2023-2024学年四川省内江市中考数学试卷（附答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省内江市中考数学试卷（附答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个数中，最大数是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣1D．3
2．（3分）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列单项式中，ab3的同类项是（ ）
A．3ab3B．2a2b3C．﹣a2b2D．a3b
4．（3分）2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（ ）
A．4.91×104B．4.91×105C．4.91×106D．4.91×107
5．（3分）16的平方根是（ ）
A．2B．﹣4C．4D．±4
6．（3分）下列事件时必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
7．（3分）已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
8．（3分）不等式3x≥x﹣4的解集是（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x＜﹣2
9．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，若∠EFD＝64°，则∠BEF的大小是（ ）
A．136°B．64°C．116°D．128°
10．（3分）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（ ）
A．0.64（1+x）＝0.69B．0.64（1+x）2＝0.69
C．0.64（1+2x）＝0.69D．0.64（1+2x）2＝0.69
11．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线yx上，如此下去，…，若点B的坐标为（0，3），则点B37的坐标为（ ）
A．（180，135）B．（180，133）
C．（﹣180，135）D．（﹣180，133）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在函数y中，自变量x的取值范围是 ．
14．（5分）分解因式：m2﹣5m＝ ．
15．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（8分）（1）计算：|﹣1|﹣（2）0+2sin30°；
（2）化简：（x+2）（x﹣2）﹣x2．
18．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
19．（9分）某校为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有多少人？
20．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式ax+b的解集．
21．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
（1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22．（6分）已知实数a、b满足ab＝1的两根，则 ．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 ．
24．（6分）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝ ．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1x2＝ ；
（2）求，x1；
（3）已知2p+1，求p的值．
27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AD＝2CE，OA，求阴影部分的面积．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
2024年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．（3分）下列四个数中，最大数是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣1D．3
【答案】D
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜3，
∴最大的数是：3．
故选：D．
2．（3分）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、B、C中的图形不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意；
D、图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列单项式中，ab3的同类项是（ ）
A．3ab3B．2a2b3C．﹣a2b2D．a3b
【答案】A
【解答】解：根据同类项的定义可知，
ab3的同类项是3ab3．
故选：A．
4．（3分）2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（ ）
A．4.91×104B．4.91×105C．4.91×106D．4.91×107
【答案】C
【解答】解：491万＝4910000＝4.91×106，
故选：C．
5．（3分）16的平方根是（ ）
A．2B．﹣4C．4D．±4
【答案】D
【解答】解：16的平方根是±4，
故选：D．
6．（3分）下列事件时必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
【答案】B
【解答】解：A、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻是随机事件，不符合题意；
B、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意；
C、小明在内江平台能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意；
D、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意；
故选：B．
7．（3分）已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
【答案】B
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：3．
故选：B．
8．（3分）不等式3x≥x﹣4的解集是（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x＜﹣2
【答案】A
【解答】解：∵3x≥x﹣4，
∴3x﹣x≥﹣4，
∴2x≥﹣4，
∴x≥﹣2；
故选：A．
9．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，若∠EFD＝64°，则∠BEF的大小是（ ）
A．136°B．64°C．116°D．128°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠EFD＝64°，
∴∠BEF＝116°．
故选：C．
10．（3分）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（ ）
A．0.64（1+x）＝0.69B．0.64（1+x）2＝0.69
C．0.64（1+2x）＝0.69D．0.64（1+2x）2＝0.69
【答案】B
【解答】解：根据题意得：0.64（1+x）2＝0.69，
故选：B．
11．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：设S把1、S2、S3中分别用1、2、3表示，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，
∴灯泡能发光的概率为：，
故选：A．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线yx上，如此下去，…，若点B的坐标为（0，3），则点B37的坐标为（ ）
A．（180，135）B．（180，133）
C．（﹣180，135）D．（﹣180，133）
【答案】C
【解答】解：由题知，
将y＝3代入y得，
x＝﹣4，
所以点A的坐标为（﹣4，3），
所以OB＝3，AB＝4，
在Rt△ABO中，
AO，
所以C△OAB＝3+4+5＝12．
由所给旋转方式可知，
点B2n﹣1（n为正整数）在直线y上．
因为OB1＝5+4＝9，
OB3＝9+12，
OB5＝9+2×12，
…，
所以OB2n﹣1＝9+12（n﹣1）＝12n﹣3，
令2n﹣1＝37，
解得n＝19，
所以12n﹣3＝12×19﹣3＝225，
即OB37＝225．
令点B37的坐标为（m，），
所以m2，
解得m＝﹣180（舍正），
所以，
所以点B37的坐标为（﹣180，135）．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）在函数y中，自变量x的取值范围是 x≠0 ．
【答案】x≠0．
【解答】解：∵，
∴x≠0，
故答案为：x≠0．
14．（5分）分解因式：m2﹣5m＝ m（m﹣5） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝m（m﹣5），
故答案为：m（m﹣5）
15．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1 ＜ y2（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为：y＝（x﹣1+2）2，即y＝（x+1）2；
∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，且﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠B＝∠C＝90°，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
∴在Rt△ABF中，，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝3﹣x，
∵在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（8分）（1）计算：|﹣1|﹣（2）0+2sin30°；
（2）化简：（x+2）（x﹣2）﹣x2．
【答案】（1）1；
（2）﹣4．
【解答】解：（1）原式＝1﹣1+2
＝1﹣1+1
＝1；
（2）原式＝x2﹣4﹣x2
＝﹣4．
18．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）80°．
【解答】（1）证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵∠A＝55°，∠E＝45°，
由（1）可知：△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠FDE＝55°，
∴∠F＝180°﹣（∠FDE+∠E）＝180°﹣（55°+45°）＝80°．
