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沪教版（五四制）数学九上26.3《二次函数y=ax²+bx+c的图象》（第2课时）（题型专训）（原卷+解析卷）
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26.3二次函数y=ax2 +bx+c的图像（第2课时）基础知识一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 要点： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．要点：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： (1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； (2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．∴ 即 （△＞0）． 四、抛物线与不等式的关系二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：注：a＜0的情况请同学们自己完成．要点：抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．过关检测一、单选题1．抛物线与x轴的交点坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过解方程即可得到抛物线的与x轴交点的坐标．【解析】解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3，所以抛物线的与x轴交点的坐标是（-1，0），（3，0）．故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n），B(m﹣8，n)，则n的值为（ ）A．8 B．12 C．15 D．16【答案】D【分析】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线x＝对称，所以A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．【解析】解：由题意b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），∴A、B关于直线x＝对称，∴A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，n＝（+4）2+b（+4）+c＝b2+16+c，∵b2＝4c，∴n＝16．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.3．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解．【解析】解：二次函数（m为常数）的对称轴是直线，关于的对称点是．则一元二次方程的两个实数根是．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，理解一元二次方程的解就是抛物线（m为常数）的图象与x轴的交点的横坐标是关键．4．如图是二次函数的部分图象，与y轴的交点A的坐标是，顶点B的坐标是，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线的开口向下C．当时， D．方程有两个解【答案】C【分析】根据二次函数的顶点坐标即可判断A；根据函数图象即可判断B和D；根据二次函数的对称性即可判断C．【解析】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数的对称轴为直线，故A不符合题意；由函数图象可知二次函数开口向下，故B不符合题意；∵二次函数与y轴的交点坐标为，∴由二次函数的对称性可知，当，，∴当时，或，故C符合题意；由函数图象可知，二次函数与直线有两个交点，即方程有两个解，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．5．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】B【分析】先由题意得到ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，再将方程变形求解即可．【解析】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，ax2+bx+c＝﹣x变形为ax2+（b+1）x+c＝0，∴ax2+（b+1）x+c＝0有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是理清一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象和一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况的关系．6．对于二次函数，下列结论错误的是（ ）A．它的图像与轴有两个交点 B．方程的两根之积为C．它的图像的对称轴在轴的右侧 D．时，随的增大而减小【答案】C【分析】直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．【解析】解：A、∵，∴二次函数的图像与轴有两个交点，该选项结论正确，故此选项不符合题意；B、方程，即的两根之积=，该选项结论正确，故此选项不符合题意；C、∵的值不能确定，∴它的图像的对称轴位置无法确定，该选项结论错误，故此选项符合题意；D、∵，对称轴，∴时，随的增大而减小，该选项结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识．正确掌握二次函数的性质是解题关键．7．如图，二次函数的图象的对称轴为x＝，且经过点（﹣2，0），（），（），下列说法正确的是（ ）A．bc＞0B．当≥﹣时， C．a＝2bD．不等式的解集是﹣2＜x＜【答案】B【分析】根据图形确定的符号，即可判断A选项，根据抛物线对称轴右边y随x的增大而增大，即可判断B选项，由对称轴为化简可得，即可判断C选项，根据对称性求得另一个交点坐标，进而根据图象直接求解即可．【解析】解：由图象可得，，c＜0，则b＞0，则bc＜0，故选项A错误；∵该函数图象开口向上，该函数的对称轴为x＝﹣，∴x≥﹣时，y随x的增大而增大，当≥﹣时，，故选项B正确；∵该函数的对称轴为x＝﹣，∴−＝﹣，化简得b＝a，故选项C错误；∵图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），∴图象与x轴另一个交点为（1，0），不等式c＜0的解集是﹣2＜x＜1，故选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，图象法解不等式，掌握其性质是解题的关键，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A（－5，0）、B（1，0）两点，则下列结论中：①abc＞0；②；③＞4ac；④9a+4c＜0；⑤若m为任意实数，则a+bm≥4a－2b，正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系结合图象依次判断即可．