专题12 分段函数与二次函数的单调性（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练3
\l "_Tc170135645" 题型一、已知二次函数单调性求参数3
\l "_Tc170135646" 题型二、求二次函数的最值（范围）5
\l "_Tc170135646" 题型三、根据二次函数的最值（范围）求参数10
\l "_Tc170135647" 题型四、分段函数单调性的应用13
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（10题）16
一、基本初等函数的单调性
1．正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
2．一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
3．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.
4．二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
二、二次函数的单调性与最值
1.一元二次函数
时，函数有最小值；离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；
时，函数有最大值，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；
2.一元二次函数在区间[m,n]上的最值。
当 ，

当，
当时，

时，
三、分段函数中的单调性
（1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件
①在上单调递增
②在上单调递增
③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值）
（2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件
①在上单调递减
②在上单调递减
③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值）
（3）由分段函数中的值域确定参量取值范围
解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步
的值域为
首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来
其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围
最后通过的范围确定出参量的取值范围
【题型一 已知二次函数单调性求参数】
一、单选题
1．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案.
【详解】开口向上，对称轴为，
要想在区间上为单调增函数，则.
故选：B
二、多选题
2．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（ ）
A．2B．7C．14D．20
【答案】AD
【分析】利用二次函数的性质求解.
【详解】的对称轴为，
因为函数在区间上单调，
所以或，解得或．
故选：AD
三、填空题
3．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数的单调递增区间是，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性即可求解.
【详解】函数的单调递增区间是，
由题意得，解得．
故答案为：
4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将看作一个整体，将函数表达式利用配方法整理，即可得出函数的单调递减区间，再根据是函数单调递减区间的子集，即可建立不等式求解．
【详解】∵，
∴的单调减区间是．
又在上是减函数，
∴，即．
∴所求实数的取值范围是，
故答案为：．
5．（24-25高三·上海·课堂例题）已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由，，，得，构造函数，所以函数在上的增函数，对实数分类讨论即可；
【详解】因为对于任意，，，
所以，即，
构造函数，则，
所以函数在上的增函数，
当时，函数是上的增函数，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
当时，要使得函数是上的增函数，只需要符合题意；
当时，要使得函数是上的减函数，只需要.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：由，构造新函数是解题的关键.
【题型二 二次函数的最值（范围）】
一、解答题
1．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数在上的最小值．
【答案】最小值为
【分析】根据对称轴分三种情况讨论结合单调性得出最小值即可.
【详解】∵的图像开口向上，对称轴为．
（1）当，即时，y=fx在0,2上严格减，故当时，函数的最小值为．
（2）当，即时，y=fx在0,2上严格增，故当时，函数的最小值为．
（3）当时，对称轴，故当时，函数的最小值为．
综上，记最小值为，则
2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数．
(1)若，求函数的最值；
(2)若，求函数的最值．
【答案】(1)最小值为，最大值为
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的对称轴为，由二次函数的单调性，即可求解.
（2）分类讨论定区间与对称轴的关系，结合二次函数的图象与性质，可得答案.
【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴在[0,1]上单调递减，在上单调递增，且．
∴，．
（2）由（1）知对称轴为直线，
①当，即时，
，．
②当，即时，
，．
③当，即时，
，．
④当，即时，
，．
设函数的最大值为，最小值为，
则有，
.
3．（23-24高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在上的最小值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：函数满足，则函数的图象关于对称，
可得，解得，即，
又由函数的图象过点，可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为，
当时，可得在区间上单调递增，所以；
当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
当时，可得在上单调递减，所以，
所以函数在上的最小值.
4．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数.
(1)若存在使成立，求k的取值范围；
(2)当时，求在区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用可得答案；
（2）分、、讨论，结合二次函数的性质可得答案.
