答案】(1)①、②，证明见解析(2)见解析【分析】（1）相似三角形有①、②，利用直接证明；利用平行线的性质得到从而利用两角对应相等的两个三角形相似证明；（2）由、得到和，利用是的平分线和可以证明，从而得到.【解析】（1）①、②．证明①： 证明②： 又，；（2）由得∴ ， ∵是的平分线， ，， ，即．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等角对等边等知识，掌握相似三角形的判定与性质和模型“角平分线加平行线推导等腰三角形”是解题的关键．23．如图，在梯形中，，，点E为延长线上一点，，点F在上，联结．  (1)求证：；(2)如果，求证：四边形为梯形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意得四边形是等腰梯形，由等腰梯形的性质和已知条件可证明，根据相似比及等量替换即可求解；（2）由（1）中相似三角形可得对应边的相似比，根据给定条件和等腰梯形的性质，可证明，可得对应角相等，根据平行的性质和相似的性质，对相关角度进行等量替换，即可证明，即可证明结论成立．【解析】（1）证明：，四边形是等腰梯形又，即又（2），即，即，又四边形为梯形．【点睛】本题主要考查等腰梯形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰梯形的性质证明三角形相似，得出对应边成比例，由对应边成比例及夹角相等亦可得出三角形相似．24．如图，平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，动点P从O出发向A以每秒1个单位的速度移动，动点Q从A出发沿的路径以每秒2个单位的速度移动，当其中一个点运动到终点时运动停止，过点P作x轴的垂线，交线段或线段于点E，连接，设运动时间为t秒．(1)求直线解析式；(2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式，并写出定义域；(3)在运动过程中，能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值，若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)能，【分析】（1）根据平行四边形的性质可得点C的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解；（2）先求出，根据题意可得当时，点Q到达点B处，当时，点E到达点C处，当时，点Q到达点C处，然后分四种情况解答，即可求解；（3）分四种情况解答，即可求解．【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形，，∴，点C的纵坐标为4，点B到y轴的距离为10，∴点C的横坐标为3，∴点C的坐标为，设直线解析式为，∴，解得：，∴直线解析式为；（2）解：如图，过C作于点D，∵点C的坐标为，∴，∴，∴当时，点Q到达点B处，当时，点E到达点C处，当时，点Q到达点C处，根据题意得：，当时，点E在上，点Q在上，∵轴，∴，∴，∴，即，解得：，过点Q作轴于点M，则，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴；当时，点E在上，点Q在上，过点Q作轴于点F，根据题意：，∴，∴，∴；当点E与点Q相遇时，，解得：，当时，如图，，∴；当时，如图，，∴；综上所述，S关于t的函数解析式为；（3）解：能，理由如下：根据题意得：点P的坐标为，当时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，，∵，且，∴，当时，，解得：（舍去）；当时，，此方程无解；当时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，，∵，且，∴，当时，，解得：（舍去）或6（舍去）；当时，，此方程无解；当时，此时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，，当时，，解得：；当时，此时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，当时，，（舍去）；综上所述，当时，为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．25．在矩形中，，点为边中点，点关于的对称点为点，点在矩形内，连接．  (1)如图1，连接，当点恰好落在对角线上时，求的长度；(2)如图2，连接，如果，，请求出它们之间的函数关系式；(3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）通过矩形的性质和对称的性质，证明，从而得到，由，点为边中点，进行计算即可得到答案；（2）令和相交于点，由点关于的对称点为点，得到点为的中点，，从而得到为的中位线，即，根据勾股定理求得的长，根据三角形的面积得出，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案；（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行计算即可得到答案．【解析】（1）解：四边形是矩形，，点关于的对称点为点，，，，，，点为边中点，，，；（2）解：如图所示，令和相交于点，  ，点关于的对称点为点，点为的中点，，点为边中点，为的中位线，，，，，，，，，；（3）解：当时，如图所示：  ，点关于的对称点为点，，，；当时，如图所示：  ，作交于点，作交于，由题意可得：，，，，，，，，，，，，，，，由（2）可得：，，，，解得：，，的长为：或．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理、三角形的面积的计算等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解决问题，是解本题的关键．