高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式优秀练习

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题型一 sinα,csα,tanα的知一求二
1． （2023上·新疆昌吉·高一新疆昌吉回族自治州第二中学期末）已知csα=12，α∈0,π2，则tanα=（ ）
A．3B．−3C．33D．−33
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的平方式与商式关系，可得答案.
【详解】因为csα=12，α∈0,π2，所以sinα=1−cs2α=32，则tanα=3.
故选：A.
2．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）“sinx=1”是“csx=0”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可.
【详解】充分性：若sinx=1，则csx=±1−sin2x=0，故充分性成立；
必要性：若csx=0，则sinx=±1−cs2x=±1，故必要性不成立；
故“sinx=1”是“csx=0”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知sinx=−35,x∈π,32π，则tanx= ．
【答案】34/0.75
【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解.
【详解】由题知，csx=±1−sin2x=±45，
又x∈π,32π，所以csx=−45，
所以tanx=sinxcsx=34.
故答案为：34
4．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）若csα=45，求sinα，tanα．
【答案】答案见解析.
【分析】由已知csα=45>0，可得α为第一或第四象限角，根据同角三角函数关系分类讨论即可解答.
【详解】因为csα=45>0，所以α为第一或第四象限角，
①当α为第一象限角时，sinα=1−cs2α=35，tanα=sinαcsα=34；
②当α为第四象限角时，sinα=−1−cs2α=−35，tanα=sinαcsα=−34
题型二 条件等式求三角函数值
1．（2023上·高一课时练习）若α∈0,π，2sinα+csα=25，则tanα=（ ）
A．−35B．−45C．−34D．−14
【答案】C
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得sinα，进而得到csα，由同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】由2sinα+csα=25得：csα=25−2sinα，
∴sin2α+cs2α=sin2α+25−2sinα2=5sin2α−85sinα+425=1，
解得：sinα=35或sinα=−725，
又α∈0,π，∴sinα>0，即sinα=35，∴csα=25−65=−45，
∴tanα=sinαcsα=35−45=−34.
故选：C.
2．（2023上·全国·高一专题练习）已知2cs2θ+3sinθ=0,θ∈−π2,π2，则cs θ的值是（ ）
A．12B．22C．32D．33
【答案】C
【分析】由同角三角函数平方关系，将已知条件化为(2sinθ+1)(sinθ−2)=0求sinθ，结合θ∈(−π2,π2)及平方关系求csθ即可.
【详解】由题设，2sin2θ−3sinθ−2=(2sinθ+1)(sinθ−2)=0，可得sinθ=−12或sinθ=2（舍），
又θ∈(−π2,π2)，则csθ=1−sin2θ=32.
故选：C
3．（2021下·河南新乡·高一统考期末）已知1−2sinθ=csθ，则2sinθ+1−csθsinθ−2−2csθ=（ ）
A．0B．−4−32
C．0或−4−32D．4+32或−4−32
【答案】C
【分析】先联立1−2sinθ=csθ,sin2θ+cs2θ=1，解出sinθ，csθ的值，再把sinθ，csθ的值代入表达式求解即可.
【详解】联立1−2sinθ=csθ,sin2θ+cs2θ=1，
解得sinθ=0csθ=1或sinθ=223csθ=−13，
当sinθ=0，csθ=1时，
2sinθ+1−csθsinθ−2−2csθ=1−1−2−2=0；
当sinθ=223，csθ=−13时，
2sinθ+1−csθsinθ−2−2csθ=423+1+13223−2+23=−4−32.
故选：C.
4. （多选）（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知2sinα−csα=102，则tanα的值可以是（ ）
A．13B．−3C．−13D．3
【答案】CD
【分析】利用平方关系结合已知求出sinα,csα，再根据商数关系即可得出答案.
【详解】解：由2sinα−csα=102，得csα=2sinα−102，
又sin2α+cs2α=1，
所以sin2α+2sinα−1022=5sin2α−210sinα+52=1，
解得sinα=1010或31010，
当sinα=1010时，csα=−31010，则tanα=−13，
当sinα=31010时，csα=1010，则tanα=3.
故选：CD.
题型三 三角函数的化简求值
1．（2021·高一课时练习）化简tanx+csxsinxcs2x的结果是（ ）
A．tanxB．sinxC．csxD．csxsinx
【答案】D
【分析】先切割化弦，然后通分，再利用平方关系化简即可.
【详解】tanx+csxsinxcs2x =sinxcsx+csxsinxcs2x=sin2x+cs2xsinxcsx⋅cs2x=csxsinx．
故选：D
2． （2023·高一课时练习）化简：1cs2α+1sin2α= ．
【答案】1csαsinα2
【分析】利用同角三角函数的关系化简.