【详解】（1）若存在使成立，
则，
解得或，
所以k的取值范围是；
（2）当时，，为对称轴是开口向上的抛物线，
因为，所以，
当即时，
；
当即时，
；
当即时，
；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
5．（24-25高三上·江西·开学考试）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若，设函数在区间上的最大值为，求的表达式，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一次函数和二次函数的单调性分析可得答案；
（2）由，可得抛物线开口向上，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论.
【详解】（1）当时，，则在上单调递增，满足条件；
当时，的对称轴为，要使在上单调递增，
则，解得：，
综上，若在上单调递增，则的取值范围为
（2）当时，的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，，
当时，即时，；
当时，即，，
当时，即，，
综上，，
所以当时，
【题型三 根据二次函数的最值（范围）求参数】
一、单选题
1．（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A．B．1C．2或D．
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得的值即可．
【详解】∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
①当时，抛物线的开口向上，
∵当时，函数在处取得最小值，
又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得．
②当时，抛物线的开口向下，
∵当时，函数在处取得最小值，
又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得：
故选：C．
二、多选题
2．（23-24高一下·全国·课后作业）二次函数在上最大值为1，则实数a值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】，则图像开口向上，对称轴为直线，根据对称轴的位置分两种情况讨论即可.
【详解】，则图像开口向上，对称轴为直线.
当时，即，时有最大值1，
即，解得；
当时，即，时有最大值1，
即，得；
故或.
故选：BD．
3．（2024高三·全国·专题练习）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（ ）
A．B．C．D．5
【答案】BC
【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值.
【详解】由题意可知：，
当时，二次函数图象的对称轴为直线，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，，解得，合乎题意；
当时，二次函数图象的对称轴为直线，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，解得，合乎题意.
故选：BC.
三、填空题
4．（2023高一上·浙江台州·专题练习）当时，二次函数的最大值为5，则m的值是 ．
【答案】0或4
【分析】利用二次函数的性质可求的值.
【详解】，
因为抛物线的对称轴为，开口向上，则其最大值，只能在或时取得，
当时，，解得或6，
当时，，此时在或0时取得最大值5，符合题意，
当时，，此时在取得最大值，显然不合题意舍去；
当时，二次函数的最大值为，
解得或（舍去）.
当时，，此时在时取得最大值5，符合题意，
当时，，此时在时取得最大值21，不符合题意，
综上所述，的值为或.
故答案为：0或4.
四、解答题
5．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)若函数在区间上有最小值3，求的值.
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）把的值代入函数解析式，再判断函数在已知区间上的单调性，进而可以求解，
（2）讨论对称轴与已知区间的三种位置关系，分别求出最小值，令其为3，解出来的值，进而可以求解．
【详解】（1）若，则，对称轴为，
函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，；
所以的值域为
（2），对称轴为，
①当，即时，函数在,上是增函数．
，
由，得．
，．
②当，即时，．
由，得，舍去．
③当，即时，函数在,上是减函数，
．
由，得．
，，
综上所述，或．
【题型四 分段函数单调性的应用】
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，当即时，在上单调递减，
函数是定义域上的减函数，则，解得.
故选：A.
2．（23-24高一上·山东·期中）已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围.
【详解】因为函数在上是单调增函数，且.
所以
解得
故选：D.
3．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，对，且都有成立，
所以在上单调递增，
所以，解得.
故选：B
4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围.
【详解】由已知时，，
显然在单调递减，在单调递增，
所以在处取到最小值，，
当时，
时，在单调递减，
不符合，舍去；
当时，时，开口向下，不符合，舍去；
当时，时，开口向上，且对称轴为，
在单调减，在单调增，
若即，则，所以；
若即，则得；
综上，实数a的取值范围是.
故选：C
5．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得的取值范围.
【详解】，
，过定点，
开口向上，对称轴，
当时，在递减，在递增，最小值为，
根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立.
当时，，，
所以存在，使成立，
当时，在上递增，在递增，
即在上递增，所以不存在符合题意的.
当时，在上递增，在上递减，在上递增，
根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立.
