沪教版（五四制）数学九上第26章《 二次函数》 单元综合检测（难点）（原卷+解析卷）

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第26章 二次函数 单元综合检测（难点）一、单选题1．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据二次函数的定义判断即可；【解析】y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；故二次函数有1个；故答案选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．2．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　）A．正比例函数 B．一次函数C．二次函数 D．以上均不正确【答案】C【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．【解析】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，则y＝k1x﹣k2x2，所以y是关于x的二次函数，故选：C．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．3．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ）A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1【答案】C【分析】二次函数与x轴仅有一个交点，则，与y轴交于正半轴，则，求解满足条件的m即可．【解析】二次函数与x轴仅有一个交点，则，即，解得，又因为二次函数图象与y轴交于正半轴，则，将1和-7代入分别得到0和16，则应把m=1舍去，故m=-7，故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴、y轴交点问题，解决题目应熟练掌握判定二次函数与x轴交点个数的方法，以及判断二次函数图象与y轴交点位置的方法．4．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．【解析】解：二次函数的对称轴为：，且开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，，A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．5．若直线（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数m的取值范围．【解析】根据题意作图，当时，，故直线与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键．6．已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（    ）A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或【答案】D【分析】先求得其对称轴为x＝a，再分a＜0、0≤a≤1和a＞1根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为2，可求得a的值．【解析】∵，∴其对称轴为x＝a，开口向下，当a＜0即a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小，∴当x＝0时有最大值，最大值＝﹣a+＝2，解得a＝﹣6＜0，符合题意；当0≤a≤1即0≤a≤2时，y的最大值＝﹣a2+a2﹣a+＝2，∴a＝3（不合题意，舍去），或a＝﹣2（舍去）；当a＞1即a＞2时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大，∴当x＝1时，有最大值＝﹣1+a﹣a+＝2，∴a＝，综上可知a的值为﹣6或．故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，分类讨论是解题的关键.7．若a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，则（a+2）（b+2）的最小值为（　　）A．7 B．10 C．14 D．16【答案】D【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，可得出关于t的一元一次不等式，解之即可得出t的取值范围，根据根与系数的关系可得出a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，将其代入（a+2）（b+2）＝ab+2（a+b）+4中可用含t的代数式表示出（a+2）（b+2），再利用二次函数的性质即可解决最值问题.【解析】解：∵方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0有实数根，∴△＝（﹣2t）2﹣4×1×（t2﹣2t+4）≥0，∴t≥2.∵a、b是关于x的方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实根，∴a+b＝2t，ab＝t2﹣2t+4，∴（a+2）（b+2）＝ab+2a+2b+4＝ab+2（a+b）+4＝t2﹣2t+4+4t+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7.∵1＞0，t≥2，∴当t≥2时，（a+2）（b+2）的值随t的增大而增大，∴当t＝2时，（a+2）（b+2）取得最小值，最小值＝（2+1）2+7＝16.故选：D.【点睛】本题主要考查了根的判别式、二次函数的性质、根与系数的关系，准确计算是解题的关键．8．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由题意可知：对称轴为，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出①正确；抛物线对称轴为直线，得，则，把代入得，，从而可判断出②正确；由抛物线顶点坐标为，则有两个相等实数根，所以，则，从而可判断出③正确；根据的最大函数值为，则有实数根，从而可判断出故④错误．