山西省大同市第二中学校等校2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试卷(含答案)

这是一份山西省大同市第二中学校等校2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l经过,两点,则l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．若，，三点共线，则( )
A.B.C.D.
3．在长方体中,M为棱的中点.若,,则等于( )
A.B.
C.D.
4．两平行直线，之间的距离为( )
A.B.3C.D.
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A.B.C.D.
6．已知平面的一个法向量,是平面内一点,是平面外一点,则点P到平面的距离是( )
A.B.C.D.3
7．如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，，Q为上一点，且，则异面直线与所成的角为( )
A.B.C.D.
8．在正三棱柱中,,,,M为棱上的动点,N为线段AM上的动点,且,则线段MN长度的最小值为( )
A.2B.C.D.
二、多项选择题
9．下列关于空间向量的命题中，是真命题的是( )
A.若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B.若，则，的夹角是锐角
C.不相等的两个空间向量的模可能相等
D.若，是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
10．已知直线,直线,则( )
A.当时,与的交点为
B.直线恒过点
C.若,则
D.存在,使
11．在平行六面体中，，，若，其中，则下列结论正确的为( )
A.若点Q在平面内，则
B.若，则
C.当时，三棱锥的体积为
D.当时，长度的最小值为
三、填空题
12．若直线l与直线垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为___________.
13．在空间直角坐标系中，已知，，，则三棱锥的体积为_________.
14．在中,顶点,点B在直线上,点C在x轴上,则周长的最小值为________.
四、解答题
15．在梯形中，，，已知，，.
(1)求点D的坐标；
(2)求梯形的面积.
16．如图所示的几何体是圆锥的一部分,其中是圆锥的高,是圆锥底面的一条直径,,,C是的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.
(1)证明：，，，四点共面；
(2)若点P在棱，且平面，求的长度.
18．如图，四边形是直角梯形，,,,E为的中点，P是平面外一点，,,,M是线段上一点，三棱锥的体积是.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①证明：；
②延长与球O交于点D，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，S为的中点，T为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：设直线l的倾斜角为,则,又,所以.
故选：C.
2．答案：A
解析：A，B，C三点共线，且，
得，解得,
故选：A.
3．答案：A
解析：因为长方体中,M为棱的中点,
所以,
故选：A.
4．答案：A
解析：由题意得：
直线，，
，，两直线为平行直线，
直线，
两平行直线之间的距离为.
故选：A
5．答案：D
解析：因为，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为,,则,
点在平面内,点平面外,
平面的一个法向量,
所以点到平面的距离.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为底面，底面为正方形，
所以，，两两互相垂直，
以D为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由，得，，，，，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
则，
又，
所以异面直线与所成的角为.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为正三棱柱中,有,所以O为的中点,取中点Q,连接,如图,以O为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
因为M是棱上一动点,设,且,
因为,且,
所以,
于是令,,
所以,,
又函数在上为增函数,
所以当时,,即线段长度的最小值为.
故选:D.
9．答案：AC
解析：选项A，由空间向量基本定理可知正确；
选项B，当且，时，，故B错误；
选项C，由空间向量定义可知正确；
选项D，由空间向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误.
故选：AC.
10．答案：ABC
解析：对于A,当时,直线,直线,
联立,解得,
所以两直线的交点为,故A正确;
对于B,直线,即,
令,即,所以直线恒过点,故B正确;
对于C：若,则,解得,故C正确;
对于D,假设存在,使,则,
解得或,
当,,,两直线重合,舍去,
当时,,即,
,即,两直线重合,舍去,
所以不存在,使,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：对于选项A，若点Q在平面内，
易知有，
所以，
又，则，故A正确；
对于选项B，由题意易得，
，且，
又，即，
故，解得，故B正确；
对于选项C，由题易知四面体为正四面体，
设在平面内的射影为点H，
则H为的中心，易得，.
当时，Q到平面的距离为，
所以，故C错误；
对于选项D，由B知，
，
又，
由基本不等式可知，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以长度的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为直线l与直线垂直,所以直线l的斜率,
又直线l在y轴上的截距为4,即直线l过点,
由点斜式可得直线,化简得.
故答案为：.
13．答案：2
解析：由题意得，，所以，，的面积为，点O，A，C都在平面上，点到平面的距离3，所以三棱锥的体积为.
14．答案：
解析：设A关于直线l的对称点为P,关于x轴的对称点为Q,PQ与l的交点即为B,与x轴的交点即为C.
如图,P,Q两点之间线段最短可知,PQ的长即为周长的最小值.
设,则
解得即,
A关于x轴的对称点为,
故周长的最小值为.
故答案为:.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设，由，得，即，
由，得，即，
所以，，即点D的坐标为.
（2）方法一：，，
设，又，
所以梯形的面积
；
方法二：，，
由，，得直线的方程为，
点到直线的距离.
所以梯形的面积.
16．答案：(1)；
(2).
解析：(1)以O为原点,,,的方向分别作为x,y,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,.
设直线与所成的角为,
则,
即直线与所成角的余弦值是.
(2)由(1)知,,,
设平面的法向量为,则
取,得,所以平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为,
则,
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)3
解析：（1）证明：连接，，，
因为，，，分别为棱，，，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，
所以，所以，，，四点共面.
（2）以C为坐标原点，以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
由，，，，，分别为棱，，，的中点，
可得，，，，
则，，
设，即，则，
由平面，故，
即，解得，
所以.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）如图，连接交于点F，
因为,,，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为,,平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，所以，
又,平面，
所以平面；
（2）以B为原点，、所在直线分别为x、y轴，平行于的直线为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，则，即点，
则三棱锥的体积，解得，
所以，则，，
设平面的法向量，
由，令，则，，
即可得平面的一个法向量，
由z轴平面，故为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值是.
19．答案：(1)；
(2)①证明见解析；②
解析：（1）若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球球面三角的面积为；
（2）①由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
②由是球的直径，则，，
且，，平面，
所以平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由直线直线，与平面所成的角分别为，，
所以，，
不妨先令，则，，，，
由，，，
以C为坐标原点，以,所在直线为x,y轴，过点C作的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，设,，
则，，，，
可得，，，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则，取，则，，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，，则，，
可得，
当且仅当，取等号.
则取最大值，为最小值.