山东省济南市莱芜区2024年九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份山东省济南市莱芜区2024年九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．25cmB．20cm
C．20cmD．20cm
2、（4分）若一个三角形的三边长为，则使得此三角形是直角三角形的的值是（ ）
A．B．C．D．或
3、（4分）已知反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4），则该函数图象必不经过点（ ）
A．（2，6）B．（-1，-12）C．（，24）D．（-3，8）
4、（4分）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
5、（4分）如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，则BG的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
6、（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为（ ）
A．6.5B．5.5C．8D．13
7、（4分）化简的结果是（ ）
A．9B．-3C．D．3
8、（4分）如图，在长方形中，点为中点，将沿翻折至，若，，则与之间的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_____．
10、（4分）2-1=_____________
11、（4分）已知a+b＝4，ab＝2，则的值等于_____．
12、（4分）（2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
13、（4分）如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点.若∠BAC=30°，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④.其中正确结论的序号是______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，中，是的中点，将沿折叠后得到，且 点在□内部．将延长交于点．
（1）猜想并填空：________（填“”、“”、“”）；
（2）请证明你的猜想；
（3）如图，当，设，，，证明：．
15、（8分）如图，直线与坐标轴交于点、两点，直线与直线相交于点，交轴于点，且的面积为.
(1)求的值和点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)若点是线段上一动点，过点作轴交直线于点，轴，轴，垂足分别为点、，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.
16、（8分）如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处，点落在点处，直线交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积与的面积比为，．
①求的长．
②求的长．
17、（10分）如图1，在直角坐标系中，一次函数的图象l与y轴交于点A（0 , 2），与一次函数y＝x﹣3的图象l交于点E（m ,﹣5）．
（1）m=__________；
（2）直线l与x轴交于点B，直线l与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积；
（3）如图2，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l或l有交点，直接写出a的取值范围_____________________________
18、（10分）如图，在△ABD中，AB=AD，将△ABD沿BD对折，使点A翻折到点C，E是BD上一点。且BE>DE，连接AE并延长交CD于F，连接CE.
(1)依题意补全图形；
(2)判断∠AFD与∠BCE的大小关系并加以证明；
(3)若∠BAD=120°，过点A作∠FAG=60°交边BC于点G，若BG=m，DF=n，求AB的长度(用含m，n的代数式表示).
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图所示，将直角三角形, ,,沿方向平移得直角三角形，,阴影部分面积为_____________.
20、（4分）一组数据1，3，1，5，2，a的众数是a，这组数据的中位数是_________.
21、（4分）在平面直角坐标系中，四边形是菱形。若点A的坐标是，点的坐标是__________．
22、（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=_______．
23、（4分）如图，四边形是一块正方形场地，小华和小芳在边上取定一点，测量知，，这块场地的对角线长是________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣5x＝0
25、（10分）如图矩形ABCD中,AB=12,BC=8,E、F分别为AB、CD的中点,点P、Q从A．C同时出发,在边AD、CB上以每秒1个单位向D、B运动,运动时间为t(0(1)如图1，连接PE、EQ、QF、PF，求证：无论t在0(2)如图2，连接PQ交CE于G，若PG=4QG，求t的值；
(3)在运动过程中，是否存在某时刻使得PQ⊥CE于G?若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由
26、（12分）如图，方格纸中每个小方格都长为1个单位的正方形，已知学校位置坐标为A（1,2）。
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）写出图书馆B位置的坐标。
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．
【详解】
∵H、G是AD与CD的中点，
∴HG是△ACD的中位线，
∴HG=AC=5cm，
同理EF=5cm，根据矩形的对角线相等，连接BD，得到：EH=FG=5cm，
∴四边形EFGH的周长为20cm．
故选D．
本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质．
2、D
【解析】
根据勾股定理即可求解.
【详解】
当4为斜边时，x=
当x为斜边是，x=
故选D.