【解析】解：①观察图象可知：a＞0，c＜0，对称轴为直线x=－2，即，∴b=4a>0，∴abc<0，故①错误；②对称轴为直线x=－2，A（－5，0）、B（1，0），∴OA＝5，OB＝1，∴当x＝1时，y=0，即a＋b＋c=0，∴，故②正确；③根据图象可得，抛物线与x轴有两个交点，∴有两个根，即，∴，故③正确；④抛物线的对称轴为直线x=－2，即，∴b=4a，∵a＋b＋c=0，∴5a＋c=0，∴c=－5a，∴9a+4c=－11a，∵a＞0，∴9a＋4c＜0，故④正确；⑤当x=－2时，函数有最小值y=4a－2b+c， 得，∴，∴若m为任意实数，则，故⑤正确；故选：D．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．9．对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过解方程得，，则两点为（，0），（，0），所以，则，然后进行分数的混合运算即可．【解析】解：当时，，，解得，，∴两点为，，∴，∴．故选:D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．10．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由图像的对称轴为直线．可得b=-2a＜0，可得，故①正确；再由当x=-1时，y=a-b+c>0，可得3a+c>0，故②正确；然后根据点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，可得，故③错误；由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点为，从而得到抛物线解析式为，再令，可得，如图，作直线，观察图像可得，故④正确；根据当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，可得，再由，可得，从而得到关于a的不等式，，故⑤错误；即可求解．【解析】解：观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∵图像的对称轴为直线．∴，∴b=-2a＜0，∴，故①正确；∵图像与轴负半轴交于，∴当x=-1时，y=a-b+c>0，∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；∵抛物线开口向上，∴点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，又∵|-3-1|=4，|3-1|=2，|0-1|=1，∴，故③错误；由抛物线对称性得，抛物线与x轴另一个交点为，∴抛物线解析式为，令，则，如图，作直线，观察图像得：，故④正确； 根据题意得：点M、N到对称轴的距离均为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即，∵，∴，∴，解得：，故⑤错误；故选：B【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于难度题．二、填空题11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ．【答案】【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，根据抛物性的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根．【解析】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，由抛物线的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为：抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根，即：；故答案为：．【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．利用数形结合和函数的思想可以快速的解题．12．若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为 ．【答案】16【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可．【解析】解：令y=0，得到 ．∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴方程有两个相等的实数根，∴==64-4k=0，解得k=16故答案为：16．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式△的关系．13．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有 ．（填序号）【答案】①②③【分析】根据对称轴位置，确定ab的符号，根据抛物线与y轴的交点位置，确定c的符号；根据抛物线与x轴交点的个数，确定的符号，作直线x=-1，观察直线与抛物线的交点，x轴上方，函数值为正，反之，为负．【解析】∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y轴交于负半轴，∴ab＜0，c＜0，＞0，∴abc＞0，如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方， ∴＞0，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了抛物线的性质，抛物线与坐标轴交点性质，特殊值对应的函数值判断，熟练掌握抛物线的基本性质是解题的关键．14．如图，直线和抛物线，当时，x的取值范围是 ．【答案】【分析】当＜时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，利用函数图像可以得到自变量的取值范围，即不等式的解集．【解析】解：联立方程组，解得，直线与抛物线的交点为： 当＜时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，所以此时：．故答案为：．【点睛】本题考查的是利用图像法求不等式的解集，掌握利用二次函数与一次函数的图像写不等式的解集是解题的关键．15．