专题11 函数值域的求法（7大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练3
\l "_Tc170135645" 题型一、直接法3
\l "_Tc170135646" 题型二、配方法4
\l "_Tc170135647" 题型三、换元法5
\l "_Tc170135648" 题型四、分离常数法6
\l "_Tc170135648" 题型五、基本不等式法8
\l "_Tc170135648" 题型六、单调性法11
\l "_Tc170135648" 题型七、判别式法13
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（6题）16
一、定义域优先
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。
二、常见函数的值域
(1) 一次函数的值域为R.
(2)二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，
(3)反比例函数的值域为.
(4)指数函数的值域为.
(5)对数函数的值域为R.
(6)正，余弦函数的值域为，正切函数的值域为R.
(7)对勾函数：对勾函数： 值域：
三、求函数值域的常见方法
1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；
2、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域；
3、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有
（1）或的结构，可用“”换元；
（2）（均为常数，），可用“”换元；
（3）型的函数，可用“”或“”换元；
4、分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域；
5、基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②（或）为定值； = 3 \* GB3 ③取等号的条件为，三个条件缺一不可；
6、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）
（1）形如的函数可用函数单调性求值域；
（2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；
当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。
7、判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。
【题型一 直接法】
一、单选题
1．（23-24高一上·广东广州·期中）下列函数定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求解各函数的定义域和值域，即可判断各选项.
【详解】对于A，的定义域和值域都是，A错；
对于B，的定义域为，值域为，B对；
对于C，的定义域和值域都是，C错；
对于D，的定义域和值域都是，D错.
故选：B.
二、填空题
2．（23-24高一·江苏·假期作业）函数，的值域为 ，函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式及定义域直接求解.
【详解】∵，，，∴函数的值域为．
∵，∴，∴函数的值域为.
故答案为：，.
3．（23-24高一上·云南丽江·阶段练习）函数在的值域为 .
【答案】
【分析】根据不等式性质运算求解即可.
【详解】因为，则，可得，
所以在的值域为.
故答案为：.
【题型二 配方法】
一、单选题
1．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米B．3米C．2米D．1米
【答案】A
【分析】根据题意，求出的最大值，即为结果.
【详解】，故水喷出的最大高度是米.
故选：A.
二、填空题
2．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 .
【答案】
【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域.
【详解】因为二次函数的值域为，
所以的定义域是，值域为.
故答案为：.
三、解答题
3．（24-25高一上·上海·假期作业）求值域：
(1)，
(2)，
【答案】(1)[1,+∞)
(2)
【分析】（1）通过配方，由二次函数的值域即可求解；
（2）根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
所以函数的值域为.
（2）因为，其中对称轴为，且，
则时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为，
所以函数值域为.
【题型三 换元法】
一、填空题
1．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为
【答案】
【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域.
【详解】设，，所以，
由图象易知值域为.
故答案为：.
2．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】设，则，，
所以，
因为，在上单调递减，
所以，所以函数的值域为．
故答案为：.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ．
【答案】13
【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得可得，
令，则，，
∴当时取得最大值，
但由于，故当即时，，解得．
故答案为：13．
【题型四 分离常数法】
一、填空题
1．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】分离常数，求得值域.
【详解】，
因为，所以，所以值域为.
故答案为：.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为
【答案】
【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域.
【详解】因为，又因为，所以，
所以函数的值域为．
故答案为：.
3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ．
【答案】
【分析】将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得.
【详解】因为，
又，所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：
二、单选题
4．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【详解】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是.
故选：C
5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.
【详解】结合题意：，
当时，；
当时，，当且仅当，
即，原式取得最小值；
另一方面，因为，所以，即;
当时，，
当且仅当，即，原式取得最大值;
另一方面因为，
令，则，所以，所以
所以，即;
综上所述：函数的值域是.
故选：A.
【题型五 基本不等式法】
一、单选题
1．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别在和的情况下，结合基本不等式可求得结果.
【详解】当时，（当且仅当时取等号）；
当时，（当且仅当时取等号）；
综上所述：的值域为.
故选：C.
二、填空题
2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若，函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为.
故答案为：.
3．（23-24高一上·上海·期中）当时，函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，
则，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为.
故答案为：.
4．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ．
【答案】2
【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可.
【详解】令，则原函数化为函数
函数图像如下：

由对勾函数性质得在上单调递增，
所以当时，函数取最小值
故答案为：2
三、解答题
5．（23-24高一上·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域.