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意分情况讨论.
3、D
【解析】
反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4），求出k值，然后依次判断各选项即可
【详解】
反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4），k=3×4=12；
依次判断：A、2×6=12经过，B、-1×（-12）=12经过，C、×24=12经过，D、-3×8=-24不经过，故选D
熟练掌握反比例函数解析式的基础知识是解决本题的关键，难度不大
4、B
【解析】
A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选C．
5、B
【解析】
分析：利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
详解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG=AG，AB=AF， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=GF，∵E是边CD的中点，∴DE=CE=6，
设BG=x，则CG=12－x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2， ∴（x+6）2=（12-x）2+62，
解得：x=1， ∴BG=1． 故选B．
点睛：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
6、A
【解析】
过点D作DH⊥AC于H，利用角平分线的性质得到DF=DH，将三角形EDF的面积转化为三角形DGH的面积来求．
【详解】
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△DEF=S△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为51和38，
∴△EDF的面积=．
故选A．
本题考查的知识点是角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
7、D
【解析】
根据算术平方根的性质，可得答案．
【详解】
解：，故D正确，
故选：D．
本题考查了算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
8、D
【解析】
直接利用平行线的性质结合翻折变换的性质得出△ADM≌△BCM(SAS)，进而利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】
∵M为CD中点，
∴DM=CM，
在△ADM和△BCM中
∵,
∴△ADM≌△BCM(SAS)，
∴∠AMD=∠BMC，AM=BM
∴∠MAB=∠MBA
∵将点C绕着BM翻折到点E处，
∴∠EBM=∠CBM,∠BME=∠BMC=∠AMD
∴∠DME=∠AMB
∴∠EBM=∠CBM=(90°-β)
∴∠MBA=(90°-β)+ β=(90°+β)
∴∠MAB=∠MBA=(90°+β)
∴∠DME=∠AMB=180°-∠MAB-∠MBA=90°-β
∵长方形ABCD中，
∴CD∥AB
∴∠DMA=∠MAB=(90°+β)
∴∠DME+∠AME=∠ABE+∠MBE
∵∠AME=α，∠ABE=β，
∴90°-β+α=β+(90°-β)
∴3β－2α＝90°
故选D.
本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是利用全等三角形对应角相等即可求解.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
连接AW，如图所示：
根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
,
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW=
又AD=AB′=1，
在RT△ADW中，tan∠DAW=，即tan30°=WD
解得：WD=
∴,
则公共部分的面积为：，
故答案为.
10、
【解析】
根据负指数幂的运算法则即可解答.
【详解】
原式=2-1=.
本题考查了负指数幂的运算法则，牢记负指数幂的运算法则是解答本题的关键.
11、1
【解析】
将a+b、ab的值代入计算可得．
【详解】
解：当a+b＝4，ab＝2时，
＝
＝
＝1，
故答案为：1．
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握整体代入思想的运用及分式加减运算法则、完全平方公式．
12、2
【解析】
解：正方形为旋转对称图形，绕中心旋转每90°便与自身重合. 可判断每个阴影部分的面积为正方形面积的，这样可得答案填2.
13、①②③④
【解析】
首先证明证明Rt△ADF≌Rt△BAC，结合已知得到AE=DF，然后根据内错角相等两直线平行得到DF∥AE，由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形，故②正确；由∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，可得∠AHE=90°，故①正确；由2AG=AF可知③正确；在Rt△DBF和Rt△EFA中，BD＝FE，DF＝EA，可证Rt△DBF≌Rt△EFA，故④正确.
