河南省洛阳多校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份河南省洛阳多校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在空间四边形PABC中,( )
A.B.C.D.
2．在空间直角坐标系Oxyz中,点关于x轴对称点的坐标为( )
A.B.C.D.
3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作,其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”中,E为的重心,若,,,则( )
A.B.C.D.
4．设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则t等于( )
A.1B.C.或1D.2
5．已知为平面内一点,若平面的法向量为,则点到平面的距离为( )
A.2B.C.D.1
6．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A.B.C.3D.
7．已知向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A.B.C.D.
8．在正三棱柱中,,,,M为棱上的动点,N为线段AM上的动点,且,则线段MN长度的最小值为( )
A.2B.C.D.
二、多项选择题
9．若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
10．如图,四边形ABCD,ABEF都是边长为2的正方形,平面平面ABEF,P,Q分别是线段AE,BD的中点,则( )
A.
B.异面直线AQ,PF所成角为
C.点P到直线DF的距离为
D.的面积是
11．在平行六面体中,,,若,其中m,n,,则下列结论正确的为( )
A.若点Q在平面内,则
B.若,则
C.当时,三棱锥的体积为
D.当时,CQ长度的最小值为
三、填空题
12．设向量,,若,则________.
13．在空间直角坐标系中,点A,B,C,M的坐标分别是,,,,若A,B,C,M四点共面,则________.
14．如图,在三棱锥中,点G为底面的重心,点M是线段OG上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱,,于点D,E,F,若,,,则________.
四、解答题
15．已知空间向量,,,.
（1）求;
（2）判断与以及与的位置关系.
16．已知正四面体OABC的棱长为2,点G是的重心,点M是线段AG的中点.
（1）用,,表示,并求出;
（2）求.
17．如图,在长方体中,,,,,,分别为棱,,,的中点.
（1）证明:,,,四点共面;
（2）若点在棱,且平面,求CP的长度.
18．如图,四棱柱的底面ABCD为矩形,,M为BC中点,平面平面ABCD,.
（1）证明:平面;
（2）求二面角的平面角的余弦值.
19．在三棱台中,平面ABC,,D,E分别为CA,CB的中点.
（1）证明:平面;
（2）已知,F为线段AB上的动点（包括端点）.
①求三棱台的体积;
②求与平面所成角的正弦值的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：.
故选:B.
2．答案：C
解析：点关于x轴对称点的坐标为.
故选:C.
3．答案：B
解析：连接AE并延长交CD于点F,
因为E为的重心,则F为CD的中点,且
.
故选:B.
4．答案：C
解析：因为法向量a，b所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以，得.
5．答案：B
解析：,面的法向量为,
则点到平面的距离为.
故选:B.
6．答案：D
解析：，夹角的余弦值为.因此，夹角的正弦值为，故以，为邻边的平行四边形的面积为.故选D.
7．答案：D
解析：因为,,
所以,,
则向量在向量上的投影向量为:.
故选:D.
8．答案：D
解析：因为正三棱柱中,有,所以O为的中点,取中点Q,连接,如图,以O为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
因为M是棱上一动点,设,且,
因为,且,
所以,
于是令,,
所以,,
又函数在上为增函数,
所以当时,,即线段长度的最小值为.
故选:D.
9．答案：AB
解析：设,所以,无解,
所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A正确;
设,则,
所以,无解,
所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确;
因为,
所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C错误;
因为,
所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误.
故选:AB.
10．答案：AC
解析：因为四边形ABCD,ABEF都是边长为2的正方形,平面平面ABEF,
所以,又平面平面,平面ABCD,所以平面ABEF,
由题意知AB,AD,AF两两互相垂直,以A为坐标原点,AD,AB,AF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,
又P,Q分别是线段AE,BD的中点,所以,,
所以,,
又PQ,DF不共线,所以,故A正确;
,,设异面直线AQ,PF所成角为,
则,又,所以,即异面直线AQ,PF所成角为,故B错误;
由,,得,
所以点P到直线DF的距离为,故C正确;
因为,所以Q到DF的距离即为P到DF的距离,
所以的面积,故D错误.
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：对于选项A,若点Q在平面内,易知有,
所以,
又,则,故A正确;
对于选项B,由题意易得,
,且,
又,即,
故,解得,故B正确;
对于选项C,由题易知四面体为正四面体,
设在平面ABCD内的射影为点H,
则H为的中心,易得,.
当时,Q到平面ABCD的距离为,
所以,故C错误;
对于选项D,由B知,
,
又,
由基本不等式可知,
所以,即,当且仅当时等号成立,
所以CQ长度的最小值为,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：4
解析：因为,
所以,即,解得.
故答案为:4
13．答案：6
解析：由题意,得,,,
又A,B,C,M四点共面,则存在x,,使得,
即,即,解得,
所以.
故答案为:6.
14．答案：/4.5
解析：由题意可知,
,
因为D,E,F,M四点共面,所以存在实数,,使,
所以,
所以,所以
,
所以.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）;.
解析：（1）由题知,,
所以.
（2）因为,,
所以,
所以;
因为,,
所以,所以.
16．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为点M是线段AG的中点,点G是的重心,
所以,
因为,
所以
,
.
（2）
.
17．答案：（1）证明见解析
（2）3
解析：（1）证明:连接,,,
因为,,,分别为棱,,,的中点,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,
所以,又,
所以,所以,,,四点共面.
（2）以C为坐标原点,以CD,CB,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
由,,,,,分别为棱,,,的中点,
可得,,,,
则,,
设,即,则,
由平面,故,
即,解得,
所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为底面ABCD是矩形,
所以,
又平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,
所以平面,又平面,
所以,
因为,所以,
所以,
又,,平面,
所以平面;
（2）取AD的中点O,连接,因为,
所以,又平面平面ABCD,
平面平面,平面,
所以平面ABCD,连接OM,又底面ABCD为矩形,所以,
所以OM,AD,两两互相垂直,
以O为坐标原点,,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设,
则,,,,
所以,,.
由（1）知平面,所以是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为,则
,令,则.
设二面角的平面角为,则
由图可知二面角的平面角为锐角,
所以二面角的平面角的余弦值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）①;
②.
解析：（1）证明:设交于点G,连接EG,如图,
在三棱台中,,,
又D为AC的中点,
所以,,四边形是平行四边形,G为的中点.
又E为BC的中点,所以,又平面,平面,
所以平面.
（2）①连接BD,
因为平面ABC,且平面,所以平面平面,
因为,D为CA的中点,所以,
又平面平面,平面,所以平面,
由平面,所以,
又,,,平面,所以平面,
由平面,所以,故四边形为菱形,,
所以三棱台的体积为.
②如图所示建立平面直角坐标系,则,,,,
不妨设,则,,
设平面的一个法向量为,
则,得,令,可得,
设与平面所成角为,
则,当且仅当时,等号成立,
所以与平面所成角的正弦值的最大值为.