【详解】1cs2α+1sin2α=sin2α+cs2αcs2αsin2α=1csαsinα2，
故答案为: 1csαsinα2.
3. （2023下·安徽六安·高一安徽省舒城中学校考开学考试）化简
(1)2cs2α−11−2sin2α
(2)1+tan2αcs2α
(3)tan2α−sin2α−tan2αsin2α
【答案】(1)1；
(2)1；
(3)0.
【分析】根据同角关系式化简即得.
【详解】（1）2cs2α−11−2sin2α=2cs2α−cs2α−sin2αcs2α+sin2α−2sin2α
=cs2α−sin2αcs2α−sin2α=1；
（2）1+tan2αcs2α=cs2α+sin2αcs2α⋅cs2α=1；
（3）tan2α−sin2α−tan2αsin2α=tan2α1−sin2α−sin2α
=sin2αcs2α⋅cs2α−sin2α=0.
4．（2021·高一课时练习）化简：
(1)1−2sin40°cs40°；
(2)sin2⁡α+sin2⁡β−sin2⁡αsin2⁡β+cs2⁡αcs2⁡β．
【答案】(1)cs40°﹣sin40°；
(2)1.
【分析】（1）（2）根据同角三角函数的平方关系即可求解.
【详解】（1）1−2sin40°cs40°=(cs40°−sin40°)2=cs40°﹣sin40°；
（2）原式=sin2⁡α+1−cs2⁡β−sin2⁡αsin2⁡β+cs2⁡αcs2⁡β
=sin2α1−sin2β+1−cs2β1−cs2α
=sin2αcs2β+1−cs2βsin2α
=1.
题型四 关于tanα的齐次式问题
1．（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知sinα+2csα5csα−sinα=516，则tanα=（ ）
A．0B．1C．−13D．−3
【答案】C
【分析】因题设条件中是弦的齐次式，故考虑分子分母同除以csα即可将其转化成关于tanα的方程，解之即得.
【详解】由所求知csα≠0，故有：sinα+2csα5csα−sinα=tanα+25−tanα=516，解得：tanα=−13.
故选：C.
2．（2023下·北京海淀·高一人大附中校考期中）已知tanα=2，则sinαcsα+csαsinα=（ ）
A．12B．52C．25D．2
【答案】B
【分析】根据题意和同角三角函数的商数关系计算即可求解.
【详解】因为tanα=2，
所以sinαcsα+csαsinα=tanα+1tanα=2+12=52.
故选：B.
3．（2023上·云南保山·高一腾冲市第一中学校联考阶段练习）如果tanα=1，那么2sinα+csα4sinα−3csα= ．
【答案】3
【分析】根据题意，分式分子分母同除以csα， 由已知化弦为切求解．
【详解】由tanα=1，得2sinα+csα4sinα−3csα=2tanα+14tanα−3=2×1+14×1−3=3.
故答案为：3.
4．（2023上·陕西榆林·高一校考阶段练习）已知sinα+csαsinα−csα=3，计算下列各式的值.
(1)tanα；
(2)sin2α−2sinαcsα.
【答案】(1)2
(2)0
【分析】（1）（2）根据齐次式以及弦切互化即可求解.
【详解】（1）sinα+csαsinα−csα=3，化简得4csα=2sinα，
∴tanα=sinαcsα=2.
（2）sin2α−2sinαcsα=sin2α−2sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α−2tanαtan2α+1=22−2×222+1=0.
题型五 sinθcsθ、sinθ+csθ、sinθ−csθ的知一求二
1．（2022上·安徽亳州·高一校考期末）设sinθ−csθ=23，则sinθ⋅csθ=（ ）
A．−718B．−118C．118D．718
【答案】D
【分析】结合完全平方公式及三角函数平方关系求解即可.
【详解】因为(sinθ−csθ)2=sin2θ+cs2θ−2sinθcsθ=1−2sinθcsθ，sinθ−csθ=23，
所以sinθcsθ=718.
故选：D.
2．（2023·高一课时练习）已知sinα+csα=−15(0≤α≤π)，则tanα= ．
【答案】−34/-0.75
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sinα=35csα=−45进而可求正切值.
【详解】由sinα+csα=−15平方得sin2α+cs2α+2sinαcsα=125，
所以2sinαcsα=−2425<0，
因为0≤α≤π，所以π2<α≤π，所以sinα>0,csα<0，
又因为sinα−csα2=sin2α+cs2α−2sinαcsα=4925，
所以sinα−csα=75，
联立sinα+csα=−15sinα−csα=75解得sinα=35csα=−45，所以tanα=−34，
故答案为：−34.