抛物线中，函数y与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线与y轴的交点为C，那么点C的坐标为 ，抛物线的表达式为 ．【答案】 【分析】把点（-1，0），（1，4）代入抛物线解析式中，利用待定系数法求出抛物线解析式，即可求出C点的坐标．【解析】解：把点（-1，0），（1，4）代入抛物线解析式得：，解得，∴抛物线解析式为，∵抛物线与y轴的交点为C，∴C（0，3），故答案为：（0，3），．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．16．已知函数，若使成立的值恰好有两个，则m的取值范围为 ．【答案】或．【分析】首先在平面直角坐标系内作出函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使成立的值恰好有2个的值．【解析】解：画函数的图象如图： 根据图象知道当或时，对应成立的x有恰好有2个， 所以或． 故答案为：或．【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．17．若抛物线y＝a x 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），则一元二次方程a x 2＋bx＋c ＝0（a≠0）的根为 ．【答案】xl＝5，x2＝1【分析】根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称，据此可以求得抛物线与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解．【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），又∵抛物线y＝a x 2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标为方程a x 2＋bx＋c＝0的根，∴方程a x 2＋bx＋c＝0的根为xl＝5，x2＝1．故答案为：xl＝5，x2＝1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．18．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中，有下列结论：①这个函数的图像必经过原点；②若这个函数的图像经过点，则它必有最大值；③若，则方程必有一根大于1；④若，则当时，必有y随x的增大而增大．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）．【答案】①②③④【分析】①当x=0时，y=0，判断图像过原点；②根据图像经过点，得到2a+b=0，变形代入，得到a＜0；③时，方程的另一个根为x==，根据-a＞0，，得到b＞-a＞0，从而得到＞；④由③得到对称轴x=，当时，其位于抛物线对称轴的右侧，根据当时，对称轴右侧，y随x的增大而增大判断即可．【解析】当x=0时，y=0，所以图像过原点，故①正确；因为图像经过点，所以2a+b=0，变形代入，所以a＜0，所以抛物线开口向下，有最大值，故②正确；因为a＜0时，所以-a＞0，所以方程的另一个根为x==，因为-a＞0，，所以b＞-a＞0，所以＞，故③正确；由③可知对称轴x=，当时，其位于抛物线对称轴的右侧，所以当时，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了抛物线的性质、对称轴、最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．三、解答题19．如图，抛物线与轴交于点,与轴交于点,抛物线的顶点为． (1)此二次函数的解析式为__________；(2)当时，则的取值范围是__________；(3)若二次函数图象的对称轴交于点,求线段的长；(4)直接写出的面积为__________．【答案】(1)(2)或(3)2(4)3【分析】对于（1），根据待定系数法可得答案；对于（2），求出抛物线与x轴的交点坐标，可得答案；对于（3），先求出点D的横坐标，再求出直线的关系式，然后代入计算即可；对于（4），先判断是直角三角形，再计算得出答案．【解析】（1）∵抛物线经过点，点，∴，解得，∴二次函数关系式为．故答案为：；（2）当时，，解得，，∴当时，或．故答案为：或；（3）由（2）可知抛物线的对称轴是，当时，，∴点．设直线的关系式为，根据题意，得解得，∴直线的关系式为，当时，，∴；（4）根据勾股定理得，，，∴，∴是直角三角形，∴．故答案为：3．【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理等，勾股定理逆定理是判断直角三角形的常用方法．20．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线过点A、B．(1)求A点和B点坐标，并写出抛物线的解析式；(2)根据图象，写出满足的x的取值范围．【答案】(1)点A的坐标为，点B坐标为，抛物线解析式为；(2)或．【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A、B坐标，再用待定系数法求解即可；（2）利用函数图象求出二次函数图象在一次函数图象下方的x取值范围即可．【解析】（1）解：把代入得，∴点A的坐标为，把代入得，解得，∴点B坐标为，将，代入得，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：由图象可得不等式的解集为或．【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．四、问答题21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：(1)该二次函数图象的对称轴为直线______；(2)______，_______；(3)根据表中信息分析，方程的解为______．【答案】(1)(2)，(3)，【分析】（1）根据表格得到二次函数上对称的两点求解即可；（2）根据二次函数的对称性求解即可；（3）根据表格得到当时，；当时，，进而求解即可．【解析】（1）∵当时，时，y的值都是0，∴对称轴为；（2）∵二次函数图象的对称轴为直线，由表格可得，点和点关于对称轴对称，∴，点和点关于对称轴对称，∴；（3）根据表格可得，当时，；当时，，∴方程的解为和．【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键．22．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围．(2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由即可列不等式得到答案；（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案．