【解析】解：∵抛物线顶点坐标为，∴抛物线对称轴为直线，∵图象与x轴的一个交点在，之间，∴图象与x轴另一交点在，之间，∴时，，即，故①正确，符合题意．∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴时，，故②正确，符合题意．∵抛物线顶点坐标为，∴有两个相等实数根，∴，∴，故③正确，符合题意．∵的最大函数值为，∴有实数根，故④错误，不合题意．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据图象求出对称轴以及a，Δ与0的大小关系，本题属于中等题型．9．如图，正三角形和正三角形的边，在同一条直线上，将向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，．两个三角形重合部分的面积为，现有一个正方形的面积为，已知，则S关于的函数图像大致为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【解析】解：∵，∴，①当0≤x≤2时，则两个三角形重合部分为边长x的正三角形，则：，故，为二次函数，图象开口向上，当x=2时，S=2；②当2＜x＜4时，两个三角形重合部分为边长为2的正三角形，故S=2；③当4≤x≤6时，同理可得：，图象开口向上，当x=4时，S=2；当x=6时，S=0；故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分类求出函数表达式，是解决本题的关键．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞0；③c＝﹣3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确结论是（    ）A．③④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤【答案】A【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解析】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴AB＝4，∴对称轴x＝﹣＝1，即2a+b＝0．故①错误；②根据图示知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②错误；③∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a．故③正确；④如图1，作DE⊥x轴于点E，要使△ABD是等腰直角三角形，则AD＝BD，∠ADB＝90°，∵DE⊥x轴，∴点E是AB的中点，∴DE＝BE，即||＝＝2，又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴||＝2，a＞0，解得a＝，∴只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形，∴故④正确．⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，当AB＝BC＝4时，∵AO＝1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2＝16﹣9＝7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＝﹣，与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；同理，当AB＝AC＝4时，∵AO＝1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2＝16﹣1＝15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＝﹣．与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；同理，当AC＝BC时，在△AOC中，AC2＝1+c2，在△BOC中BC2＝c2+9，∵AC＝BC，·∴1+c2＝c2+9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题11．函数y＝(m2﹣3m+2)x2+mx+1﹣m，则当m＝ 时，它为正比例函数；当m＝ 时，它为一次函数；当m 时，它为二次函数．【答案】 1 1或2 m≠1且m≠2【分析】（1）正比例函数：，且，即可求得m的值；（2）一次函数：且，即可求得m的值；（3）二次函数：，即可求得m的值；【解析】（1）正比例函数：，且，解得m＝1；（2）一次函数：，解得m＝1或2，；（3）二次函数：，解得m≠1且m≠2故当m＝1时，它为正比例函数；当m＝1或2时，它为一次函数；当m≠1且m≠2时，它为二次函数.故答案为1；1或2；m≠1且m≠2【点睛】本题考查了正比例函数、一次函数、二次函数的基础性质，难度较小，熟练掌握函数相关性质是解题关键.12．已知两个二次函数的图像如图所示，那么 a1 a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．  【答案】【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解析】解：如图所示：的开口小于的开口，则a1＞a2，故答案为：＞.【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．13．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．【答案】24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【解析】抛物线的对称轴是 过点作于点，如下图所示则，则则以为边的等边的周长为．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围为 ．【答案】4≤t＜13．【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数y=t的有交点，再由-1＜x＜4的范围确定y的取值范围即可求解．