（2）已知，求函数 的最小值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据题意化简得，结合基本不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，将函数化简变形为，再结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1），
当且仅当时等号成立，则函数值域为.
（2）因为，
，当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最小值为，此时.
【题型六 单调性法】
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域.
【详解】因为和在上递增，
所以在上递增，
所以，，
所以函数的值域为.
故选：C
二、填空题
2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上的值域为 ．
【答案】
【分析】运用换元法求值域即可.
【详解】令，，，
则，
在上单调递增，
则当时，，当时，，
即在区间上的值域为.
故答案为：.
3．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为
【答案】
【分析】判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案.
【详解】由题意知函数均在上单调递增，
故在定义域上为增函数，
所以，，
即的值域为，
故答案为：
三、解答题
4．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)求在上的值域
【答案】(1)在上单调递减；证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果；
（2）利用单调性求最值，即可得到值域.
【详解】（1）在上单调递减，证明如下：
任取，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递减.
（2）在上单调递减，所以
当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
故值域为.
5．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数.
(1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用定义法取值、作差、变形再判断符号即可；
（2）根据函数单调性即可得到其值域.
【详解】（1）在上单调递增.
证明：任取，且，
，
，且，
，即，
在上单调递增.
（2）由（1）可知在上单调递增，
，
所以在上的值域为.
【题型七 判别式法】
一、单选题
1．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值.
【详解】设，则，
因为，
所以，即：，
所以，
解得：，
又因为，为正实数，
所以，
所以的最大值为.
故选：C.
2．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】D
【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值.
【详解】根据题意，
若方程有解，则，
即，
所以，
当时，，此时，即，
也就是说当且仅当时，.
故选：D
二、填空题
3．（22-23高一下·上海嘉定·开学考试）已知函数的值域为，则常数 ．
【答案】7或
【详解】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
4．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解.
【详解】因为，整理得，
可知关于x的方程有正根，
若，则，解得，符合题意；
若，则，
可得或，
解得或且，则或或；
综上所述：或，
即函数，的值域为.
故答案为：.
三、解答题
5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，其中.
(1)当，求函数的值域；
(2)，求区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用判别式法求值域；
（2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值.
【详解】（1）时，，即，整理得，
当时，，
当时，由，得，
解得，且，
综上，，则的值域是.
（2）且，
当时，即时，
函数在区间上单调递增，此时；
当时，即时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，综上所述：
一、单选题
1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域.
【详解】显然，．
当时，．
令，当时，，当且仅当时等号成立，
则；
当时，，当且仅当时等号成立，
则．
综上所述，的值域为，
所以根据高斯函数的定义，函数的值域是，
故选：C．
二、填空题
2．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解.
【详解】因为，令，则，
则，，
可知开口向上，对称轴为，且，
所以在内的值域为，
即在内的值域为.
故答案为：.
3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 .
【答案】
【分析】第一空：利用偶次根式被开方数非负即可得解；第二空，对平方，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，解得，即的定义域为；
易知．
又，
对于，其开口向下，对称轴为，
所以时，有最大值，
当或时，有最小值0，
所以当时，的值域为，
则的值域为，故求的值域为．
故答案为：；.
三、解答题
4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可.
（2）利用二次根式的意义求出值域.
（3）利用二次函数的性质求出值域.
（4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域.
【详解】（1），且，则．
所以函数的值域为.
（2）函数的定义域为，由，得，
所以的值域为.
（3）函数图象的对称轴为，而，
当时，，当时，，
所以函数的值域为．
（4）函数的定义域为，
，
所以函数的值域为．
5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域；
（2）换元令，结合二次函数求值域.
【详解】（1）因为，则，
可得，
当且仅当，即x=2时，等号成立，
所以函数的值域为.
（2）令，则，
可得，
当时，等号成立，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
即，所以函数的值域为.
6．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用观察法求值域；
（2）利用配方法求值域；
（3）利用换元法求值域；
（4）利用分离常数法求值域；
（5）利用基本不等式法求值域；
【详解】（1）因为，所以．故值域为．
（2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为．
（3）令，则，且，
所以（）．故函数的值域．
（4），其中，，
当时，．
又因为，所以．
故函数的值域为．
（5）因为，所以，所以，
当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8．
故函数的值域为．