【解析】（1）解：一元二次方程有实数根，，即，，的取值范围为；（2）二次函数图象的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点关于直线对称，由图可知抛物线与轴一个交点为，另一个交点为，一元二次方程的解为，．【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．23．已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)该二次函数的对称轴是______；顶点坐标是______；(3)当时，直接写出y的取值范围．______．【答案】(1)见解析(2)，(3)【分析】（1）根据描点，连线得出图象；（2）观察图象得出对称轴和顶点坐标即可；（3）根据图象可知在自变量取值范围内的函数图像都在x轴下方，进而得出答案．【解析】（1）描点，连线，如图所示． （2）观察图象可知对称轴是，顶点坐标是；故答案为：；；（3）观察图象可知时，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了画二次函数图像，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，确定函数值的取值范围等，从图像中获取信息是解题的关键．24．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）．(1)当时，判断函数图象与x轴有几个交点；(2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？(3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．【答案】(1)2个(2)对，理由见解析(3)见解析【分析】（1）把代入解析式，令，求出x值即可判断；（2）根据题意得出顶点是，代入，即可判断小明说法正确；（3）由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴是直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到．【解析】（1）解：当时，，令，则，解得：，∴函数图象与x轴有2个交点；（2）小明说法正确；由题意得，顶点是，当时，，顶点在直线上．故小明说法正确；（3）证明：，都在二次函数的图象上，对称轴是直线，，，，．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25．已知直线与抛物线有一个公共点，且．(1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）(2)说明直线与抛物线有两个交点(3)直线与抛物线的另一个交点记为，若，求线段长度的取值范围．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式可得到与的关系，可用表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（2）由直线解析式可先求得的值，联立直线与抛物线解析式，消去，可得到关于的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；（3）由（2）的方程，可求得点坐标，利用勾股定理可求得，利用二次函数性质可求得长度的取值范围．【解析】（1）解：∵抛物线过点，∴，即，∴，∴抛物线顶点的坐标为；（2）∵直线经过点，∴，解得，联立直线与抛物线解析式，消去可得，∴，由（1）知，且，∴，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有两个交点；（3）联立直线与抛物线解析式，消去可得，即：，∴，解得或，当时，，∴点坐标为；由勾股定理可得，∵，∴，∴随的增大而减小，∴当时，有最大值245，则有最大值，当时，有最小值125，则有最小值，∴线段长度的取值范围为．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理等知识．在（1）中由的坐标得到与的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得点的坐标是解题的关键．26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线向下平移个单位，若与直线有两个交点，求的取值范围；(3)若点是第一象限抛物线上的一点，轴于，交直线于点，当，求点的横坐标的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】()由待定系数法即可求解；()由，即可求解；()求出 ，即可求解．【解析】（1）解：对于，当时，，当时，，∴点的坐标分别为：，，把，代入得，，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）平移后的抛物线表达式为：，联立并整理得：，∵抛物线和直线有两个交点，∴，解得：，即的取值范围为：；（3）设点，则点，则，∵，即，令，则二次函数的对称轴的为直线，当时，，解得，，当时，，解得，，∵∴或．【点睛】此题考查了二次函数、一次函数及不等式的问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．27．对于一个函数，如果存在实数，使得当函数的自变量为时，函数值也是，我们称该函数为智能函数，点为智能函数上的智能点．(1)判断函数是否为智能函数；(2)二次函数与轴交于，两点，且，若无论为何值，该函数都是智能函数，求的取值范围；(3)在第（）问的前提下，若、为函数上的智能点，且、关于直线对称，求的最小值．【答案】(1)函数为智能函数；(2)；(3)．【分析】（）根据题意，找出智能点即可求解；（）把二次函数转化为一元二次方程根与系数之间的关系即可；（）根据求函数的最值即可．【解析】（1）是智能函数，理由：设智能点，当时，，解得，∴当函数的自变量为时，函数值也是，即智能点，∴函数为智能函数；（2）令时，，∵二次函数与轴交于，两点，∴，，∴，则有，∴二次函数为，∵恒有智能点，∴方程有解，即，恒成立，设，∴，，，∵，无论为何值，该函数都是智能函数，∴，∵，∴的取值范围为；（3）设方程的两个根为，，整理得：则，∵、为函数上的智能点，∴由题意可得、两点的直线为，∵、关于直线对称，，∴，且中点在该直线上，∴设中点，代入可得：，则，令，，∴，∵，∴，∴当时，有最小值，∴的最小值为．【点睛】此题考查了二次函数和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数和一元二次方程及其应用． 判别式二次函数一元二次方程图象与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解x…1245…y…043…x…012n4…y…15m30038…x…－3－2－101…y…0－3－4－30…
