湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

这是一份湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若直线l:x+my+1=0的倾斜角为5π6，则实数m值为( )
A. 3B. - 3C. 33D. - 33
2.已知直线l1:x-y+1=0，l2:2x-y-1=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y-5=0垂直的直线方程为( )
A. 3x-4y-1=0B. 3x-4y+1=0C. 4x-3y+1=0D. 4x-3y-1=0
3.已知n1=(-1,9,1)，n2=(m,-3,2)，n3=(0,2,1)，若{n1,n2,n3}不能构成空间的一个基底，则m=( )
A. 3B. 1C. 5D. 7
4.已知事件A、B，如果A与B互斥，那么P(AB)=p1;如果A与B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，那么P(A+B)=p2，则p1，p2分别为( )
A. p1=0，p2=0.9B. p1=0.42，p2=0.9
C. p1=0，p2=0.72D. p1=0.42，p2=0.45
5.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABEF为正方形，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60∘，则直线AC，FB所成角的余弦值为( )
A. 64B. 53C. 104D. 63
6.在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5，6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是( )
A. 110B. 310C. 25D. 14
7.如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m的正方形，已知该组合体的体积为23m3，则其表面积为( )
A. (2+ 2)m2B. (3+ 2)m2C. (2+ 3)m2D. (3+ 3)m2
8.已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0的两侧，给出下列命题：
①2a-3b+1>0;
②当a≠0时，ba有最小值，无最大值;
③存在正实数m，使得 a2+b2>m恒成立;
④当a>0且a≠1，b>0时，ba-1的取值范围是(-∞,-13)∪(23,+∞).
其中正确的命题是( )
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是( )
A. 超过14的大学生更爱使用购物类APP
B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是23%
D. APP使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%
10.设k∈R，过定点A的动直线l1:x+ky=0与过定点B的动直线l2:kx-y+3-k=0交于点P，则下列说法正确的有( )
A. |PA|2+|PB|2=16B. 三角形PAB面积的最大值为52
C. 1|PA|+1|PB|≥ 55D. P点到坐标原点的距离的最大值为 10
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，E，F分别为棱AA1，CC1，BC的中点，O为侧面正方形AA1B1B的中心，则下列结论正确的是( )
A. 直线AC//平面PEFB. 三棱锥O-PEF的体积为23
C. 直线PF与平面POE所成角的正切值为 55D. 三棱锥P-BCE的外接球表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的倾斜角为α，sinα=35，且这条直线l经过点P(5,3)，则直线l的一般式方程为__________.
13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率为__________.
14.正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是AA1的中点，点F为正方形AA1B1B内一动点，且CF//平面DEC1，若异面直线CF与A1D1所成角为θ，则csθ的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知三角形ABC的顶点C(4,3)，边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，点(1,-2)是边AB的中点.
(1)求边AC所在直线的方程;
(2)求点B的坐标.
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD= 5.
(1)求证：PD⊥平面PAB.
(2)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求出AMAP的值;若不存在，请说明理由.
17.(本小题12分)
甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为13，甲赢丙的概率为14，丙赢乙的概率为15.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛)，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率;
(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概率最大.
18.(本小题12分)
已知三棱锥P-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD为正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;
(2)若点M在棱PC上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求面PBA和面MBA夹角的余弦值.
19.(本小题12分)
已知A(4,8),B(0,0),C(12,0)，直线l:kx-y+2-k=0.
(1)证明直线l经过某一定点，并求此定点坐标;
(2)若直线l等分三角形ABC的面积，求直线l的一般式方程;
(3)若P(1,2)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC(反射点为K)、AC(反射点为I)反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线一般式方程.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查直线的一般方程以及直线倾斜角，考查学生对数学基础知识的掌握，属于基础题.
将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值.
【解答】
解：由题知，-1m=tan5π6=- 33，解得m= 3.
故选：A.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
根据已知条件，先求出两直线的交点，再结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵直线l1:x-y+1=0，l2:2x-y-1=0，
∴x-y+1=02x-y-1=0，解得x=2，y=3，即交点为(2,3)，
所求的直线与直线3x+4y-5=0垂直，
由题意可设所求直线的方程为4x-3y+k=0，
则4×2-3×3+k=0，解得k=1，
故所求的方程为4x-3y+1=0.