3．（2022·高一课时练习）已知sinθ−csθ=12，则sin3θ−cs3θ= ．
【答案】1116
【分析】根据sinθ−csθ=12平方可得sinθ⋅csθ=38，结合立方差公式即可代入求值.
【详解】因为sinθ−csθ=12，平方得sinθ−csθ2=14，所以sinθ⋅csθ=38，
所以sin3θ−cs3θ=sinθ−csθ⋅sin2θ+sinθcsθ+cs2θ=12×1+38=1116．
故答案为：1116
4．（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知sinx+csx=23，x∈0,π，求sinx−csx的值．
【答案】143
【分析】sinx+csx=23两边平方得到2sinxcsx=−59，进而求出sinx−csx2=149，
结合角的范围和sinxcsx<0得到sinx>0,csx<0，从而求出答案.
【详解】sinx+csx=23两边平方得sin2x+2sinxcsx+cs2x=49，
即1+2sinxcsx=49，故2sinxcsx=−59，
sinx−csx2=sin2x−2sinxcsx+cs2x=1−−59=149，
又x∈0,π，sinxcsx<0，故sinx>0,csx<0，sinx−csx>0，
故sinx−csx=143.
题型六 三角函数含参问题
1．（2024上·云南·高一统考期末）若sinθ,csθ是方程x2+mx+m=0的两根，则m的值为（ ）
A．1−2B．1+2C．−1+2D．−1−2
【答案】A
【分析】由根与系数关系及平方关系得m2−2m−1=0，结合判别式求参数值.
【详解】由题设sinθ+csθ=−m，sinθcsθ=m，且Δ=m2−4m≥0，
(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ⇒m2=1+2m，且m≥4或m≤0，
所以m2−2m−1=0，可得m=1±2，故m=1−2.
故选：A
2．（2023上·上海·高一校考期末）设角θ满足条件sinθ=k−3k+5csθ=4−2kk+5，则θ所在的象限是（ ）
A．一、二B．二、三C．二、四D．不能确定
【答案】C
【分析】由sin2θ+cs2θ=1解得k=0或k=8，然后对k=0、k=8分别进行讨论，即可得出结果.
【详解】因为sinθ=k−3k+5，csθ=4−2kk+5，且sin2θ+cs2θ=1，
所以k−3k+52+4−2kk+52=1，解得k=0或k=8，
若k=0，则sinθ=−35，csθ=45，此时θ所在象限是第四象限；
若k=8，则sinθ=513，csθ=−1213，此时θ所在象限是第二象限，
所以θ为第二象限或第四象限角.
故选：C.
3．（2021上·高一校考课时练习）已知sinθ=1−a1+a,csθ=3a−11+a,若θ为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A．a∈19,1 B．a=1
C．a=1或a=19D．a=19
【答案】D
【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解.
【详解】由sinθ=1−a1+a,csθ=3a−11+a,可得sin2θ+cs2θ=1−a1+a2+3a−11+a2=1⇒a=1或a=19，
由于θ为第二象限角，所以sinθ=1−a1+a>0,csθ=3a−11+a<0，
故当a=1时，sinθ=1−a1+a=0,不符合要求，
则a=19符合要求，
故选：D
4．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知sinα=m−3,csα=m−2，则实数m= ．
【答案】2或3
【分析】根据sin2α+cs2α=1计算得到答案.
【详解】因为sinα=m−3,csα=m−2，sin2α+cs2α=1，所以(m−3)2+m−2=1，
解得m=3或m=2．
故答案为：2或3
题型七 同角三角函数的关系与证明
1．（2022上·甘肃兰州·高一校考期末）求证：
(1)1−2sinxcsxcs2x−sin2x=1−tanx1+tanx；
(2)sin4x+cs4x=1−2sin2xcs2x.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论；
（2）利用平方关系可证结论.
【详解】（1）证明：左边=cs2x+sin2x−2sinxcsxcs2x−sin2x =csx−sinx2csx−sinxsinx+csx
=csx−sinxsinx+csx=1−tanxtanx+1=右边.
（2）证明：左边= cs2x+sin2x2−2cs2xsin2x =1−2cs2xsin2x=右边.
2．（2023上·高一课时练习）求证：csx1−sinx= 1+sinxcsx.
【答案】证明见解析
【分析】应用作差法，结合同角三角函数平方关系化简求值，即可证结论.
【详解】∵csx1−sinx−1+sinxcsx= cs2x−1−sin2x1−sinxcsx=cs2x−cs2x1−sinxcsx=0，
∴csx1−sinx＝1+sinxcsx.
3．（2021·高一单元测试）求证:sinx1+csx−csx1+sinx=2(sinx-csx)1+sinx+csx.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形式，再化简求值.