【解析】解：∵的对称轴为直线x=1， ∴， ∴， ∴一元二次方程的实数根可以看做与函数y=t的有交点， ∵方程在-1＜x＜4的范围内有实数根， 如图，当时，y=8； 当x=4时，y=13； 函数在x=1时有最小值4； ∴4≤t＜13． 故答案为4≤t＜13．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．15．如图，在中，，，点的坐标为，过点作直线交于，交于，以为顶点的抛物线经过点，当和的面积相等时，则抛物线解析式为 ．【答案】【分析】过P点作PE⊥BC于点E，过A点作AF⊥BO于点F，根据等腰直角三角形的性质可得A（-2，2），再根据△APQ和△COQ的面积相等可得P点纵坐标为1．根据待定系数法可得直线AB的解析式，从而得到P点坐标，再根据抛物线的顶点式，根据待定系数法可得抛物线解析式．【解析】：过P点作PE⊥BC于点E，过A点作AF⊥BO于点F. ∵B(−4,0),C(4,0)，∴BC=4−(−4)=8.∵OA=AB，AF⊥BO于点F，∴F为OB中点，∵∠OAB=90，∴AF=OB=2，∴A(−2,2)，∴S△ABO=BO⋅AF=×4×2=4.∵S△ABO=S△APQ+S四边形PQBO,S△APQ=S△COQ，∴S△ABO=S△COQ+S四边形PQBO=S△BCP=4.∵S△BCP=BC⋅PE=×8⋅PE=4PE=4，∴PE=1，即P点纵坐标为1.设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A(−2,2),B(−4,0)，∴，解得，∴y=x+4，当y=1时，x+4=1，解得x=−3，∴P(−3,1).设所求抛物线的解析式为y=a(x+3)2+1，将A(−2,2)代入,得a(−2+3)2+1=2，解得a=1，∴抛物线解析式为y=(x+3)2+1,即y=x2+6x+10.【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.16．如图，将一段抛物线记为，它与轴交于点和点；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点．若直线与共有3个不同的交点，则的取值范围是 ．  【答案】【分析】利用二次函数的性质求得的坐标，再利用旋转的性质得到的坐标，画出图形，将直线的解析式代入二次函数解析式中，利用找出临界值，结合图形即可解答．【解析】解：当时，，解得，，将绕点旋转得，将绕点旋转得，，；，当直线与共有3个不同的交点，直线的范围如图所示：  将代入，可得，，解得；将代入，可得，，解得，结合图形，可得当时，直线与共有3个不同的交点，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与几何变换以及根的判别式，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．17．如图，已知点P是抛物线的顶点，过P作直线分别交x轴正半轴和y轴正半轴于点A、B，交抛物线于点C，且，过点C作轴，垂足为D，若的面积是面积的2倍，则m的为 ．  【答案】/【分析】根据题意，先得到，作轴，垂足为E，作平行x轴，交延长线于点F，然后由相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出点C的坐标，把点C代入抛物线方程，即可求出m的值．【解析】解：根据题意，则∵与是同高，且底边在同一条直线上，又∵，∴，∴，作轴，垂足为E，作平行x轴，交延长线于点F，如图：    ∴，∴，∴；在抛物线中，对称轴为，当时，代入，则，∴点P的坐标为；∴，，∴，∵轴，∴，∴，∴；  ∵，∴，∵，∴，  ∴，∴点C的坐标为：，把点C代入抛物线的方程，得，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，平行线的性质，以及解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出图形，运用数形结合的思想进行解题．18．已知二次函数，其图象记为．下列四个结论：①若时，随的增大而增大，则；②与轴的交点在直线的上方；③随着的变化，恒沿一条定直线平移；④若关于的方程有一实数根满足，则．其中正确结论的序号是 ．【答案】①③/③①【分析】利用配方法可得，抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为或，根据二次函数性质即可判断各个结论．【解析】解：∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为，令，得，∴，∴，，①∵若时，随的增大而增大，∴，解得：，故结论①正确；②∵图象与轴的交点坐标为，∴纵坐标为，∴与轴的交点纵坐标不小于，即与轴的交点不在直线的下方，故结论②错误；③∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点在直线上移动，即恒沿一条定直线平移，故结论③正确；④∵关于的方程有一实数根满足，∴或，解得：或，故结论④错误；综上所述，正确结论为①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查抛物线与轴和轴的交点、顶点、对称轴、二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确各题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．三、解答题19．如图,二次函数y2=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(−3,0)、B(1,0),交y轴于点C,C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数y1=mx+n的图象经过B．D两点.(1)求a、b的值及点D的坐标；(2)根据图象写出y2>y1时，x的取值范围.【答案】（1）a=-1，b=-2， D（-2，3）；（2）−2y1．【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x−1)= ，则−3a=3，解得a=−1，所以抛物线解析式为y=；所以b=−2，抛物线的对称轴为直线x=−1，当x=0时, ,则C点坐标为(0,3)，由于C. D是二次函数图象上的一对对称点，∴D点坐标为(−2,3)；（2）观察函数图象得到当-2y1．当−2