2019-2020学年天津市河西区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年天津市河西区九年级上学期数学期末试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，
即OP=6，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
2.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.半径为的圆中，的圆心角所对的弧的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据弧长公式l= ，计算即可．
【详解】弧长= ，
故选：D．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．
4.同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】列表得：
∴一共有36种等可能的结果，两个骰子的点数相同的有6种情况，
∴两个骰子的点数相同的概率为：
故选：C
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
5.如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，
∴ ，即，
解得，DE=
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解题的关键．
6.如图，为的直径，，为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD=20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC=OA，即可求得∠ACO的度数
【详解】∵AB为⊙O的直径，C为的中点，
∴OC⊥AD，
∵∠BAD=20°，
∴∠AOC=90°-∠BAD=70°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=
故选：C．
【点睛】此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是C为的中点，根据垂径定理的推论，即可求得OC⊥AD．
7.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出各边长度，根据三边是否成比例进行判别即可得解.
【详解】根据题意得：AB=2，BC=，AC==，
∴BC：AB：AC=1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1： ：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，
故选A．
8.直线与抛物线只有一个交点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直线y=-4x+1与抛物线y=x2+2x+k只有一个交点，则把y=-4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△=0，据此即可求解．
【详解】根据题意得：x2+2x+k=-4x+1，
即x2+6x+（k-1）=0，
则△=36-4（k-1）=0，
解得：k=10．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点个数的判断，把一次函数代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＞0，则两个函数有两个交点，若△=0，则只有一个交点，若△＜0，则没有交点．
9.如图，已知在中，，于，则下列结论错误的是（ ）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．
【详解】由三角形的面积公式可知，CD•AB=AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，B、C正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键．
10.顺次连接边长为正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH=PG+PQ+QH=9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：
∵△GHM是等边三角形，
∴∠MGH=∠GHM=60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠ABC=120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，
∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，
∴AG=BH=3cm，∠MGH=∠GHM=60°，∠AGH=∠FGM=60°，
∴∠BAF+∠AGH=180°，
∴AB∥GH，
∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，
∴PQ=AB=6cm，∠PAG=90°-60°=30°，
∴PG=AG=cm，
同理：QH=cm，
∴GH=PG+PQ+QH=9cm，
∴△GHM的面积=GH2=cm2；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正六边形的性质、等边三角形的性质及三角形的面积公式等知识；熟练掌握正六边形和等边三角形的性质是解题的关键．
11.如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点，，恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=α，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，
∴AB=AD，∠BAD=α，
∴∠B=
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
12.如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．
【详解】解：当时，，即S与t二次函数关系，有最小值，开口向上，
当时，，即S与t是二次函数关系，开口向下，
由上可得，选项C符合题意，
故选C．
【点睛】考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
13.从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．
【详解】∵没有大小王扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，
∴随机抽取一张点数为6的扑克，其概率是
故答案为
【点睛】本题考查的是随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14.如图所示，写出一个能判定的条件________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．
【详解】已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；
如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；
②AC2=DC•BC；
故答案为：AC2=DC•BC（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
15.如图，在中，，且把分成面积相等的两部分．若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．
【详解】∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分
∴S△ADE=S四边形DBCE
∴
∴
∵AD=4，
∴AB=4
∴DB=AB-AD=4-4
故答案为：4-4
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．
16.已知：如图，，，分别切于，，点．若，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB=PA=10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA=CE，DE=DB，然后三角形周长的定义得到△PDC的周长=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．
【详解】∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB=PA=10cm，
∵CA与CE为⊙的切线，
∴CA=CE，
同理得到DE=DB，
∴△PDC的周长=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC
∴△PDC的周长=PA+PB=20cm，
故答案为20cm．
【点睛】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
17.在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x部分对应值如下表：
则m的值为_____．
【答案】－1
【解析】
【分析】
二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．
【详解】解：根据图表可以得到，
点（-2，7）与（4，7）是对称点，
点（-1，2）与（3，2）是对称点，
∴函数的对称轴是：x=1，
∴横坐标是2的点与（0，-1）是对称点，
∴m=-1．
【点睛】正确观察表格，能够得到函数的对称轴，联想到对称关系是解题的关键．
18.如图，在边长为的正方形中，将射线绕点按顺时针方向旋转度，得到射线，点是点关于射线的对称点，则线段长度的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由轴对称的性质可知AM=AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．
【详解】如图所示：连接AM．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=
∵点D与点M关于AE对称，
∴AM=AD=1．
∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．
如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．
∴CM的最小值=AC-AM′=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，正方形的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键．
三、解答题
19.解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】
用十字相乘法分解因式即可解方程.
