江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），文件包含2026届高二年级第一次月考数学试卷doc、2026届高二年级第一次月考数学试卷答题卡doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
1．空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为（ ）
A．2B．C．3D．4
2.若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．如果，，则 B．如果，，，，则
C．如果，，则 D．如果，，，则
3．设复数满足，则复数（ ）
A．B．C．D．
4．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B． C．i D．
如图，在三棱柱中，底面ABC，
，点D是棱上的点，，
若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．1:2B．4:5
C．4:9D．5:7
8. 已知是面积为等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为D．的最大值为4
10．下列有关复数的说法正确的是（ ）
A.若是关于的方程的一个根，则
B.若，则点的集合所构成的图形的面积为
C. 若是复数，则一定有 D. 若，则
11．如图，已知正方体的棱长为，
则下列选项中正确的有（ ）
异面直线与的夹角的正弦值为
B．二面角的平面角的正切值为
C．四棱锥的外接球体积为
D．三棱锥与三棱锥体积相等
三、填空题（本题共3小题，每小题5分,共15分）
12.在复数范围内，方程的虚数根是 ( 写出一个即可)
13．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ．
14.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2,其内切球的半径为1,则该正四棱台的侧面积为
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题13分已知直三棱柱中，，点D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面ABC边长为2的正三角形，，
求三棱锥的体积．
16.本小题15分已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
(1)设复数，求；
(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
17.本小题15分如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交于点，，是边上靠近的三等分点．
(1)设，，，用，，表示向量；
(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
18.(本小题17分)如图, 为圆柱O0'的轴截面，是圆柱上异于AD,BC的母线.
(1)证明:平面:
(2)若，当三棱锥
的体积最大时，求二面角的正弦值.

19.(本小题17分)图1所示，在矩形中，，，点为上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面的投影落在线段上，得到如图2所示的空间几何体．
（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（2）求二面角的大小．

2026届高二年级第一次月考数学试卷答案
13. 14. 18
1．C【分析】由空间直角坐标系中点的坐标的定义即可求解.
【详解】空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离即为竖坐标3.故选：C
2【答案】C【详解】A：当时，才能由，，得到，所以本选项命题是假命题；B：只有当，时才能由，，得到，所以本选项命题是假命题；C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题；
D：因为，，，所以直线m，n没有交点，因此m，n可以平行也可以异面，所以本选项命题是假命题，故选：C
3．A【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的概念求得复数.
【详解】，∴，故选：A.
4．B【详解】如图所示，
设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.
则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•，可得l＝3r.
解得：r＝3，l＝9，h6.
该圆锥的轴截面的面积S•2r•h＝rh＝3×618.故选：B.
D【详解】连接，因为是线段的中点，
所以
因为，所以
所以故选：D
6．D【详解】因为，
所以，
故选：D.
7．D【详解】不妨令，且上下底面等边三角形，
又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，
所以三棱柱体积，
而，故，所以，故，所以.故选：D
8【答案】A【解析】【分析】作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆心M三点共线且P与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥的高h，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用,求出球O的半径R，最后利用球体的表面积公式可求出答案．
【详解】如图所示，
设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值.
因为的面积为，所以边长为3，
由于三棱锥的体积的最大值为，得，
易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥，
的外接圆直径为，所以,
设球O的半径为R，则,解得,
所以球的表面积为.故选：A
9．AC
【详解】对于A，若，且，
则存在唯一实数使得，即，
则，解得，故A正确；
对于B，若，则，即，
化简得，因为，所以无实数解，故B错误；
对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.故选：AC.
10在A中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，故A正确；
B中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为，
所以点的集合所构成的图形的面积为，故B正确.
C：当，则，而，显然不成立，错误；
D：令，，则，故，又，，则，所以，正确.
11ACD【详解】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，
，则，A正确；
对于B，连接交于点O，连接，

∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面
∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，
在中，，B不正确；对于C，∵正方体外接球的半径，∴正方体的外接球体积为，C正确；对于D，∵，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.故选：ACD.
13．【详解】，，得，
，即点的坐标为.故答案为：.
14 . 18
15.【答案】（1）证明见解析 （2）1
【解析】（1）连接交于点E，连接DE
∵四边形是矩形，∴E为的中点，
又∵D是AB的中点，∴，
又∵平面，平面，∴面．
（2）∵，D是AB的中点，∴，
又∵面ABC，面ABC，∴．
又∵面，面，，
∴面，∴CD为三棱锥的高，，
又∵，，∴，，
∴三棱锥的体积．
16【答案】(1). (2)
【详解】（1）解：因为，则，
所以，为纯虚数，
所以，，解得.解：，
因此，.
（2）解：因为，则，
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
17．(1)；(2).
【详解】（1）依题意，，，，，，
．
（2）依题意，点，
，，，
．
19解：（1）在边上取点，使得，过作的平行线交于点，连接，．且，
又且，且，
故四边形为平行四边形，，又平面，
平面，，平面；
（2）如图，记点在线段上射影为，过点作的垂线，垂足为，连接，
，
，，则为二面角的平面角．
在矩形中，如图，，，
，，，又，
， ， ，
则． 二面角的大小为.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
B
D
D
D
A
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
ACD