故选：C.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量的基底的概念，属于基础题.
由题意得出存在实数λ,μ，使得：n2=λn1+μn3，即m,-3,2=λ-1,9,1+μ0,2,1，即可求解.
【解答】
解：{n1,n2,n3}不能构成空间的一个基底，则存在实数λ,μ，使得：n2=λn1+μn3，
即m,-3,2=λ-1,9,1+μ0,2,1，
所以m=-λ-3=9λ+2μ2=λ+μ，解得：λ=-1μ=3m=1，
故选B.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件，独立事件的概率公式，属于中档题.
根据互斥事件的定义可求p1，根据相互独立事件的概率公式求p2，由此可判断结论.
【解答】
解：如果事件A与B互斥，则P(AB)=0，所以p1=0.
如果事件A与B相互独立，则事件 A与B也相互独立，
且P(B)=1-P(B)=0.3，
P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.3=0.18，
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=0.6+0.3-0.18=0.72，即p2=0.72.
故选：C.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查面面垂直的性质，利用向量法求直线与直线所成角，考查学生的分析和运算能力，属于中档题.
首先建立空间直角坐标系，再利用向量的夹角即可求解.
【解答】解：取 AB的中点O，连接OD，
因为四边形ABCD为∠DAB=60∘的菱形，所以DO⊥AB，
因为平面ABCD⊥平面ABEF，且两平面交线为AB，DO⊥AB，DO⊂平面ABCD，
所以DO⊥平面ABEF，
又四边形ABEF为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方形的边长为2，则A0,-1,0,B0,1,0,F2,-1,0,C0,2, 3，
故AC=(0,3, 3),BF=(2,-2,0)，
则cs ⟨AC,BF⟩=AC⋅BF|AC|⋅|BF|=-62 3×2 2=- 64，
设直线AC,FB所成角为θ，
则csθ=cs= 64，
故直线AC,FB所成角的余弦值为 64，
故选：A.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型，属于基础题．
这是一个古典概型，只要做出事件总数和满足条件的事件数就可以得到结果，从6个球中任取两个有15种情况，数字之差的绝对值为2或4的有6种情况，根据概率公式得到结果．
【解答】解：从6个小球中任取2个小球有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种情况，
数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种情况，
∴所求概率P=615=25，
故选C.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查简单组合体(柱、锥、台)的表面积与体积，属于中档题.
根据组合体的体积求出正四棱锥的高，再求出正四棱锥的斜高，利用组合体表面积的求解方法，即可求出结果.
【解答】
解：设长方体高为h1，四棱锥高为h2，
由题意可知h1=0.5m，底面边长a=1m，
因为该组合体的体积为23m3，
所以12×0.5+13×12×h2=23，解得h2=12m，
所以正四棱锥斜高为 (12)2+(12)2= 22m，
所以表面积为4×1×0.5+12+4×12×1× 22=(3+ 2)m2.
故选B.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查直线的斜率，点到直线的位置关系，属较难题．
由已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0的两侧可得2a-3b+1<0，结合不等式的性质可得当a>0时，ba>23+13a，从而对①②作出判断；对于③，根据 a2+b2 的取值即可得出；对于④，ba-1表示点(a,b)与点(1,0)连线的斜率，计算可得到结果.
【解答】
解：由已知(2a-3b+1)(2-0+1)<0，即2a-3b+1<0，∴①错；
当a>0时，由3b>2a+1，可的 ba>23+13a，∴不存在最小值，∴②错；
a2+b2表示为(a,b)与(0,0)两点间的距离，
由于原点(0,0)到直线2x-3y+1=0的距离d=1 4+9= 1313，而且(0,0)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0的同侧，
可得 a2+b2>d= 1313，∴③正确；
ba-1表示点(a,b)与点(1,0)连线的斜率，
当a>0且a≠1，b>0时，则ba-1的取值范围是(-∞,-13)∪(23,+∞).④正确．
故选：D.