【详解】
（x-10）（x+3）=0
∴
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，会用十字相乘法进行因式分解是关键.
20.一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个．
请用画树状图和列表的方法，求下列事件的概率：
（1）两次取出的小球标号相同；
（2）两次取出的小球标号的和等于4．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】
（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；
（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．
【详解】画树状图如图
（1）∵共有种等可能的结果，两次取出的小球标号相同的共种情况，
∴两次取出的小球标号相同的概率为．
（2）两次取出的小球标号的和等于的情况共有种，
两次取出的小球标号的和等于的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F
（I）如图①，连接AD，若，求∠B的大小；
（Ⅱ）如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．

【答案】(1)∠B=40°；(2)AB= 6.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案;
（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案.
【详解】解:(1)如解图①,连接OD,
∵BC切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴AC∥OD
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,
∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,
∵∠ODB=90°,
∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;
(2)如解图②,连接OF,OD,
∵AC∥OD,
∴∠OFA=∠FOD,
∵点F为弧AD的中点,
∴∠AOF=∠FOD,
∴∠OFA=∠AOF,
∴AF=OA,
∵OA=OF,
∴△AOF为等边三角形,
∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,
∴∠B=30°,
∵在Rt△ODB中,OD=2,
∴OB=4,
∴AB=AO＋OB=2＋4=6.
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键.
22.如图①，是平行四边形的边上的一点，且，交于点．
（1）若，求的长；
（2）如图②，若延长和交于点，，能否求出的长？若能，求出的长；若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）能，
【解析】
【分析】
（1）由DE∥BC，可得 ，由此即可解决问题；
（2）由PB∥DC，可得，可得PA的长．
【详解】（1）∵为平行四边形
∴，，
又∵
∴
又∵
∴，
∴．
（2）能
∵为平行四边形，
∴，，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．
（1）若米，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长；
（2）若米，求矩形菜园面积的最大值．
【答案】（1）的长为；（2）当时，矩形菜园面积的最大值为．
【解析】
【分析】
（1）设AB=xm，则BC=（100-2x）m，列方程求解即可；
（2）设AB=xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）设AB=，则BC，
根据题意得，解得，，
当时，，不合题意舍去；
当时，，
答：AD的长为；
（2）设AD=，
∴
则时，的最大值为；
答：当时，矩形菜园面积的最大值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
24.在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合）．
（1）求证：；
（2）在旋转过程中，试判断等式是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立．
【解析】
【分析】
（1）由图形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根据∠B=∠C=45°，证明两个三角形相似；
（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．
【详解】（1）∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA；
（2）成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，
则CE=BH，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中，

∴△EAD≌△HAD（SAS）．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+BH2=HD2，即BD2+CE2=DE2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
25.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．
【答案】(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3.
【解析】
【分析】
(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，利用锐角三角函数的定义可得出，此时最小，求出最小值即可．
【详解】解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令，解得，，∴，
∴，
∵的面积为5，∴，∴，
代入抛物线解析式得，，解得，，∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
(2)过点作轴交于，如图，设，则，
∴，
∴，，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，
∵，，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小，
∵，，
∴，
∴．
∴的最小值是3．
【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作关于轴的对称点，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求的最小值转化为求的长度．（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
x
－2
－1
0
1
2
3
4
y
7
2
－1
－2
m
2
7