【详解】
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．
∵F是AB的中点，
∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=AB．
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AD=2AF．
∴BC=AB，∠ADF=∠BAC，
∴AF=BF=BC．
在Rt△ADF和Rt△BAC中
AD＝BA ，AF＝BC，
∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），
∴DF=AC，
∴AE=DF．
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，
∴∠DFA=∠EAB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，故②正确；
∴AD=EF，AD∥EF，
设AC交EF于点H，
∴∠DAC=∠AHE．
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴EF⊥AC．①正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴2GF=2GA=AF．
∴AD=4AG．故③正确．
在Rt△DBF和Rt△EFA中
BD＝FE，DF＝EA，
∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确，
故答案为：①②③④．
本题解题的关键：运用到的性质定理有，直角全等三角形的判定定理HL，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形对应边与对应角相等的性质，平行四边形对角线互相平分与两组对边平行且相等的性质.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）＝；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据折叠的性质、平行四边形的性质、以及等腰三角形的判定与性质可猜想为相等；
（2）先证明∠EDF=∠EGF，再证明EG=ED，则等边对等角得：∠EGD=∠EDG，相减可得结论；
（3）分别表示BF、CF、BC的长，证明ABCD是矩形得：∠C=90°，在Rt△BCF中，由勾股定理列式可得结论．
【详解】
解：（1）GF=DF，
故答案为：=；
（2）理由是：
连接DG，
由折叠得：AE=EG，∠A=∠BGE，
∵E在AD的中点，
∴AE=ED，
∴ED=EG，
∴∠EGD=∠EDG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠BGE+∠EGF=180°，
∴∠EDF=∠EGF，
∴∠EDF-∠EDG=∠EGF-∠EGD，
即∠GDF=∠DGF，
∴GF=DF；
（3）证明：如图2，由（2）得：DF=GF=b，
由图可得：BF=BG+GF=a+b，
由折叠可得：AB=BG=a，AE=EG=c，
在ABCD中，
BC=AD=2AE=2c，CD=AB=a，
∴CF=CD-DF=a-b，
∵∠A=90°，
∴ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
BC2+CF2=BF2，
∴(2c)2+(a-b)2=(a+b)2，
整理得：c2=ab．
本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的性质与判定，难度适中，熟练掌握折叠前后的边和角相等是关键．
15、（1），点为；（2）；（3）存在，点为，理由见解析
【解析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值及点A的坐标；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则PH=，利用三角形的面积公式结合△PAC的面积为，可求出AC的长，进而可得出点C的坐标，再根据点P，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线PC的解析式；
（3）由题意，可知：四边形EMNQ为矩形，设点E的纵坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标为（t-3，t）、点Q的坐标为（，t），利用正方形的性质可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】
解：（1）把点代入直线，
即 时，
直线，当时， 得：
，点为
（2）过点作轴，垂足为，由（1）得，
∴
解得：
点为
设直线为，把点、代入，得：
解得：
直线的解析式为
（3）由已知可得，四边形为矩形，
设点的纵坐标为，则 得：
点为
轴
点的纵坐标也为
点在直线上，当时，

又
当时，矩形为正方形，所以

故点为
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出m的值及点A的坐标；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用正方形的性质，找出关于t的一元一次方程.
16、（1）见解析；（2）①，②
【解析】
(1)由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM,由四边形ABCD是矩形,可得∠ANM=∠CMN,则可证得∠CMN=∠CNM,继而可得CM=CN;
(2)① 根据题意可知和是等高的两个三角形，根据的面积与的面积比为，，即可解答
②根据题意可知，再利用勾股定理即可解答
【详解】
（1）折叠
，，
是矩形
（2）①
和是等高的两个三角形
且
②
且
根据勾股定理
如图作
，
是矩形
，
在中，
此题考查翻折变换(折叠问题)和勾股定理，解题关键在于利用折叠的性质求解
17、（1）-2；（2）；（3）≤a≤或3≤a≤6.