综上所述，的取值范围是.
故选：D
【点睛】对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴（单调性）有关，由此可确定分类的标准，从而使分类做到“不重不漏”
一、多选题
1．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，以及分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果.
【详解】在上为单调减函数，，解得：，
的值可以为或.
故选：CD.
2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为函数是上的减函数，
则函数在上为减函数，则，可得，
函数在上为减函数，则，
且有，解得.
综上所述，.
故选：ACD.
二、填空题
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用二次函数的单调性求解.
【详解】解：因为函数在上是严格减函数，
所以，
所以，解得，
故答案为：
4．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】保证每段函数单调递减和断点处函数值大小关系即可
【详解】由题意得在上单调递减，所以，解得．
故答案为：
三、解答题
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数，的最小值为，求的表达式．
【答案】
【分析】讨论对称轴和定义域的关系，结合函数的单调性，求函数的最小值.
【详解】∵对称轴为，图像开口向上，
①∴当，即时，在严格增，的最小值为；
②当，即时，的最小值为；
③当，即时，在严格减，的最小值为．
综上，.
6．（23-24高一上·重庆巴南·阶段练习）已知二次函数，且对任意实数均有成立．
(1)若函数的解析式；
(2)若函数在的最大值为13，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据函数值得到，，再根据对称轴得到答案.
（2）确定，考虑和两种情况，计算最值得到答案.
【详解】（1），，，故，
，
对任意实数均有成立，，故，解得.
.
（2），
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述：或.
7．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知二次函数的图象的顶点为，且的图象经过原点．
(1)求的解析式；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一利用顶点式设方程即可求解；法二：利用一般式设方程得方程组求解即可（2）利用单调性列不等式
【详解】（1）（方法一）设，
由题意得，得，
所以．
（方法二）设，
由题意得，解得
所以．
（2）由题意得在上单调递增，
所以，得，即的取值范围为．
8．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合,不等式的解集为．
(1)当，求实数的取值范围；
(2)已知函数,且,求此函数的最小值构成的函数．
【答案】(1)或;
(2).
【分析】（1）分，结合数轴考虑即可；
（2）二次函数的最值，结合对称轴与区间的关系分类讨论即可.
【详解】（1）由，得，解得或，即，
当时，即时，，满足，
当时，由，则，解得，
综上：实数的取值范围或.
（2）由（1）得函数,，
图像开口向上，对称轴为，
当或时，即或时，
，
当，即时，，
当，即时，，
综上，则函数的最小值构成的函数为.
9．（23-24高一上·山东·期中）已知函数，．
(1)设，解关于不等式.
(2)设，若当时的最小值为，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)或．
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，利用分类讨论思想，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，利用分类讨论，建立方程，可得答案.
【详解】（1）不等式即，即，
当时，即，解得，
当时，由得：，，
（ⅰ）若，则开口向上，，原不等式解得，
（ⅱ）若，则开口向下，，原不等式解得或，
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
（2）由知开口向上，对称轴是，
当，即时，函数在上单调递增，
最小值为，解得；
当，即时，
函数在单调递减，在上单调递增，
最小值为，解得或（舍），
综上，的值为或．
10．（22-23高一上·浙江·期中）已知函数．（）
(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(2)若函数在上的最小值为，最大值为，求和的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，.
【分析】（1）利用数形结合，得出，列不等式组解出即可；
（2）利用二次函数轴与区间的关系，分四类进行讨论即可.
【详解】（1）函数的对称轴是，其图象与x轴的交点坐标是（0,0）和，
则函数的图象如图所示.

所以函数的单调递减区间是和.
因为函数在上单调递减，所以，
所以，解得，即的取值范围为.
（2）若函数在上的最小值为，最大值为.
当时，函数在上单调递减，
则，，且，
解得解出；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
，，且，
解得，无解；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，
解得，无解；
当时，函数在上单调递增，
则，，且，
解得，解出；
综上，当时，；
当时，.