19．（9分）某校为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为A级、B级、C级、D级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 40 ；
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是 72° ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A级的学生大约有多少人？
【答案】（1）40；
（2）72°；
（3）90人．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中表示D级的扇形圆心角的度数是：360°72°，
C级的人数为：40×35%＝14（人），
补充完整的条形统计图如图所示；
故答案为：72°；
（3）60090（人），
答：测试成绩为A级的学生大约有90人．
20．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式ax+b的解集．
【答案】（1）一次函数解析式为y＝﹣x+1．反比例函数解析式为y；（2）﹣2＜x＜0或x＞3．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（3，n），
∴k＝﹣2×3＝3×n，
∴k＝﹣6，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y，
A（﹣2，3），B（3，﹣2）在一次函数y＝ax+b的图象上，
，解得，
一次函数解析式为y＝﹣x+1．
（2）由图象可知，关于x的不等式ax+b的解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．
21．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．
（1）求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+1200x﹣35000（52≤x≤70），且最大利润为1000元．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣20）元，
则，
解得：a＝50，
经检验a＝50是方程的解，
此时a﹣20＝30，
∴猪肉粽每盒进价50元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）由题意得，当x＝52时，每天可售出180盒，
当猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70）时，每天可售[180﹣10（x﹣52）]盒，
∴y＝（x﹣50）[180﹣10（x﹣52）]＝（x﹣50）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1200x﹣35000＝﹣10（x﹣60）2+1000，
∵﹣10＜0，52≤x≤70，
∴当x＝60时，y取最大值，最大值为1000元，
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+1200x﹣35000（52≤x≤70），且最大利润为1000元．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22．（6分）已知实数a、b满足ab＝1的两根，则 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵ab＝1，
∴原式


＝1，
故答案为：1．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵AC＝AE，BC＝BD，
∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，
∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°，
∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
∴∠ACB+（180°﹣2x）+（180°﹣2y）＝180°，180°﹣（x+y）＝∠DCE，
∴∠ACB+360°﹣2（x+y）＝180°，
∴∠ACB+2∠DCE＝180°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠ACB＝100°，
故答案为：100°．
24．（6分）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝ 1188或4752 ．
【答案】1188或4752．
【解答】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数），
∴m＝1000（9﹣y）+100（9﹣x）+y+x＝99（100﹣10y﹣x），
∵m是四位数，
∴99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，
∵，
∴，
∵是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，
∴完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425，
又m是偶数，
∴m＝1188或4752，
故答案为：1188或4752．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 ．
【答案】．
【解答】解：在AB取点F，使 BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于H，
∵是△ABC 的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又 BP＝BP，
∴△BFP≌△BEP（SAS），
∴PF＝PE，
∴PE+PC＝PF+PC≥CF，
当C、P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF，
∵FH⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BFH＝30°，
∴，
∴，CH＝BC﹣BH＝7，
∴，
∴PE+PC 的最小值为 ，
故答案为：．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ p ，x1x2＝ 1 ；
（2）求，x1；
（3）已知2p+1，求p的值．
【答案】（1）p，1；
（2）p，；
（3）p＝3．
【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
故答案为：p，1；
（2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1，
∴p；
∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2，
∴，
∴，即；
（3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
∵，
∴，
∴p2﹣2＝2p+1，
解得：p1＝3，p2＝﹣1，
当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0；
当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0；
∴p＝3．
27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AD＝2CE，OA，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1．
【解答】（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ACE∽△ABC；
（2）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
由（1）知：∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，如图，
则AF＝FDAD，
∵AD＝2CE，
∴AF＝CE．
∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF＝CE，
∴OF＝AF，
则△AFO为等腰直角三角形，
∴∠FAO＝45°，AF＝FOOA＝1．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠FAO＝45°，
∴∠AOD＝90°．
∴OA•OD1，
，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD1．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+6；
（2）点D的坐标为（1，6）或；
（3）．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣2x+6＝0，
则x＝3；
令x＝0，则y＝6，
∴A（3，0），B（0，6），
把A（3，0），B（0，6）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）存在点D，使得△BDE和△ACE相似，
设点D（t，﹣t2+t+6），则E（t，﹣2t+6），C（t，0），H（t，6），
∴EC＝﹣2t+6，AC＝3﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+t，DE＝﹣t2+3t，
∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，
∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE，
①如图，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，
∴BD∥AC，
∴D点纵坐标为6，
∴﹣t2+t+6＝6，
解得t＝0或t＝1，
∴D（1，6）；
②如图，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE，
过B作BH⊥DC于H，
∴∠BHD＝90°，
∴，
∴，
∴﹣2t2+2t＝t，
解得t＝0（舍去）或，
∴，
综上所述，点D的坐标为（1，6）或．
（3）如图，∵四边形EGFD为菱形，
∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG，
设点D（m，﹣m2+m+6），E（m，﹣2m+6），F（n，﹣n2+n+6），G（n，﹣2n+6），
∴DE＝﹣m2+3m，FG＝﹣n2+3n，
∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，
即（m﹣n）（m+n﹣3）＝0，
∵m﹣n≠0，
∴m+n﹣3＝0，
即m+n＝3或n＝3﹣m，
∵A（3，0），B（0，6），
∴AO＝3，BO＝6，
∴，
过点G作GK⊥DE于K，
∴KG∥AC，
∴∠EGK＝∠BAC，
∴，
即，
∴，
∵DE＝EG，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，
∴点D的横坐标为 ．
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