【解析】
（1）根据点E在一次函数图象上，可求出m的值；
（2）利用待定系数法即可求出直线l1的函数解析式，得出点B、C的坐标，利用S四边形OBEC＝S△OBE＋S△OCE即可得解；
（3）分别求出矩形MNPQ在平移过程中，当点Q在l1上、点N在l1上、点Q在l2上、点N在l2上时a的值，即可得解．
【详解】
解：（1）∵点E（m，−5）在一次函数y＝x−3图象上，
∴m−3＝−5，
∴m＝−2；
（2）设直线l1的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
∵直线l1过点A（0，2）和E（−2，−5），
∴ ，解得，
∴直线l1的表达式为y＝x＋2，
当y＝x＋2=0时，x=
∴B点坐标为(，0)，C点坐标为（0，−3），
∴S四边形OBEC＝S△OBE＋S△OCE＝××5＋×2×3＝；
（3）当矩形MNPQ的顶点Q在l1上时，a的值为；
矩形MNPQ向右平移，当点N在l1上时，x＋2＝1，解得x＝，即点N（，1），
∴a的值为＋2＝；
矩形MNPQ继续向右平移，当点Q在l2上时，a的值为3，
矩形MNPQ继续向右平移，当点N在l2上时，x−3＝1，解得x＝4，即点N（4，1），
∴a的值为4＋2＝6，
综上所述，当≤a≤或3≤a≤6时，矩形MNPQ与直线l1或l2有交点．
本题主要考查求一次函数解析式，两条直线相交、图形的平移等知识的综合应用，在解决第（3）小题时，只要求出各临界点时a的值，就可以得到a的取值范围．
18、 (1)见解析；(2)∠BCE=∠AFD；(3)AB=m+n
【解析】
（1）将△ABD沿BD对折，使点A翻折到点C，在BD上取一点E，BE>DE，连接AE并延长交CD于F，连接CE.据此画图即可；
(2)先证出四边形ABCD是菱形，得∠BAF=∠AFD，再证出ΔABE≌ΔCBE，得到∠BCE=∠BAE.，所以∠BCE=∠AFD；
（3）由已知得出ΔACD是等边三角形，所以AD=AC, 再根据∠FAG=60°证出∠CAG=∠DAF，然后证明ΔACG≌ΔADF，得到CG=DF，从而得出AB=BC=m+n..
【详解】
(1)如图所示：
；
(2) ∠BCE=∠AFD，
理由：
由题意可知：∠ABD=∠CBD，AB=BC=AD=CD
∴四边形ABCD是菱形
∴∠BAF=∠AFD
在ΔABE和ΔCBE中
∴ΔABE≌ΔCBE（SAS）
∴∠BCE=∠BAE.
∴∠BCE=∠AFD.
(3)如图
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠CAD=∠CAB=60°
∴ΔACD是等边三角形
∴AD=AC
∵∠GAC+∠FAC=60°，且∠FAC+∠DAF=60°
∴∠CAG=∠DAF
在ΔACG和ΔADF中,
∴ΔACG≌ΔADF（ASA）
∴CG=DF
∵DF=n，BG=m
∴CG=n
∴BC=m+n
∴AB=BC=m+n.
本题考查了折叠问题，菱形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据平移的性质，对应点间的距离等于平移的距离求出CE=BF，再求出GE，然后根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ABC的面积等于△DEF的面积，从而得到阴影部分的面积等于梯形ACEG的面积，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
∵△ACB平移得到△DEF，
∴CE=BF=2，DE=AC=6，
∴GE=DE-DG=6-3=3，
由平移的性质，S△ABC=S△DEF，
∴阴影部分的面积=S梯形ACEG=（GE+AC）•CE=（3+6）×2=1．
故答案为：1．
本题考查了平移的性质，熟练掌握性质并求出阴影部分的面积等于梯形ACEG的面积是本题的难点，也是解题的关键．
20、1.1，2，2.1．
【解析】分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据中众数不止一个，由此可得出a的值，将数据从小到大排列可得出中位数．
详解：1，3，1，1，2，a的众数是a，
∴a=1或2或3或1，
将数据从小到大排列分别为：1，1，1，2，3，1，
1，1，2，2，3，1，
1，1，2，3，3，1，
1，1，2，3，1，1.