26.3二次函数y=ax2 +bx+c的图像（第2课时）基础知识一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 要点： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．要点：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： (1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； (2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．∴ 即 （△＞0）． 四、抛物线与不等式的关系二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：注：a＜0的情况请同学们自己完成．要点：抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．过关检测一、单选题1．抛物线与x轴的交点坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过解方程即可得到抛物线的与x轴交点的坐标．【解析】解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3，所以抛物线的与x轴交点的坐标是（-1，0），（3，0）．故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n），B(m﹣8，n)，则n的值为（ ）A．8 B．12 C．15 D．16【答案】D【分析】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线x＝对称，所以A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．【解析】解：由题意b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），∴A、B关于直线x＝对称，∴A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，n＝（+4）2+b（+4）+c＝b2+16+c，∵b2＝4c，∴n＝16．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.3．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解．【解析】解：二次函数（m为常数）的对称轴是直线，关于的对称点是．则一元二次方程的两个实数根是．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，理解一元二次方程的解就是抛物线（m为常数）的图象与x轴的交点的横坐标是关键．4．如图是二次函数的部分图象，与y轴的交点A的坐标是，顶点B的坐标是，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线的开口向下C．当时， D．方程有两个解【答案】C【分析】根据二次函数的顶点坐标即可判断A；根据函数图象即可判断B和D；根据二次函数的对称性即可判断C．【解析】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数的对称轴为直线，故A不符合题意；由函数图象可知二次函数开口向下，故B不符合题意；∵二次函数与y轴的交点坐标为，∴由二次函数的对称性可知，当，，∴当时，或，故C符合题意；由函数图象可知，二次函数与直线有两个交点，即方程有两个解，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．5．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【答案】B【分析】先由题意得到ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，再将方程变形求解即可．【解析】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c＝﹣x有两个不相等的实数根，ax2+bx+c＝﹣x变形为ax2+（b+1）x+c＝0，∴ax2+（b+1）x+c＝0有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是理清一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c的图象和一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况的关系．6．对于二次函数，下列结论错误的是（ ）A．它的图像与轴有两个交点 B．方程的两根之积为C．它的图像的对称轴在轴的右侧 D．时，随的增大而减小【答案】C【分析】直接利用二次函数与轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．【解析】解：A、∵，∴二次函数的图像与轴有两个交点，该选项结论正确，故此选项不符合题意；B、方程，即的两根之积=，该选项结论正确，故此选项不符合题意；C、∵的值不能确定，∴它的图像的对称轴位置无法确定，该选项结论错误，故此选项符合题意；D、∵，对称轴，∴时，随的增大而减小，该选项结论正确，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质、根与系数的关系等知识．正确掌握二次函数的性质是解题关键．7．如图，二次函数的图象的对称轴为x＝，且经过点（﹣2，0），（），（），下列说法正确的是（ ）A．bc＞0B．当≥﹣时， C．a＝2bD．不等式的解集是﹣2＜x＜【答案】B【分析】根据图形确定的符号，即可判断A选项，根据抛物线对称轴右边y随x的增大而增大，即可判断B选项，由对称轴为化简可得，即可判断C选项，根据对称性求得另一个交点坐标，进而根据图象直接求解即可．【解析】解：由图象可得，，c＜0，则b＞0，则bc＜0，故选项A错误；∵该函数图象开口向上，该函数的对称轴为x＝﹣，∴x≥﹣时，y随x的增大而增大，当≥﹣时，，故选项B正确；∵该函数的对称轴为x＝﹣，∴−＝﹣，化简得b＝a，故选项C错误；∵图象的对称轴为x＝﹣，且经过点（﹣2，0），∴图象与x轴另一个交点为（1，0），不等式c＜0的解集是﹣2＜x＜1，故选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，图象法解不等式，掌握其性质是解题的关键，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A（－5，0）、B（1，0）两点，则下列结论中：①abc＞0；②；③＞4ac；④9a+4c＜0；⑤若m为任意实数，则a+bm≥4a－2b，正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系结合图象依次判断即可．