浙江省宁波市象山县文峰学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省宁波市象山县文峰学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的半径为，若点到圆心的距离为，点在
A．圆内B．圆上C．圆外D．无法确定
2．（3分）下列事件中，不可能事件
A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片
B．任意掷一枚硬币，正面朝上
C．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球
D．射击运动员射击一次，命中10环
3．（3分）已知，则的值为
A．B．C．D．
4．（3分）将二次函数的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为
A．B．C．D．
5．（3分）如图，点、、在上，，弧的度数为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若，，则的长等于
A．18B．20C．25D．30
7．（3分）下列命题正确的是
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．圆内接平行四边形一定是矩形
D．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
8．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深寸，锯道尺尺寸），则这根圆柱形木材的直径是
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与对称轴直线交于点，与、轴交于、、三点，下列命题正确的是
①；
②若的坐标为，则的坐标为；
③对于任意，始终有；
④若，则．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．（3分）如图，点在线段上，，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连结，以为一边作等边，连结，则长度的最大值为
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知，点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
12．（4分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到．
13．（4分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点在半圆圆心上，点在半圆上，边、分别交圆于点、，点、、对应的读数分别为、、，则的度数为 ．
14．（4分）如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ．
15．（4分）如图，半圆的直径为15，弦为9，弦平分，则的长是 ．
16．（4分）已知一次函数，二次函数．
（1）当时，的函数值随的增大而减小，则的最小整数值为 ；
（2）若，若点，都在函数的图象上，且，则的取值范围 ．（用含的式子表示）
三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）已知．
（1）求．
（2）若，求，，的值．
18．（6分）有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，求：
（1）第一次指针落在白色区域的概率为 ．
（2）用画树状图或列表法求指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率．
19．（6分）已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（3）当时，直接写出函数的取值范围．
20．（8分）如图，已知△中，，
（1）用尺规作△的外接圆；
（2）若的半径为4，求扇形的面积．
21．（8分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）求每天所得销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；
（3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？
22．（10分）如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点．
（1）求的大小．
（2）若，，求的半径；
（3）于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
23．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，是常数，．
（1）若时，图象经过点，求二次函数的表达式．
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：．
24．（12分）已知：如图1，四边形内接于，于点，为延长线上一点．
（1）求证：；
（2）过作于点（如图，试猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当图2中点运动到圆外时，即、的延长线交于点，且时（如图3所示），（2）中的猜想是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
2023-2024学年浙江省宁波市象山县文峰学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）的半径为，若点到圆心的距离为，点在
A．圆内B．圆上C．圆外D．无法确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：点到圆心的距离为，
而的半径为，
点到圆心的距离小于圆的半径，
点在圆内．
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
2．（3分）下列事件中，不可能事件
A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片
B．任意掷一枚硬币，正面朝上
C．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球
D．射击运动员射击一次，命中10环
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：、任意选择某一电视频道，它正播放动画片，是随机事件，故此选项不合题意；
、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项不合题意；
、在只装有红球的袋子里摸出一个黑球，是不可能事件，故此选项符合题意；
、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）已知，则的值为
A．B．C．D．
【分析】利用比例的性质即可得到答案．
【解答】解：，
；
故选：．
【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．
4．（3分）将二次函数的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将二次函数的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律是解题关键．
5．（3分）如图，点、、在上，，弧的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据圆周角定理可求解，进而可求解弧的度数．
【解答】解：，
，
弧的度数为，
故选：．
【点评】本题主要考查圆周角定理，圆心角，弦，弧的关系，求解的度数是解题的关键．
6．（3分）如图，直线，直线，分别交，，于点，，和，，，若，，则的长等于
A．18B．20C．25D．30
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后把已知条件代入计算即可．
【解答】解：，
，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7．（3分）下列命题正确的是
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．圆内接平行四边形一定是矩形
D．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
、圆内接平行四边形一定是矩形正确，符合题意；
、在同圆或等圆中，弦相等则所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故原命题错误，不符合题意；
故选：．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大．
8．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深寸，锯道尺尺寸），则这根圆柱形木材的直径是
A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸
【分析】延长，交于点，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在△中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【解答】解：延长，交于点，连接，
由题意知过点，且，
为半径，
尺寸，
设半径，
寸，
寸，
在△中，根据勾股定理可得：
．
解得：，
木材直径为26寸；
故选：．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与对称轴直线交于点，与、轴交于、、三点，下列命题正确的是
①；
②若的坐标为，则的坐标为；
③对于任意，始终有；
④若，则．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可．
【解答】解：由图象得：，，，
，故①正确；
对称轴为直线，
，
，故②正确，
，
当时，抛物线有最小值，
对于任意，始终有，故③正确，
，
，
，
，故④错误，
即命题正确的是①②③．
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．
10．（3分）如图，点在线段上，，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连结，以为一边作等边，连结，则长度的最大值为
A．B．C．D．
【分析】以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，如图，根据全等三角形的性质得到，连接并延长，交于点，则的最大值为．过作于，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，如图，
，
，
在和中，
，
，
，
点的运动轨迹为以点为圆心，2为半径的圆．
连接并延长，交于点，则的最大值为．
过作于，
，，
，
，
，
故长度的最大值为，
故选：．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知，点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出，，的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：当时，；