故中位数分别为：1.1，2，2.1．
故答案为：1.1，2，2.1．
点睛：本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，属于基础题．
21、
【解析】
作AD⊥y轴于点D，由勾股定理求出OA的长，结合四边形是菱形可求出点C的坐标.
【详解】
作AD⊥y轴于点D.
∵点A的坐标是，
∴AD=1,OD=,
∴,
∵四边形是菱形,
∴AC=OA=2,
∴CD=1+2=3,
∴C(3, ).
故答案为：C(3, )
本题考查了菱形的性质，勾股定理以及图形与坐标，根据勾股定理求出OA的长是解答本题的关键.
22、1 ．
【解析】
试题分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出ED=BC=1．故答案为1．
考点： 三角形中位线定理．
23、40m
【解析】
先根据勾股定理求出BC，故可得到正方形对角线的长度．
【详解】
∵，
∴，
∴对角线AC=．
故答案为：40m．
此题主要考查利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理的运用．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) ;(2) x1＝0，x2＝1．
【解析】
（1）先把化简，然后合并即可；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）原式＝2﹣＝；
（2）x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
25、（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【解析】
（1）由矩形的性质得出CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS证明△APE≌△CQF，得出PE=QF，同理：PF=QE，即可得出结论；
（2）根据题意得：AP=CQ=t，∴PD=QB=8-t，作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，证出EH是梯形ABQP的中位线，由梯形中位线定理得出EH= （AP+BQ）=4，证出GH：GQ=3：2，由平行线得出△EGH∽△CGQ，得出对应边成比例 ，即可得出t的值；
（3）由勾股定理求出CE= =10，作EM∥BC交PQ于M，由（2）得：ME=4，证出△GCQ∽△BCE，得出对应边成比例求出CG=t，得出EG=10- t，由平行线证明△GME∽△GQC，得出对应边成比例，求出t=0或t=8.5，即可得出结论．
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=12,AD=BC=8,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=6，DF=CF=6，
∴AE=BE=DF=CF，
∵点P、Q从A. C同时出发，在边AD、CB上以每秒1个单位向D、B运动，
∴AP=CQ=t，
在△APE和△CQF中, ，
∴△APE≌△CQF(SAS),
∴PE=QF，
同理：PF=QE，
∴四边形PEQF总为平行四边形；
(2)根据题意得：AP=CQ=t，
∴PD=QB=8−t，
作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，如图2所示：
则F为CD的中点，H为PQ的中点，EF=BC=8，
∴EH是梯形ABQP的中位线，
∴EH= (AP+BQ)=4，
∵PG=4QG，
∴GH:GQ=3:2，
∵EF∥BC，
∴△EGH∽△CGQ，
∴ = ,即4t=，
解得：t=，
∴若PG=4QG,t的为 值;
(3)不存在，理由如下：
∵∠B=90°，BE=6，BC=8，
∴CE= =10，
作EM∥BC交PQ于M，如图3所示：
由(2)得：ME=4，
∵PQ⊥CE，
∴∠CGQ=90°=∠B，
∵∠GCQ=∠BCE，
∴△GCQ∽△BCE，
∴ ,即=，
∴CG=t，
∴EG=10−t，
∵EM∥BC，
∴△GME∽△GQC，
∴ ,即 ，
解得：t=0或t=8.5，
∵0∴不存在。
此题考查四边形综合题，解题关键在于作辅助线
26、（1）见解析；（2）(−3,−2)；
【解析】
(1)利用点A的坐标画出直角坐标系；
(2)根据点的坐标的意义描出点B；
【详解】
(1)建立直角坐标系如图所示：
(2)图书馆(B)位置的坐标为(−3,−2)；
故答案为：(−3,−2)；
此题考查坐标确定位置，解题关键在于根据题意画出坐标系.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分