【解析】解：①观察图象可知：a＞0，c＜0，对称轴为直线x=－2，即，∴b=4a>0，∴abc<0，故①错误；②对称轴为直线x=－2，A（－5，0）、B（1，0），∴OA＝5，OB＝1，∴当x＝1时，y=0，即a＋b＋c=0，∴，故②正确；③根据图象可得，抛物线与x轴有两个交点，∴有两个根，即，∴，故③正确；④抛物线的对称轴为直线x=－2，即，∴b=4a，∵a＋b＋c=0，∴5a＋c=0，∴c=－5a，∴9a+4c=－11a，∵a＞0，∴9a＋4c＜0，故④正确；⑤当x=－2时，函数有最小值y=4a－2b+c， 得，∴，∴若m为任意实数，则，故⑤正确；故选：D．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．9．对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过解方程得，，则两点为（，0），（，0），所以，则，然后进行分数的混合运算即可．【解析】解：当时，，，解得，，∴两点为，，∴，∴．故选:D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．10．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由图像的对称轴为直线．可得b=-2a＜0，可得，故①正确；再由当x=-1时，y=a-b+c>0，可得3a+c>0，故②正确；然后根据点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，可得，故③错误；由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点为，从而得到抛物线解析式为，再令，可得，如图，作直线，观察图像可得，故④正确；根据当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，可得，再由，可得，从而得到关于a的不等式，，故⑤错误；即可求解．【解析】解：观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∵图像的对称轴为直线．∴，∴b=-2a＜0，∴，故①正确；∵图像与轴负半轴交于，∴当x=-1时，y=a-b+c>0，∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；∵抛物线开口向上，∴点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，又∵|-3-1|=4，|3-1|=2，|0-1|=1，∴，故③错误；由抛物线对称性得，抛物线与x轴另一个交点为，∴抛物线解析式为，令，则，如图，作直线，观察图像得：，故④正确； 根据题意得：点M、N到对称轴的距离均为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即，∵，∴，∴，解得：，故⑤错误；故选：B【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于难度题．二、填空题11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ．【答案】【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，根据抛物性的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根．【解析】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，由抛物线的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为：抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根，即：；故答案为：．【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．利用数形结合和函数的思想可以快速的解题．12．若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为 ．【答案】16【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可．【解析】解：令y=0，得到 ．∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴方程有两个相等的实数根，∴==64-4k=0，解得k=16故答案为：16．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式△的关系．13．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有 ．（填序号）【答案】①②③【分析】根据对称轴位置，确定ab的符号，根据抛物线与y轴的交点位置，确定c的符号；根据抛物线与x轴交点的个数，确定的符号，作直线x=-1，观察直线与抛物线的交点，x轴上方，函数值为正，反之，为负．【解析】∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y轴交于负半轴，∴ab＜0，c＜0，＞0，∴abc＞0，如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方， ∴＞0，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了抛物线的性质，抛物线与坐标轴交点性质，特殊值对应的函数值判断，熟练掌握抛物线的基本性质是解题的关键．14．如图，直线和抛物线，当时，x的取值范围是 ．【答案】【分析】当＜时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，利用函数图像可以得到自变量的取值范围，即不等式的解集．【解析】解：联立方程组，解得，直线与抛物线的交点为： 当＜时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，所以此时：．故答案为：．【点睛】本题考查的是利用图像法求不等式的解集，掌握利用二次函数与一次函数的图像写不等式的解集是解题的关键．15．抛物线中，函数y与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线与y轴的交点为C，那么点C的坐标为 ，抛物线的表达式为 ．