山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考测试（10月）数学试卷

这是一份山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考测试（10月）数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1．(5分)已知空间向量,,且,则向量与的夹角为( )
A.B.C.D.
2．(5分)在三棱锥中,已知,G是线段的中点,则( )
A.B.
C.D.
3．(5分)已知，，，点M在直线上运动.当取最小值时，点M的坐标为( )
A.B.C.D.
4．(5分)如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足的是( )
A.B.C.D.
5．(5分)菱形的边长为4，，E为的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线的距离为( )
A.B.C.D.
6．(5分)已知,,,,则点D到平面ABC的距离为( )
A.B.C.D.
7．(5分)在四面体中,记,,,若点M、N分别为棱OA、BC的中点,则( )
A.B.
C.D.
8．(5分)如图，在正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有( )
①二面角的大小为常数
②二面角的大小为常数
③二面角的大小为常数
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、多项选择题(共18分)
9．(6分)已知直线，的方向向量分别是，，若且，则的值可以是( )
A.B.C.1D.3
10．(6分)已知直线,,下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则或
C.当时,是直线的方向向量
D.原点到直线的最大距离为
11．(6分)如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A.B.
C.向量与的夹角是D.与所成角的余弦值为
三、填空题(共10分)
12．(5分)已知空间向量,,则在上的投影向量的坐标是________.
13．(5分)四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,则PG与平面PAD所成角的正弦值为________.
四、双空题(共5分)
14．(5分)已知直线l的方向向量为a，平面的一个法向量为，若，则直线l与平面的位置关系为_________；若，则直线l与平面的位置关系为_________.
五、解答题(共77分)
15．(13分)已知,.
（1）若,求实数k的值;
（2）若,求实数k的值.
16．(15分)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且.
（1）求；
（2）求二面角的正弦值.
17．(15分)如图，在三棱锥中，，D是BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知，，，.
（1）求证：.
（2）若点M是线段AP上一点，且，试证明平面平面BMC.
18．(17分)如图,在正三棱柱中,,,D是中点,E在棱上,且.
（1）求证:平面平面;
（2）求平面与平面ABC的夹角的余弦值.
19．(17分)如图,三棱锥中,平面,,,,M是棱上一点,且.
(1)证明：平面;
(2)若,求与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：,解得,则,
,,
设向量与的夹角为,则,
,,即与的夹角为.
故选:A.
2．答案：D
解析：连接,因为G是线段的中点,所以
因为,所以
所以
故选：D.
3．答案：D
解析：设，即，故，
，
当时，向量数量积有最小值，此时.
故选：D.
4．答案：C
解析：在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B，，
对于A，，，，，直线l的方向向量，
，显然，直线与l不垂直，A不是；
对于B，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，直线与l不垂直，B不是；
对于C，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，，C是；
对于D，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，直线与l不垂直，D不是.
故选：C
5．答案：A
解析：连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为E为的中点，所以，所以,，
因为，平面，所以平面，
因为菱形的边长为4，所以,,，
所以直角梯形的面积为，
设四棱锥的高为h，则，得，
所以，所以平面，
所以以E为原点，,,所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则,,，
所以，
所以,
所以，，
所以F到直线的距离为，
故选：A
6．答案：C
解析：易知,,,
设平面ABC的法向量,则即
令,则,,所以平面ABC的一个法向量为,
所以点D到平面ABC的距离.
故选:C.
7．答案：B
解析：由题意得：,
故选：B.
8．答案：B
解析：
设正方体的棱长为a，以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
又F是侧面上的动点，设，，，
则，
设平面的法向量为，又，，
则，即，令，则，，
即，
又平面，则，即，
则，解得，
因此可得，，
设平面的法向量为，又，，
则，即，令，则，，
即，
又
因此可得二面角的大小为常数，故①正确；
设平面的法向量为，又，，
则，即，令，则，，
即，
因为中含参数，故的值不定，
因此二面角的大小不是常数，故②不正确；
设平面的法向量为，又，，
则，即，令，则，，
即，
因为中含参数，故的值不定，
因此二面角的大小不是常数，故③不正确；
故选：B.
9．答案：AC
解析：直线、的方向向量分别是，
，且，
，解得，
或，
或.
10．答案：AD
解析:对选项A:,则,解得,故A正确;
对选项B:当时,两条直线重合,故B错误;
对选项C:时,,斜率为,的方向向量是,故C错误;
对选项D:过定点,故原点到直线的最大距离为,故D正确.
故选:AD.
11．答案：AB
解析：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，
可设棱长为1，则，
，
而，所以A正确.
，所以B正确.
向量，显然为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，则C不正确又，则，，，所以，所以D不正确.
12．答案：
解析：,,
,
故在上的投影向量的坐标.
故答案为:
13．答案：
解析：因为底面ABCD,底面ABCD是正方形,
所以DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,则重心,
因而,,,
设平面PAD的一个法向量为,
则,令则,
则,
故答案为:.
14．答案：垂直；或
解析：若，则，则n，a共线，故直线l与平面垂直；
若，则，则，又不确定直线l是否在平面内，所以或.
15．答案：（1）,
（2）或
解析：（1）,,
若,则,
即,,,
解得,.
（2）,,
若,则,
即,
化简可得,解得或.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为平面，所以，.
在矩形中，，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，，，
所以，.
因为，所以，得，
所以.
（2）易知，由（1）可得，，，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则即
得，令，则，所以平面的一个法向量为.
，
二面角的正弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为，D是BC的中点，所以.
如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）因为平面ABC，平面ABC，所以.
因为，，所以.
因为M为AP上一点，且，所以.
由（1）得，所以.
又，所以.
所以，.
设平面BMC的法向量为，
则即
令，则，，所以.
设平面AMC的法向量为，
则即
令，则，，所以.
所以，
所以，所以平面平面BMC.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设的中点为F,过F作分别交AC,于G,,连接EF、,
则G,分别为AC,的中点,
所以,
由,,得,即,又因为,
所以四边形是平行四边形,
所以,
因为是的中点,为正三角形,所以,
由正三棱柱的性质得,底面,且底面,
所以,,,平面,
所以平面.
又因为,所以平面,
平面,所以平面平面.
（2）以BC中点O为原点,OA,OC,(为中点)分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,
易得平面ABC的一个法向量,
设向量为平面一个法向量,
,,
则由,,得,,
令,得,
设平面与平面ABC的夹角为,
则.
所以平面与平面ABC的夹角的余弦值为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：因为,,,所以,
由,即,
又因为,可得为边上的高,所以，
因为平面且平面,所以
又因为且,平面,所以平面.
(2)因为平面且,
以A为坐标原点,以,,所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因为,可得,,,
则,,,
设平面的法向量为,则,
令,可得,,所以,
设直线与平面所成角为,
则,
故与平面所成角的正弦值为.