河南省部分名校2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份河南省部分名校2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知函数,则“是函数为偶函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．下列命题中,真命题的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
4．冰箱空调等家用电器使用了氟化物,氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,使臭氧量Q呈指数函数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时,臭氧量满足关系式,其中是臭氧的初始量,e是自然对数的底数,t是时间,以年为单位.若按照关系式推算,经过年臭氧量还保留初始量的四分之一,则的值约为（）( )
A.584年B.574年C.564年D.554年
5．如图为函数的部分图象,则( )
A.函数的周期为
B.对任意的,都有
C.函数在区间上恰好有三个零点
D.函数是偶函数
6．在中,的面积为S,,,且满足,则该三角形的外接圆的半径R为( )
A.B.C.D.2
7．与都是边长为2的正三角形,沿公共边AB折叠成三棱锥且CD长为,若点A,B,C,D在同一球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
8．已知函数及其导函数在定义域均为R且是偶函数,其函数图象为不间断曲线且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结论中,所有正确的结论是( )
A.若,,则
B.命题,的否定是:,
C.若且,则
D.若,,则实数
10．已知定义在实数集R上的函数,其导函数为,且满足,,则( )
A.的图像关于点成中心对称
B.
C.
D.
11．设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,,则( )
A.B.的图象关于直线对称
C.在区间上为增函数D.方程仅有4个实数解
三、填空题
12．已知正数x,y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为_______.
13．________.
14．已知双曲线的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左右两支分别交于A,B两点,且,则双曲线的渐近线方程为________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）若,,求的值;
（2）设,求在区间上的最大值和最小值.
16．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量,,,.
（1）求函数的最大值;
（2）若,,,求的面积.
17．如图,平面ABCD,,,,,点E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点.
（1）求证:平面CPM;
（2）若N为线段CQ上的点,且直线DN与平面QPM所成的角为,求的值.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）证明:.
19．已知椭圆的离心率为,右顶点Q与C的上,下顶点所围成的三角形面积为.
（1）求C的方程.
（2）不过点Q的动直线l与C交于A,B两点,直线QA与QB的斜率之积恒为.
（i）证明:直线l过定点;
（ii）求面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知:,
所以.
故选:B.
2．答案：A
解析：当时,,故函数为偶函数,即充分性成立;
当为偶函数时,,,此时不一定成立,即必要性不成立;
所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件.
故选:A.
3．答案：D
解析：对A,当,时,则,故A错误;
对B,当,时,则,则,故B错误;
对C,当时,根据对数函数单调性知,故C错误;
对D,若,则,
当且仅当,时取等号,故D正确.
故选:D.
4．答案：D
解析：由题意知,,
则,解得年.
故选：D.
5．答案：C
解析：从图象可看出的最小正周期为,
因为,所以,解得:,
故A错误;
,代入,
,
因为,所以,
故,
,
故不满足对任意的,都有,B错误;
,则,
由可得:,可得:,
故函数在区间上恰好有三个零点,C正确;
,为奇函数,D错误.
故选:C
6．答案：B
解析：由,
得,
利用余弦定理得:,
即,
又,
得;
由题意,因为,
所以.
由余弦定理得:.
又因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
故选:B.
7．答案：D
解析：设AB的中点为E,正与正的中心分别为N,M,如图,
根据正三角形的性质有M,N分别在DE,CE上,平面ABD,平面ABC,
因为与都是边长为2的正三角形,则,又,
则是正三角形,
又,,,CE,平面CDE,
所以平面CDE,所以O在平面CDE内,
故,易得,
故,
故,又,故球O的半径,
故球O的表面积为.
故选:D.
8．答案：C
解析：由,得
则当时,得,
,
则当时,,得函数在上单调递增,
因为,所以,
由于是偶函数,则,
而函数在上单调递增,得,
得,
得,
故选:C.
9．答案：AB
解析:对A,,则,又,则,,故A正确;
对B,命题,的否定是:,,故B正确;
对C,,因为且,故,即,故C错误;
对D,当,时,不成立,故D错误;
故选:AB
10．答案：BCD
解析：对A:令,则有,即,
令,则有,又,故,不关于对称,故A错误;
对于B,令,则有,
两边同时求导,得,
令,则有,故B正确;
对C:令,则有,即,
则
,故C正确;
对D:令,则有,即,
则,即,
又,故,
则,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：ACD
解析：因为为奇函数,所以的图象关于点中心对称,
因为为偶函数,所以的图象关于直线对称.
可画出的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为）:
对于A,由图可知的最小正周期为,所以,故A正确.
对于B,的图象关于点中心对称,故B错误.
对于C,由图可知在区间上单调递增,故C正确.
对于D,,,,,
由图可知,曲线与的图象有4个交点,所以方程仅有4个实数解,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：因为，且，所以，
当且仅当时取等号.
因为不等式恒成立，
所以，解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：,
又,
所以,
所以
,
故答案为:
14．答案：
解析：双曲线的右焦点为,连接,,
由A,B关于原点对称,F,也关于原点对称,可知四边形是平行四边形,
又,,则有,,
又由双曲线的定义得,解得,
再由余弦定理:,
即,得,
再由,
故渐近线方程为:,
故答案为:.
15．答案：（1）或
（2）最大值为,最小值为
解析：（1）因为,由,得到,
解得或,
即或,又,
所以或.
（2）因为
,
令,因为,得到,
由的图象与性质知,,所以,
所以在区间上的最大值为,最小值为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
因为,所以,
所以当,即时,有最大值;
（2）因为,所以,所以,
因为,所以,
由正弦定理,所以,,
又因为,所以,得,
由余弦定理有:,即,所以,
所以.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）连接EM,由,,得,
又,则四边形PABQ为平行四边形,
由点E和M分别为AP和BQ的中点,得且,
而,,F为CD的中点,则且,
四边形EFCM为平行四边形,则,又平面MPC,平面MPC,
所以平面MPC.
（2）由平面ABCD,,得直线DA,DC,DP两两垂直,
以D为原点,直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
,,,
设为平面PQM的法向量,则,
取,得,
设,即,
则,,
由直线DN与平面PMQ所成的角为,得,
即,整理得,而,解得,
所以.
18．答案：（1）答案见解析
（2）证明过程见解析
解析：（1）的定义域为,
故,
若时,令得,令得,
故在上单调递增,在上单调递减,
当时,若时,,故在上单调递增,
若时,,令得或,
令得,
故在,上单调递增,在上单调递减;
若时,,令得或,
令得,
故在,上单调递增,在上单调递减;
综上,当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减.
（2）,
即,
令,定义域为,
,其在上单调递增,
又,,
由零点存在性定理得,存在唯一的,使得,
即,故,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,也是最小值,
其中,
两边取对数得,故,
所以,证毕.
19．答案：（1）;
（2）（i）证明见解析;
（ii）.
解析：（1）令椭圆的半焦距为c,由离心率为,得,
解得,,
由三角形面积为,得,则,,,
所以C的方程是.
（2）（i）由（1）知,点,设直线l的方程为,设,,
由消去x得:,
则,,
直线QA与QB的斜率分别为,,
于是
,整理得,
解得或,
当时,直线过点Q,不符合题意,因此,
直线恒过定点.
（ii）由（i）知,,,
则,
因此的面积
,当且仅当,即时取等号,
所以面积的最大值为.