【答案】 【分析】把点（-1，0），（1，4）代入抛物线解析式中，利用待定系数法求出抛物线解析式，即可求出C点的坐标．【解析】解：把点（-1，0），（1，4）代入抛物线解析式得：，解得，∴抛物线解析式为，∵抛物线与y轴的交点为C，∴C（0，3），故答案为：（0，3），．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．16．已知函数，若使成立的值恰好有两个，则m的取值范围为 ．【答案】或．【分析】首先在平面直角坐标系内作出函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使成立的值恰好有2个的值．【解析】解：画函数的图象如图： 根据图象知道当或时，对应成立的x有恰好有2个， 所以或． 故答案为：或．【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．17．若抛物线y＝a x 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），则一元二次方程a x 2＋bx＋c ＝0（a≠0）的根为 ．【答案】xl＝5，x2＝1【分析】根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称，据此可以求得抛物线与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解．【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），又∵抛物线y＝a x 2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标为方程a x 2＋bx＋c＝0的根，∴方程a x 2＋bx＋c＝0的根为xl＝5，x2＝1．故答案为：xl＝5，x2＝1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．18．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中，有下列结论：①这个函数的图像必经过原点；②若这个函数的图像经过点，则它必有最大值；③若，则方程必有一根大于1；④若，则当时，必有y随x的增大而增大．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）．【答案】①②③④【分析】①当x=0时，y=0，判断图像过原点；②根据图像经过点，得到2a+b=0，变形代入，得到a＜0；③时，方程的另一个根为x==，根据-a＞0，，得到b＞-a＞0，从而得到＞；④由③得到对称轴x=，当时，其位于抛物线对称轴的右侧，根据当时，对称轴右侧，y随x的增大而增大判断即可．【解析】当x=0时，y=0，所以图像过原点，故①正确；因为图像经过点，所以2a+b=0，变形代入，所以a＜0，所以抛物线开口向下，有最大值，故②正确；因为a＜0时，所以-a＞0，所以方程的另一个根为x==，因为-a＞0，，所以b＞-a＞0，所以＞，故③正确；由③可知对称轴x=，当时，其位于抛物线对称轴的右侧，所以当时，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了抛物线的性质、对称轴、最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．三、解答题19．如图，抛物线与轴交于点,与轴交于点,抛物线的顶点为． (1)此二次函数的解析式为__________；(2)当时，则的取值范围是__________；(3)若二次函数图象的对称轴交于点,求线段的长；(4)直接写出的面积为__________．【答案】(1)(2)或(3)2(4)3【分析】对于（1），根据待定系数法可得答案；对于（2），求出抛物线与x轴的交点坐标，可得答案；对于（3），先求出点D的横坐标，再求出直线的关系式，然后代入计算即可；对于（4），先判断是直角三角形，再计算得出答案．【解析】（1）∵抛物线经过点，点，∴，解得，∴二次函数关系式为．故答案为：；（2）当时，，解得，，∴当时，或．故答案为：或；（3）由（2）可知抛物线的对称轴是，当时，，∴点．设直线的关系式为，根据题意，得解得，∴直线的关系式为，当时，，∴；（4）根据勾股定理得，，，∴，∴是直角三角形，∴．故答案为：3．【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理等，勾股定理逆定理是判断直角三角形的常用方法．20．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线过点A、B．(1)求A点和B点坐标，并写出抛物线的解析式；(2)根据图象，写出满足的x的取值范围．【答案】(1)点A的坐标为，点B坐标为，抛物线解析式为；(2)或．【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A、B坐标，再用待定系数法求解即可；（2）利用函数图象求出二次函数图象在一次函数图象下方的x取值范围即可．【解析】（1）解：把代入得，∴点A的坐标为，把代入得，解得，∴点B坐标为，将，代入得，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：由图象可得不等式的解集为或．【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．四、问答题21．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：(1)该二次函数图象的对称轴为直线______；(2)______，_______；(3)根据表中信息分析，方程的解为______．【答案】(1)(2)，(3)，【分析】（1）根据表格得到二次函数上对称的两点求解即可；（2）根据二次函数的对称性求解即可；（3）根据表格得到当时，；当时，，进而求解即可．【解析】（1）∵当时，时，y的值都是0，∴对称轴为；（2）∵二次函数图象的对称轴为直线，由表格可得，点和点关于对称轴对称，∴，点和点关于对称轴对称，∴；（3）根据表格可得，当时，；当时，，∴方程的解为和．【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键．22．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围．(2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由即可列不等式得到答案；（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案．【解析】（1）解：一元二次方程有实数根，，即，，的取值范围为；（2）二次函数图象的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点关于直线对称，由图可知抛物线与轴一个交点为，另一个交点为，一元二次方程的解为，．