黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2+﹣1＝0B．2x2﹣y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0D．3x2﹣2x﹣1＝0
2．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2023＝0的一个解，则1+a+b的值是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
3．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1且m≠2B．m＞1C．m＞1且m≠2D．m≠2
4．（3分）某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1+x＝4B．（1+x）2＝4
C．1+（1+x）2＝4D．1+（1+x）+（1+x）2＝4
5．（3分）（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
6．（3分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．10C．6或10D．8或10
7．（3分）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣B．k＜﹣
C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0
8．（3分）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则代数式a2+b2的值为（ ）
A．﹣1或3B．1或﹣3C．﹣1D．3
9．（3分）若b＜0，则二次函数y＝x2+bx﹣1的图象的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②a+b+c＝2；③；④b＜1．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）将y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是 ．
12．（3分）当m 时，关于x的方程（m﹣3）﹣x＝5是一元二次方程；当m＝ 时，此方程是一元一次方程．
13．（3分）抛物线y＝ax2+x+2经过点（﹣1，0），则a＝ ．
14．（3分）抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是 ．
15．（3分）九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A，B两组，在每一组中进行单循环的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组的前4名选出进行比赛，最后进行决赛得出名次；若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有 个班．
16．（3分）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为 ．
17．（3分）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为 ．
三、解答题（共69分）
18．（10分）解下列方程．
（1）2x2﹣x﹣15＝0；
（2）（x﹣1）2﹣4（x+3）2＝0．
19．（8分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．（8分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
22．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），且经过直线y＝x﹣3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．
23．（12分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．
（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？
（3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？
24．（14分）已知，如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为（﹣1，0），OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
（3）若抛物线上有一点M，使∠ACM＝45°，求M点坐标．
2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：A、x2+﹣1＝0是分式方程；
B、2x2﹣y﹣3＝0是二元二次方程；
C、ax2﹣x+2＝0中若a＝0时是一元一次方程；
D、3x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程；
故选：D．
2．【解答】解：因为x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2023＝0的一个解，
所以a+b﹣2023＝0，
则a+b＝2023，
所以1+a+b＝2024．
故选：D．
3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣2）（﹣1）＝4m﹣4＞0且m﹣2≠0，
解得：m＞1，
即m的取值范围是m＞1且m≠2；
故选：C．
4．【解答】解：设增长率为x，
依题意，得：1+（1+x）+（1+x）2＝4．
故选：D．
5．【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5图象上的三点，
∴把函数y＝﹣x2﹣4x+5变形为：y＝﹣（x+2）2+9，
∴由函数图象可知当x＝2时此函数有最大值为9，当x＞﹣2时，y的值随x的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3，
故选：B．
6．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
∵2+2＝4，
∴三角形三边为4、4、2，
∴△ABC的周长为10，
故选：B．
7．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有两个交点，
∴，
∴k＞﹣且k≠0．
故选：D．
8．【解答】解：令x＝a2+b2，
则原方程可变形为x2﹣2x﹣3＝0，
∵（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
又∵x＝a2+b2≥0，
∴a2+b2＝3，
故选：D．
9．【解答】解：∵a＝1＞0，
∴此函数的开口向上，
∵b＜0，a＞0，
∴对称轴x＝﹣＞0，
即对称轴位于y轴的右侧，
即可能是位于第一或第四象限；
∵c＝﹣1＜0，
∴与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
可能位于第三或第四象限
∴二次函数y＝x2+bx﹣1的图象的顶点在第四象限．
故选：D．
10．【解答】解：①∵图象开口向上，与y轴交于负半轴，能得到：a＞0，c＜0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②当x＝1时，由图象知y＝2，