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为25.7%，故A正确；
对于B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为34.3%+14.0%=48.3%，故B错误；
对于C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是25.7%-2.7%=23%，故C正确；
对于D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小到大分别为0.6%，8.4%，14.0%，16.3%，26.4%，34.3%，
又6×40%=2.4，
∴40%分位数是14.0%，故D错误．
故选：AC.
选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解．
本题考查统计图、极差、分位数、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题、由基本不等式求最值或取值范围、点到圆上点的最值问题，属于中档题.
根据已知条件可得出两直线过定点，且两直线垂直，进而得出P在以AB为直径的圆上，根据圆的性质可判断A错误，得出|PA|2+|PB|2=|AB|2=10后利用基本不等式可判断B、C，利用点到圆上点的最值问题即可判定D.
【解答】
解：因为过定点A的动直线l1:x+ky=0与过定点B的动直线l2:kx-y+3-k=0交于点P，
所以l1过定点A(0,0)，l2过定点B(1,3)，且直线l1与l2垂直，
所以动点P在以AB为直径的圆上，
A中：由A(0,0)，B(1,3)知：|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，故A错误；
B中：S△PAB=12|PA|⋅|PB|≤12×|PA|2+|PB|22=12×102=52，
当且仅当|PA|=|PB|= 5时等号成立，故B正确；
C中：由a>0，b>0知：21a+1b≤ a2+b22知：21PA+1PB≤ PA2+PB22= 5，
所以1|PA|+1|PB|≥25 5，
当且仅当|PA|=|PB|= 5时等号成立，故C正确；
对于D，因为动点P在以AB为直径的圆上，
所以P点到坐标原点的距离的最大值为 10，故D正确.
故选BCD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查线面平行的向量表示、直线与直线所成角的向量求法、棱锥的体积、球的表面积、球的切、接问题，属于中档题.
建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论.
【解答】
解：由题意，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，P，E，F分别为棱AA1，CC1，BC的中点，
O为侧面AA1B1B的中心，建立空间直角坐标系如图所示，
则A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，D(0,0,2)，A1(2,0,0)，
B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，D1(0,0,0)，O(2,1,1)，P(2,0,1)，E(0,2,1)，F(1,2,2)，
A选项，AC=(-2,2,0)，EP=(2,-2,0)，EF=(1,0,1)，
设平面PEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅EP=2x-2y=0n⋅EF=x+z=0，令x=1，则y=1，z=-1，
所以平面PEF的一个法向量为n=(1,1,-1)，
则n⋅AC=-2+2+0=0，
因为直线AC⊄面PEF，所以直线AC//面PEF，故A正确;
B选项，如图：
VO-PEF=VF-POE=13S△POE⋅h=13×1×22×1=13，故B不正确;
C选项，如图：
因为PF=(-1,2,1)，EO=(2,-1,0)，PO=(0,1,0)，
设平面POE的一个法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅EO=2a-b=0m⋅PO=b=0，取m=(0,0,1)，
所以平面POE的一个法向量为m=(0,0,1)，
设直线PF与平面POE所成角为θ，
所以sinθ=|cs|=|PF⋅m||PF||m|=1 6，
所以csθ= 1-16= 56，
故tanθ=sinθcsθ= 55，故C正确;
D选项，如图，G为BB1的中点，
三棱锥P-BCE恰好在长方体ABCD-PGEH上，且CP为体对角线，
所以CP为三棱锥P-BCE外接球的直径，
由几何知识
|CP|= (2-0)2+(0-2)2+(1-2)=3，
所以三棱锥P-BCE的外接球表面积为：
S=4π×(AC2)2=4π×(32)2=9π，故D正确.
故选ACD.
12.【答案】3x-4y-3=0或3x+4y-27=0
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、直线的点斜式方程和一般式方程，属于基础题.
求出tanα，利用点斜式，即可求出结果.【解答】
解：∵直线l的倾斜角为α，sinα=35，
∴csα=± 1-sin2α=±45，
∴tanα=sinαcsα=±34，
∵直线经过P(5,3)，
∴直线方程为y-3=±34x-5，
∴直线l的一般式方程为3x-4y-3=0或3x+4y-27=0.
故答案为3x-4y-3=0或3x+4y-27=0.