【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．23．已知一个二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)该二次函数的对称轴是______；顶点坐标是______；(3)当时，直接写出y的取值范围．______．【答案】(1)见解析(2)，(3)【分析】（1）根据描点，连线得出图象；（2）观察图象得出对称轴和顶点坐标即可；（3）根据图象可知在自变量取值范围内的函数图像都在x轴下方，进而得出答案．【解析】（1）描点，连线，如图所示． （2）观察图象可知对称轴是，顶点坐标是；故答案为：；；（3）观察图象可知时，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了画二次函数图像，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，确定函数值的取值范围等，从图像中获取信息是解题的关键．24．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是实数）．(1)当时，判断函数图象与x轴有几个交点；(2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？(3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．【答案】(1)2个(2)对，理由见解析(3)见解析【分析】（1）把代入解析式，令，求出x值即可判断；（2）根据题意得出顶点是，代入，即可判断小明说法正确；（3）由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴是直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到．【解析】（1）解：当时，，令，则，解得：，∴函数图象与x轴有2个交点；（2）小明说法正确；由题意得，顶点是，当时，，顶点在直线上．故小明说法正确；（3）证明：，都在二次函数的图象上，对称轴是直线，，，，．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25．已知直线与抛物线有一个公共点，且．(1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）(2)说明直线与抛物线有两个交点(3)直线与抛物线的另一个交点记为，若，求线段长度的取值范围．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式可得到与的关系，可用表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（2）由直线解析式可先求得的值，联立直线与抛物线解析式，消去，可得到关于的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；（3）由（2）的方程，可求得点坐标，利用勾股定理可求得，利用二次函数性质可求得长度的取值范围．【解析】（1）解：∵抛物线过点，∴，即，∴，∴抛物线顶点的坐标为；（2）∵直线经过点，∴，解得，联立直线与抛物线解析式，消去可得，∴，由（1）知，且，∴，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有两个交点；（3）联立直线与抛物线解析式，消去可得，即：，∴，解得或，当时，，∴点坐标为；由勾股定理可得，∵，∴，∴随的增大而减小，∴当时，有最大值245，则有最大值，当时，有最小值125，则有最小值，∴线段长度的取值范围为．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理等知识．在（1）中由的坐标得到与的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得点的坐标是解题的关键．26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线向下平移个单位，若与直线有两个交点，求的取值范围；(3)若点是第一象限抛物线上的一点，轴于，交直线于点，当，求点的横坐标的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】()由待定系数法即可求解；()由，即可求解；()求出 ，即可求解．【解析】（1）解：对于，当时，，当时，，∴点的坐标分别为：，，把，代入得，，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）平移后的抛物线表达式为：，联立并整理得：，∵抛物线和直线有两个交点，∴，解得：，即的取值范围为：；（3）设点，则点，则，∵，即，令，则二次函数的对称轴的为直线，当时，，解得，，当时，，解得，，∵∴或．【点睛】此题考查了二次函数、一次函数及不等式的问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．27．对于一个函数，如果存在实数，使得当函数的自变量为时，函数值也是，我们称该函数为智能函数，点为智能函数上的智能点．(1)判断函数是否为智能函数；(2)二次函数与轴交于，两点，且，若无论为何值，该函数都是智能函数，求的取值范围；(3)在第（）问的前提下，若、为函数上的智能点，且、关于直线对称，求的最小值．【答案】(1)函数为智能函数；(2)；(3)．【分析】（）根据题意，找出智能点即可求解；（）把二次函数转化为一元二次方程根与系数之间的关系即可；（）根据求函数的最值即可．【解析】（1）是智能函数，理由：设智能点，当时，，解得，∴当函数的自变量为时，函数值也是，即智能点，∴函数为智能函数；（2）令时，，∵二次函数与轴交于，两点，∴，，∴，则有，∴二次函数为，∵恒有智能点，∴方程有解，即，恒成立，设，∴，，，∵，无论为何值，该函数都是智能函数，∴，∵，∴的取值范围为；（3）设方程的两个根为，，整理得：则，∵、为函数上的智能点，∴由题意可得、两点的直线为，∵、关于直线对称，，∴，且中点在该直线上，∴设中点，代入可得：，则，令，，∴，∵，∴，∴当时，有最小值，∴的最小值为．【点睛】此题考查了二次函数和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数和一元二次方程及其应用． 判别式二次函数一元二次方程图象与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解x…1245…y…043…x…012n4…y…15m30038…x…－3－2－101…y…0－3－4－30…
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