方法二：在等式的左侧同时乘以1+sinx+csx1+sinx+csx，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式的分子相乘，再化简计算得出结果.
【详解】方法一:左边=sinx+sin2x−csx−cs2x(1+csx)(1+sinx)
=(sinx−csx)(1+sinx+csx)1+sinx+csx+csxsinx
=2(sinx−csx)(1+sinx+csx)1+sin2x+cs2x+2sinx+2csx+2csxsinx
=2(sinx−csx)(1+sinx+csx)(1+sinx+csx)2
=2(sinx−csx)1+sinx+csx
=右边.
方法二:左边
=1+sinx+csx1+sinx+csxsinx1+csx−csx1+sinx
=11+sinx+csxsinx(1+sinx+csx)1+csx−csx(1+sinx+csx)1+sinx
=11+sinx+csxsinx+sin2x1+csx−csx−cs2x1+sinx
=11+sinx+csxsinx+1−csx−csx−1+sinx
=2(sinx−csx)1+sinx+csx
=右边.
4．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）证明：
(1)2cs2θ+sin4θ=cs4θ+1.
(2)已知π2+2kπ【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法结合同角三角函数的平方关系可证得结论成立；
（2）由已知条件可得−1【详解】（1）证明：因为2cs2θ+sin4θ−cs4θ+1=2cs2θ−1+sin2θ−cs2θsin2θ+cs2θ
=2cs2θ−1+sin2θ−cs2θ=sin2θ+cs2θ−1=0，
因此，2cs2θ+sin4θ=cs4θ+1.
（2）证明：因为π2+2kπ所以，1−sinx1+sinx=1−sinx21+sinx1−sinx=1−sinx21−sin2x=1−sinxcsx=sinx−1csx.
故结论得证.
1．（2023上·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知sinα+csα3sinα−csα=2．
(1)求tanα的值；
(2)求sinαcsα的值；
(3)若0<α<π，求sinα+csα的值．
【答案】(1)tanα=35
(2)1534
(3)43417
【分析】（1）利用商数关系求解即可；
（2）利用平方关系构建齐次式求解即可；
（3）将所求式子平方，根据角的范围讨论符号，开平方即可,
【详解】（1）由sinα+csα3sinα−csα=2，得csα≠0，
将上式左边分子、分母同除以csα，得tanα+13tanα−1=2，解得tanα=35．
（2）由（1）知tanα=35，
所以sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=1534．
（3）由0<α<π，得sinα>0，
又由（1）知，tanα=35>0，故sinα与csα同号，
所以csα>0，于是sinα+csα>0，
(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=1+3034=3217，
sinα+csα=43417．
2．（2023上·天津·高一校考阶段练习）已知sinθ+csθ=15，其中θ是△ABC的一个内角．
(1)求sinθcsθ的值，并判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(2)求sinθ−csθ的值．
【答案】(1)sinθcsθ=−1225，钝角三角形；
(2)75.
【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数值的符号法则求解即得.
（2）由（1）的结论，结合同角公式计算即得.
【详解】（1）由sinθ+csθ=15，两边平方得sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ=125，即1+2sinθcsθ=125，
所以sinθcsθ=−1225；
由θ是△ABC的一个内角，得0<θ<π，则sinθ>0，而sinθcsθ<0，则csθ<0，有π2<θ<π，
所以△ABC是钝角三角形.
（2）由（1）知，sinθ>0>csθ，sinθcsθ=−1225，
所以sinθ−csθ=(sinθ−csθ)2=sin2θ+cs2θ−2sinθcsθ=1−2×(−1225)=75.
3．（2024上·江苏苏州·高一统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的终边经过点P3a,−4a，其中a≠0.
(1)求csθ的值；
(2)若θ为第二象限角，求csθ1+sinθ1−sinθ+sinθ1+csθ1−csθ的值.
【答案】(1)a>0时,csθ=35；a<0时, csθ=−35
(2)−75
【分析】（1）利用三角函数的定义求解；
（2）由θ为第二象限角得csθ，利用同角三角函数关系式得sinθ，代入计算即可.
【详解】（1）因为P3a,−4a,a≠0,所以OP=(3a)2+(−4a)2=5a，
当a>0时，csθ=3a5|a|=3a5a=35；
当a<0时，csθ=3a5|a|=3a−5a=−35，
综上，a>0时，csθ=35；a<0时，csθ=−35.
（2）因为θ为第二象限角，所以a<0，csθ=−35,
则sinθ=1−cs2θ=1−(−35)2=45，
所以csθ1+sinθ1−sinθ+sinθ1+csθ1−csθ=−35×1+451−45+45×1−351+35 =−35×3+45×12=−75.