山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高一上学期第一次（10月）月考测试数学试卷

这是一份山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高一上学期第一次（10月）月考测试数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共40分)
1．(5分)已知二次函数满足，，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )
A.B.
C.D.
2．(5分)已知a,b为正数,若,有函数,则的最小值为( )
A.B.C.9D.
3．(5分)已知函数的定义域为R,且对任意,满足,,且,则( )
A.651B.676C.1226D.1275
4．(5分)已知函数，若，则( )
A.B.C.0D.1
5．(5分)函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则( )
A.0B.1C.D.
6．(5分)设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则( )
A.-1B.C.1D.2
7．(5分)若正数x，y满足，则的最小值是( )
A.2B.C.4D.
8．(5分)已知函数的定义域为R,有下面三个命题,命题p：存在且,对任意的,均有恒成立,命题：在R上是严格减函数,且恒成立；命题：在R上是严格增函数,且存在使得,则下列说法正确的是( )
A.、都是p的充分条件B.只有是p的充分条件
C.只有是p的充分条件D.、都不是p的充分条件
二、多项选择题(共18分)
9．(6分)下列命题中,是全称量词命题且是真命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数
C.实数都可以写成小数形式D.一定存在没有最大值的二次函数
10．(6分)已知,,下列结论正确的是( )
A.B.的最小值是
C.的最小值是8D.的最小值是
11．(6分)已知,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题(共10分)
12．(5分)某班有学生56人,同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人,同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人,同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组,则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多______.
13．(5分)已知实数,,且满足,则的最小值为_______________.
四、双空题(共5分)
14．(5分)已知命题,,则p的否定是_________,命题p是_________（填入“真”或“假”）命题.
五、解答题(共77分)
15．(13分)已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求m，n的值：
(2)试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)求使成立的实数a的取值范围.
16．(15分)（1）设a,b,c为正数,求证:;
（2）解关于x的不等式:.
17．(15分)若实数x,y,m满足,则称x比y远离m.
（1）若比1远离t,求实数t的取值范围;
（2）若,,试问:与哪一个更远离2?并说明理由.
18．(17分)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周（阴影部分）为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同）,塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式（写出函数定义域）;
(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少？
19．(17分)已知,.
（1）若不等式对于一切实数x恒成立,求实数的取值范围;
（2）求不等式的解集.
参考答案
1．答案：A
解析：根据题意，由得：图象的对称轴为直线，
设二次函数为，
因的最大值是8，所以，当时，，
即二次函数，
由得：，解得：，
则二次函数，
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意可得,又因为,
当时,可得,即;
当时,显然成立;
当时,可得,即;
综上可得,即,
因为a,b为正数,
所以,
当且仅当时取等号,故B正确.
故选：B.
3．答案：A
解析：由
,
所以,
即,
所以.
故选:A.
4．答案：C
解析：，，
当时，，解得；
当时，，解得，即（舍去），.
5．答案：C
解析：由题意，函数是R上的奇函数，所以，所以，
又，所以，所以，因此函数为周期函数，周期，所以.
6．答案：D
解析：解法一：令,即,可得,
令,,
原题意等价于当时,曲线与恰有一个交点,
注意到,均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,
可得,即,解得,
若,令,可得
因为,则,当且仅当时,等号成立,
可得,当且仅当时,等号成立,
则方程有且仅有一个实根0,即曲线与恰有一个交点,
所以符合题意;
综上所述：.
解法二：令,
原题意等价于有且仅有一个零点,
因为,
则为偶函数,
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0,
即,解得,
若,则,,
又因为,当且仅当时,等号成立,
可得,当且仅当时,等号成立,
即有且仅有一个零点0,所以符合题意;
故选：D.
7．答案：C
解析：因为正数x，y满足，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
8．答案：A
解析：若成立,当,有.
因为单调递减,且恒成立,所以,
所以,
故存在(且),对任意的,均有恒成立,
所以是p的充分条件；
若成立时,当时,,.
因为单调递增,所以恒成立,
故存在(且),对任意的,均有恒成立,
所以也是p的充分条件.
故选：A.
9．答案：AC
解析：A选项中,“任何”是全称量词,它是全称量词命题,且为真命题;
B选项中,“都”是全称量词,它是全称量词命题,由于0是自然数,不是正整数,故该命题是假命题;
C选项中,“都”是全称量词,它是全称量词命题,且为真命题;
D选项中,“存在”是存在量词,它是存在量词命题.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：,由,解得,A正确;
,
当且仅当时,等号成立,而此时不存在a,b,B错误;
由,得,所以,
当且仅当,即,时,等号成立,C正确.
由,得,
则,
当且仅当,即,时,等号成立,D正确.
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：因为,所以,故A正确;
因为,所以,故B正确;
因为,不妨令,,得,,此时,故C错误;
因为,所以,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：21
解析：如图,设该班学生中同时参加三个小组的人数为x,只参加其中一个小组的人数为y,
则,即.
因为,所以.
所以只参加其中一个小组的人数最多为21.
故答案为：21.
13．答案：
解析：,,,
,,
,
当且仅当,即,时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为：.
14．答案：,;假
解析：命题p的否定是：,
当,且不为0时,有,所以命题p是假命题.
故答案为：,;假.
15．答案：(1)，；
(2)在上为增函数.证明见解析；
(3)
解析：（1）由题意，
在中，函数是奇函数，
且，可得即；
又，则，
，；经验证满足题意.
（2）由题意及（1）得，
在上为增函数.证明如下：
在中，
设，则，
，
，，
，即，
在上为增函数；
（3）由题意，（1）及（2）得，
在中，为奇函数，
，即，
，
解得，
a的取值范围是
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为a,b,c为正数,
由基本不等式可得,,当且仅当时取等号,
,当且仅当取等号,
,当且仅当取等号,
以上三式相加有,
即,当且仅当时取等号.
（2）,
即,
即.
①当时,,,的解集为,
②当时,,
等价于,即;
③当时,等价于,
即或.
综上可得:时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.
17．答案：（1）
（2）比远离2,理由见解析
解析：（1）由题意,,
即,
两边平方,得,解得.
（2）因为,所以.
,
当时,,
当且仅当,即,或时等号成立,所以.
此时比远离2;
当时,,
当且仅当,即,或时等号成立,所以.
此时比远离2.
综上,比远离2.
18．答案：(1),
(2)矩形场地,时,运动场的面积最大,最大面积是
解析：(1)由已知,,,,故,
由,解得, .
,
根据,得,
,.
(2),
当且仅当,即时等号成立,此时.
所以,矩形场地,时,运动场的面积最大,最大面积是.
19．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为,
则不等式,可化为,
即对于任意的实数x恒成立,
当时,即时,不等式为,解得,不符合题意;
当时,则满足,解得,
综上可得,实数a的取值范围为.
（2）由不等式,可得,即,
①当时,不等式可化为,解得
当时,方程的解,或,
②当时,,或;
③当时,
（i）当时,即,;
（ii）当时不等式的解集为,
（iii）当时,,,
综上可得:
当时,原不等式的解集为;
当,原不等式的解集为,
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.