13.【答案】0.32
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
“甲队以4:1获胜”，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，利用独立事件同时发生的概率公式计算即可.
【解答】
解：记事件M为“甲队以4:1获胜”，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，
所以PM=0.8×0.82×C21×0.52+C21×0.8×0.2×0.52=0.32.
故答案为0.32.
14.【答案】2 55
【解析】【分析】
本题考查空间向量的应用，利用它解决线面的平行和求异面直线所成的角，属于较难题.
建立空间建立空间直角坐标系，设A(2,0,0)，F(2,m,n)，求出平面DEC1的一个法向量为n=(1,2,-2)，找到m-n-1=0，再求出csθ=2 2m2-6m+9，分析当m=1或2时，csθ最小即可解答.
【解答】
解：分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设A(2,0,0)，F(2,m,n)，0≤m≤2,0≤n≤2，
则D(0,0,0)，E(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，故CF=(2,m-2,n)，
DE=(2,0,2)，DC1=(0,2,2)，DA=(2,0,0)，
设平面DEC1的一个法向量为n=(x,y,z)，则2x+z=02y+2z=0，解得y=2xz=-2x，
取n=(1,2,-2)，
因为CF//平面DEC1，所以CF⋅n=2+2(m-2)-2n=0，即m-n-1=0，
所以m=n+1∈1,2，
设异面直线CF与A1D1所成角为θ，
则csθ=CF⋅DACFDA=42 22+(m-2)2+n2=2 2m2-6m+9，
由于2m2-6m+9=2(m-32)2+92，
所以当m=1或2时，上式有最大值，此时csθ最小为2 55.
15.【答案】解：(1)因为边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，
所以边AC所在直线的斜率为-2，直线经过点C(4,3)，
所以边AC所在直线的方程为y-3=-2(x-4)，
即AC所在直线的方程为2x+y-11=0；
(2)设点B的坐标为(x0,y0)，
因为边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，
又因为点(1,-2)是边AB的中点，
所以点A的坐标为(2-x0,-4-y0)，
由边AC所在直线的方程为2x+y-11=0，
所以2(2-x0)+(-4-y0)-11=0，即2x0+y0+11=0，
由2x0+y0+11=0x0-2y0-5=0得到：x0=-175y0=-215，
所以点B的坐标为(-175,-215).
【解析】本题考查了直线的一般式方程与点斜式方程，以及两条直线的交点坐标，两条直线垂直的判定及应用，属于中档题．
(1)根据已知可得边AC所在直线的斜率，利用点斜式即可求得边AC所在直线的方程；
(2)设点B的坐标为(x0,y0)，由点(1,-2)是边AB的中点，可得点A的坐标，点B在直线BH上，点A在直线AC上，联立方程组即可求得x0，y0值，从而得解．
16.【答案】(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB
∴PD⊥平面PAB；
(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO，
∵CD=AC= 5，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD.
以O为坐标原点，分别以OC，OA，OP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：
则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,-1,0)，C(2,0,0)，
则PB=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1)，PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0)，
设平面PCD的一个法向量为n=x0,y0,z0，
则由n⋅PD=0n⋅PC=0，
得-y0-z0=02x0-z0=0，令z0=2，则x0=1,y0=-2
则n=(1,-2,2)，
假设存在M点使得BM//平面PCD，
设AMAP=λ0≤λ≤1，M(0,y1,z1)，A(0,1,0)，
则AP=(0,-1,1)，AM=(0,y1-1,z1)，
则有AM=λAP，
可得M(0,1-λ,λ)，
∴BM=(-1,-λ,λ)，
∵BM//平面PCD，n=(1,-2,2)为平面PCD的一个法向量，
∴BM⋅n=0，
即-1+2λ+2λ=0，
解得λ=14，
综上，存在点M，即当AMAP=14时，使得BM//平面PCD.

【解析】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，考查利用空间向量解决线面平行的问题，属较难题．
(1)由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
(2)取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PCD的一个法向量n，由BM//平面PCD，可得BM⋅n=0，计算可得λ的值.
17.【答案】解：(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为 45×13×14=460 ；
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为 15×14×13=160，
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为 460+160=112 .
