鄂尔多斯市第三中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份鄂尔多斯市第三中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列关系正确的是( )
A.B.C.D.
2．的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
3．若,则下列不等式正确的是( )
A.B.C.D.
4．下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是( )
A.每一个命题都能判断真假
B.存在一条直线与两条相交直线都平行
C.对任意实数a,b,若,则
D.存在,使
5．若集合,,则的子集有( )
A.15个B.16个C.7个D.8个
6．某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球,60%的学生喜欢篮球,82%的学生喜欢羽毛球,则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.63%B.47%C.55%D.42%
7．对于任意的x,,定义运算:.若不等式对任意实数x恒成立,则( )
A.B.C.D.
8．若正数x，y满足，则的最小值是( )
A.2B.C.4D.
二、多项选择题
9．已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的( )
A.B.C.D.
10．下列结论正确的是( )
A.当时,B.当时,
C.的最小值为2D.的最小值为2
11．二次函数的图象如图所示,则( )
A.B.C.D.
12．已知全集,A是U的非空子集,当时,且,则称x为A的一个“孤立元素”,则下列说法正确的是( )
A.若A中元素均为孤立元素,则A中最多有3个元素
B.若A中不含孤立元素,则A中最少有2个元素
C.若A中元素均为孤立元素,且仅有2个元素,则这样的集合A共有个
D.若A中不含孤立元素,且仅有4个元素,则这样的集合A共有个
三、填空题
13．命题,的否定为________.
14．如图，在平面直角坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为__________.
15．若,则________.
16．若对,,使得成立,则实数m的取值范围为________.
四、解答题
17．已知集合,.
（1）求
（2）若,,求实数m的取值范围.
18．已知，求证：的充要条件是.
19．已知,,,.
（1）若成立,求实数k的取值范围,
（2）若p和q中至多有一个成立,求实数k的取值范围.
20．（1）设a,b,c为正数,求证:;
（2）解关于x的不等式:.
21．为宣传2023年杭州亚运会,某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形,如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且）,宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm）,设.
（1）当时,求海报纸（矩形ABCD）的周长;
（2）为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）?
22．若实数x,y,m满足,则称x比y远离m.
（1）若比1远离t,求实数t的取值范围;
（2）若,,试问:与哪一个更远离2?并说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：选项A:因为a是集合中的元素,所以,所以选项A错误;
选项B:因为是任何集合的子集,所以,所以选项B错误;
选项C:因为N中含有元素0,1,而且还有其他元素,所以,所以选项C正确;
选项D:因为是无理数,而Q是有理数集,所以,所以选项D错误;
故选:C
2．答案：C
解析：的一个必要不充分条件对应集合设为A,则,
则满足条件,
故选:C.
3．答案：D
解析：由知单调递减,又,则,B错误;
则,A错误;
,,C错误;
由二次函数知,单调递减,则,D正确.
故选:D
4．答案：A
解析：对于A,“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题,命题都能判断真假,
A是真命题,符合题意;
对于B,“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题,不符合题意;
对于C,该命题是全称量词命题,当时,,C中命题是假命题,不符合题意;
对于D,该命题是存在量词命题,不符合题意,
故选:A.
5．答案：B
解析：因为,,
所以,
它有个子集.
故选:B.
6．答案：B
解析：设只喜欢篮球的百分比为x,只喜欢羽毛球的百分比为y,两个项目都喜欢的百分比为z,
由题意,可得,,,解得.
该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是47%.
故选:B.
7．答案：C
解析：由已知得对任意实数x恒成立,
所以,解得.
故选:C.
8．答案：C
解析：因为正数x，y满足，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
9．答案：BD
解析：由图可知,,A错误;
,B正确;
,C错误;
,D正确,
故选:BD.
10．答案：AB
解析：当时,,
当且仅当时,即时等号成立,故A正确;
当时,,当且仅当时,即时等号成立,故B正确;
当时,显然不成立,故C错误;
因为,
当且仅当时等号成立,此时无解,故取不到等号,故D错误.
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：由题意得,对称轴,则,
当时,,故A错误;
当时,,则,故B正确;
当时,,则,故C正确;
设一元二次方程的两根分别为,,由图象可知,整理可得,故D正确.
故选:BCD
12．答案：ABD
解析：对于A,因为集合,,的并集为U,
且集合,,中任意两个集合的交集都为空集,
若A中的元素个数大于3,则必有两个元素来自集合,,中的一个,
此时,集合A中存在不是孤立元素的元素,
故若A中元素均为孤立元素,则A中的元素个数小于等于3,
又时,A中元素均为孤立元素,
所以若A中元素均为孤立元素,则A中最多有个元素,
对于B,若A中只有1个元素,则必为孤立元素,
又集合时,A中不含孤立元素,故B正确；
对于C,易知这样的集合A有,,,；,
,；,；共10个,故C错误；
对于D,,其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有
,,,,,共6个,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：,
解析：命题,的否定为,.
故答案为:,.
14．答案：
解析：由题图可知，，故平面直角坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为.
15．答案：
解析：因为,所以①或②,
由①得或,其中与元素互异性矛盾,舍去,故符合题意,此时;
由②得符合题意,此时;
综上,的值为.
故答案为:
16．答案：
解析：由,得.
由题意可得,使得成立,
即,使得成立.
,当且仅当时等号成立,故.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
则.
（2）集合,,
.
若,则,即;
若则解得.
综上,实数m的取值范围为.
18．答案：证明见解析
解析：证明：充分性（条件结论）：
因为，所以，
又，所以，
即，所以充分性成立；
必要性（结论条件）：
因为
，
而，所以，
所以，所以必要性成立.
综上，的充要条件是.
19．答案：（1）
（2）.
解析：（1）若,成立,
因为时,,可得,
所以实数k的取值范围为.
（2）p和q中至多有一个成立,考虑其反面:和均成立,
若成立,
因为时,,可得;
若q成立时,,解得或;
若p,q均成立时,可得,
所以p,q至多有一个成立时,则.
综上上述:实数k的取值范围为.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为a,b,c为正数,
由基本不等式可得,,当且仅当时取等号,
,当且仅当取等号,
,当且仅当取等号,
以上三式相加有,
即,当且仅当时取等号.
（2）,
即,
即.
①当时,,,的解集为,
②当时,,
等价于,即;
③当时,等价于,
即或.
综上可得:时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.
21．答案：（1）900cm
（2）选择长、宽分别为350cm,140cm的海报纸,可使用纸量最少
解析：（1）设阴影部分直角三角形的高为ycm,
所以阴影部分的面积,所以,
又,故,
由图可知cm,cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900cm.
（2）由（1）知,,,
,
当且仅当,即cm,cm时等号成立,
此时,cm,cm.
故选择矩形的长、宽分别为350cm,140cm的海报纸,可使用纸量最少.
22．答案：（1）
（2）比远离2,理由见解析
解析：（1）由题意,,
即,
两边平方,得,解得.
（2）因为,所以.
,
当时,,
当且仅当,即,或时等号成立,所以.
此时比远离2;
当时,,
当且仅当,即,或时等号成立,所以.
此时比远离2.
综上,比远离2.