把x＝1，y＝2代入解析式得：a+b+c＝2，故②正确；
③由图象得，﹣＞﹣1，
∴b＜2a，
由①②得，a+b+c＝2，c＜0，
∴2＝a+b+c＜a+2a+c＝3a+c，
∴3a+c＞2，
∴a＞（2﹣c），
∵c＜0，
∴2﹣c＞2，
∴a＞，
∴a＞，故③正确；
④由图象得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
由①②得，a+b+c＝2，c＜0，
∴（a+b+c）﹣（a﹣b+c）＞2，
∴2b＞2，
∴b＞1，故④错误；
综上，②③正确．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1化成y＝（x﹣h）2+k，
∴h＝3，k＝﹣8，
则h+k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
12．【解答】解：由一元二次方程的特点得m2﹣7＝2，即m＝±3，m＝3舍去，即m＝﹣3时，原方程是一元二次方程；
由一元一次方程的特点得m2﹣7＝1，即m＝±2或m﹣3＝0，即m＝3时，原方程是一元一次方程．
由一元一次方程的特点得m2﹣7＝0，即m＝±时，原方程是一元一次方程．
13．【解答】解：把点（﹣1，0）代入y＝ax2+x+2，得
a﹣1+2＝0，
∴a＝﹣1．
14．【解答】解：根据题意：p2﹣4×9×4＝0，
解得p＝±12．
15．【解答】解：设A组共有x个班级．依题意得：，
解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴九年级共有7×2＝14个班级．
故答案为：14．
16．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，DE在x轴上，y轴经过最高点C，
设AB与y轴交于点H，
∵DE＝36m，
∴D（﹣18，0），E（18，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣18）（x+18），
∵AB＝24m，
∴AH＝BH＝12m，
设OH＝k，则A（﹣12，k），
∵拱桥最高点C到AB的距离为8m，
∴C（0，k+8），
将点A和点C的坐标代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴点E到直线AB的距离为10m．
故答案为：10m．
17．【解答】解：由x2+3x+y﹣3＝0得
y＝﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：
x+y＝x﹣x2﹣3x+3＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4≤4，
∴x+y的最大值为4．
故答案为：4．
三、解答题（共69分）
18．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣15＝0，
（2x+5）（x﹣3）＝0，
∴2x+5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣，x2＝3；
（2）（x﹣1）2﹣4（x+3）2＝0，
（x﹣1）2＝4（x+3）2，
∴x﹣1＝2（x+3）或x﹣1＝﹣2（x+3），
解得x1＝﹣7，x2＝﹣．
19．【解答】解：根据题意得：m2﹣m＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝0，
即m的值为0．
20．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
21．【解答】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2＝a（0﹣4）2+6．
所以a＝﹣．
因此有：y＝﹣（x﹣4）2+6．
（2）令y＝4，则有4＝﹣（x﹣4）2+6，
解得x1＝4+2，x2＝4﹣2，
|x1﹣x2|＝4＞2，
∴货车可以通过．
22．【解答】解：（1）把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝3，则B点坐标为（3，0）；
把x＝0代入y＝x﹣3得y＝﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入A（﹣1，0），
得a（0+1）（0﹣3）＝﹣3，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（3））∵OC＝OB，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝45°，
即直线OD为二、四象限角平分线，
∴直线OD的解析式为y＝﹣x，
联立抛物线则有：y＝x2﹣2x﹣3＝﹣x，
解得x＝或，
∵点M在第四象限，
∴x＝，
将x＝代入抛物线得，
∴M（，）．
23．【解答】解：（1）当售价为60元/千克时，
每月销售水果为500﹣10×（60﹣50）＝400（千克）；
答：每月销售水果400千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8000＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
整理得，解得：x1＝60，x2＝80，
答：每千克水果售价为60元或80元；
（3）由题意得，500﹣10（x﹣50）≥400，
解得x≤60，
∴40≤x≤60，
设获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∴当x＝60时，y有最大值为8000元，
答：当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元．
24．【解答】解：（1）∵OC＝3OA，A（﹣1，0），
∴C（0，﹣3）．
把点A，C的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得，
解得，
∴抛物线线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N．
∵抛物线线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴B（3，0），
∴AB＝4，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD＝AB×OC+×DM×（BN+ON）＝6+×DM×OB＝6+DM，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得，
故直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设D（x，x2﹣2x﹣3），M（x，x﹣3），则DM＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，DM有最大值，此时四边形ABDC面积有最大值为；
（3）如图，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，
∵∠ACM＝45°，
∴AC＝AK，
∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，
∴K（2，1），
设直线CM的解析式为y＝kx﹣3
∴2k﹣3＝1，
∴k＝2，
∴直线CM的解析式为y＝2x﹣3，
联立，
解得x＝0（舍去），或x＝4，
∴M（4，5）．