(2)若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为 13×14+13×34×45×13+23×15×14×13=29180 ，
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为 14×13+14×23×15×14+34×45×13×14=17120 ，
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第(1)问的结果 112，
因为 29180>17120>112 ，所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大.

【解析】【分析】
本题主要考查了相互独立事件同时发生得概率，互斥事件的概率加法公式，考查学生的分析与运算能力，属于中档题.
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，分别求出概率，再相加即可；
(2)分别求出甲能获得冠军的概率，若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率，
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第(1)问的结果112.比较大小得出结果.
18.【答案】(1)证明：取AC的中点O，连接OB，OP，
由图二可知，OB⊥AC，OP=OB= 22a，PB=BE=a，
∴OP2+OB2=PB2，即OP⊥OB，
又AC∩OP=O，AC、OP⊂平面PAC，
∴OB⊥平面PAC，
∵OB⊂平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)解：由(1)知，OB⊥平面PAC，
连接OM，则∠BMO即为直线BM与平面PAC所成的角，
在Rt△BOM中，tan∠BMO=OBOM，
当直线BM与平面PAC所成的角最大时，OM最小，此时M为PC的中点，
以O为原点，OC、OB、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0, 22a)，A(- 22a,0,0)，B(0, 22a,0)，M( 24a,0, 24a)，
∴PA=(- 22a,0,- 22a)，AB=( 22a, 22a,0)，BM=( 24a,- 22a, 24a)，
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅PA=0m⋅AB=0，即- 22ax- 22az=0 22ax+ 22ay=0，
令x=1，则y=-1，z=-1，∴m=(1,-1,-1)，
同理可得，平面MAB的法向量为n=(1,-1,-3)，
∴cs=m⋅n|m|⋅|n|=1+1+3 3× 11=5 3333，
故面PBA和面MBA夹角的余弦值为5 3333.
【解析】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．(1)取AC的中点O，连接OB，OP，先证OB⊥AC，OP⊥OB，可推出OB⊥平面PAC，从而得证；
(2)连接OM，则∠BMO为直线BM与平面PAC所成的角，可确定点M为PC的中点，于是以O为原点，OC、OB、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面PAB和平面MAB的法向量m与n，再由cs=m⋅n|m|⋅|n|，即可得解．
19.【答案】解：(1)直线l:kx-y+2-k=0可化为k(x-1)+(2-y)=0，
令x-1=02-y=0，解得x=1y=2，故直线l经过的定点坐标为(1,2)；
(2)因为A(4,8),B(0,0)，则直线AB方程为y=2x，
故直线l经过的定点M(1,2)在直线AB上，
且AB=4 5,BM= 5，即AB=4BM，AM=34AB，
设直线l与AC交于点D，则S△AMD=12S△ABC，
即12|AM||AD|sin A=12×12×|AB||AC|sin A，
可得|AD|=23|AC|，即AD=23AC，
设D(x0,y0)，则AD=x0-4,y0-8,AC=8,-8，
可得x0-4=23×8y0-8=23×-8，解得x0=283y0=83，即D(283,83)，
将D点坐标代入直线l的方程，解得k=225，
所以直线l的方程为2x-25y+48=0；
(3)设P关于BC的对称点P1(1,-2)，关于AC的对称点P2m,n，
因为直线AC的方程为x+y-12=0，
则n-2m-1=1m+12+n+22-12=0，解得m=10n=11，
即P210,11，可得kP1P2=11+210-1=139，
因为直线PK与直线P1K关于x轴对称，则kPK=-kP1P2=-139，
则入射光线PK的方程为y-2=-139x-1，即为13x+9y-31=0.

【解析】本题考查了直线过定点以及向量在平面几何中的应用，考查学生的分析和运算能力，属于综合题．
(1)整理得到k(x-1)+(2-y)=0，从而得到方程组，求出定点坐标；
(2)求出定点M(1,2)在直线AB上，且AM=34AB，由S△AMD=12S△ABC得到|AD|=23|AC|，设出D(x0,y0)，由向量比例关系得到D点坐标，得到直线方程；
(3)作出辅助线，确定P关于BC和AC的对称点P1,P2，得到kP1P2=139 ，进而可得kPK=-139，即可得直线方程.