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广东省三校2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷（Word版附答案）
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这是一份广东省三校2024-2025学年高二上学期第一次质量检测数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体
2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ）
A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线
C 直线与直线共面D. 直线与直线共面
4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与 CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（ ）
A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺
8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（ ）
A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱
B. 棱与水面所在平面平行
C. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为
11. 半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）
A. 平面EAB
B. 该二十四等边体的体积为
C. 该二十四等边体外接球的表面积为
D. PN与平面EBFN所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是_______.
13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．
14. 球面被平面所截得一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.
四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面平面；
16. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
（1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积；
（2）求证：AN⊥平面PBM；
（3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．
（1）证明：三棱锥为鳖臑；
（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．
18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD为平行四边形，且，.
（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说明理由；
（2）计算（1）中所得截面的面积；
（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.
19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，M为的中点，且.
（1）判断形状，并说明理由；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
2024-2025学年高二第一学期第一次月考数学科试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】BD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【16题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.
【18题答案】
【答案】（1）即为要画的线，理由见解析；
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）为等边三角形，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体
2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ）
A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线
C 直线与直线共面D. 直线与直线共面
4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与 CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（ ）
A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺
8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（ ）
A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱
B. 棱与水面所在平面平行
C. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为
11. 半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）
A. 平面EAB
B. 该二十四等边体的体积为
C. 该二十四等边体外接球的表面积为
D. PN与平面EBFN所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是_______.
13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．
14. 球面被平面所截得一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.
四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面平面；
16. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
（1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积；
（2）求证：AN⊥平面PBM；
（3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．
（1）证明：三棱锥为鳖臑；
（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．
18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD为平行四边形，且，.
（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说明理由；
（2）计算（1）中所得截面的面积；
（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.
19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，M为的中点，且.
（1）判断形状，并说明理由；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
2024-2025学年高二第一学期第一次月考数学科试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】BD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【16题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.
【18题答案】
【答案】（1）即为要画的线，理由见解析；
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）为等边三角形，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
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