当时，；
当时，．
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各点的横坐标，求出，，的值是解题的关键．
12．（4分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 0.53 （精确到．
【分析】根据图表中数据，：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，解答本题即可．
【解答】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，
故答案为：0.53
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
13．（4分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点在半圆圆心上，点在半圆上，边、分别交圆于点、，点、、对应的读数分别为、、，则的度数为 ．
【分析】连接．可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：连接．
可得，，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到和的度数是解题的关键．
14．（4分）如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ．
【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：抛物线与直线交于，两点，
，，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当时，
直线在抛物线的上方，
不等式的解集是．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
15．（4分）如图，半圆的直径为15，弦为9，弦平分，则的长是 ．
【分析】连接、、，与相交于点，根据圆周角定理得到，利用勾股定理计算出，再利用垂径定理得出，则，，，再利用勾股定理计算出，再计算出即可．
【解答】解：如图，连接、、，与相交于点，
，
为直径，
，
在中，，
弦平分，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理和勾股定理．
16．（4分）已知一次函数，二次函数．
（1）当时，的函数值随的增大而减小，则的最小整数值为 1 ；
（2）若，若点，都在函数的图象上，且，则的取值范围 ．（用含的式子表示）
【分析】（1）求出抛物线的对称轴的解析式，再根据二次函数的性质，列出的不等式，进而求得的最小整数值；
（2）代入，求得与的解析式，再由列出不等式，根据二次函数与不等式的关系求得结果便可．
【解答】解：（1）二次函数，
对称轴为，
当时，随的增大而减小，
当时，的函数值随的增大而减小，
，
的最小整数值为：1．
故答案为：1；
（2），
点，都在函数的图象上，
，
，
，
，
当时，或，
或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与不等式的关系，难度适中，关键是掌握二次函数的性质．
三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）已知．
（1）求．
（2）若，求，，的值．
【分析】（1）设，得出，，，再代入计算即可；
（2）根据（1）先求出的值，再代入，，，求出，，的值即可．
【解答】解：（1）设，
则，，，
所以；
（2）由（1）得：，
解得：，
，，．
【点评】本题主要考查的是比例的性质，设出、、的值是解题的关键．
18．（6分）有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，求：
（1）第一次指针落在白色区域的概率为 ．
（2）用画树状图或列表法求指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率．
【分析】（1）根据白色区域所占比例，利用概率公式可得答案．
（2）将转盘分成4个圆心角为的部分，画树状图得出所有等可能的结果数以及指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）转盘灰色扇形和白色扇形的圆心角分别为和，
白色扇形区域面积是总区域的，
第一次指针落在白色区域的概率是．
（2）如图，将转盘分成4个圆心角为的部分，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的结果有6种，
指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是掌握概率公式．
19．（6分）已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（3）当时，直接写出函数的取值范围．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由二次函数顶点式求解．
（3）根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
【解答】解：（1）；
（2），
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
（3）抛物线开口向上，顶点坐标为．
时函数最小值为
将代入得，
当时，的取值范围．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
20．（8分）如图，已知△中，，
（1）用尺规作△的外接圆；
（2）若的半径为4，求扇形的面积．
【分析】（1）三角形外接圆圆心是三角形三条垂直平分线的交点，据此作出圆心的位置即可作出；
（2）由圆周角定理得到，再利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图1所示，即为所求；
（2）如图2所示，连接、，
，
，
．
【点评】本题主要考查了作图复杂作图，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
21．（8分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）求每天所得销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；
（3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“该类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出关于的函数关系式；
（2）根据题意得到销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；
（3）利用配方法将关于的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得，，
销售量与销售单价之间的函数关系式为；
（2），
销售利润与销售单价之间的函数关系式；
（3）根据题意得：，
解得：，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，最大，最大值为2000，
销售单价定为多30时，所获利润最大，最大利润是2000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．
22．（10分）如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点．
（1）求的大小．
（2）若，，求的半径；
（3）于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由平分，根据圆周角定理，可得；
（2）过点作于点，求出长，则，可求出，则答案得出；
（3）过点作，交的延长线于点，证明与，则，则结论可得出．
【解答】解：（1）为的直径，
，
平分，
，
；
（2）如图1，过点作于点，
为的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）．理由如下：
如图2，过点作，交的延长线于点，
四边形内接于圆，
，
，
，
，，平分，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
．
即．
【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
23．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，是常数，．
（1）若时，图象经过点，求二次函数的表达式．
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：．
【分析】（1）把代入二次函数的关系式，再把，代入求出的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令，则，当△时，求得，据此写出一组，的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到，整理得，则，根据二次函数的性质即可得到．
【解答】（1）解：把代入得，，
当时，，
，
，
二次函数的关系式为；
（2）解：令，则，
当△时，则，
，
若，时，函数的图象与轴只有一个公共点，
此时函数为，
此函数的顶点坐标为；
（3）证明：二次函数的图象和直线都经过点，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得；（3）熟知二次函数的性质．
24．（12分）已知：如图1，四边形内接于，于点，为延长线上一点．
（1）求证：；
（2）过作于点（如图，试猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当图2中点运动到圆外时，即、的延长线交于点，且时（如图3所示），（2）中的猜想是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
【分析】（1）利用三角形外角的性质可以得到，再根据，，即可得到结论；
（2）连接并延长交于点，连接，利用三角形中位线的性质即可得到；
（3）利用（2）的证明方法即可得到结论．
【解答】（1）证明：是的外角，
，
，，
．
（2）解：，理由如下：
连接并延长交于点，连接，如图2，
过点且为圆直径，
，
于点，
为中点，
，
，
，
．
且，
，
，
．
（3）解：（2）的结论成立．理由如下：
连接并延长交于点，连接，如图3，
，
于点，
为中点，
，
由（2）证明可知，，
．
【点评】本题考查了圆周角定理、三角形中位线定理、垂径定理，是一道难度较大的综合题，正确作出辅助线是解答本题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/25 0:53:51；用户：佩服还小飞飞；邮箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；学号：26025303累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.530
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
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