高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.3 余弦函数的性质与图修优秀练习题

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题型一 五点法作余弦函数图像
1． （2023·全国·高一专题练习）用“五点法”作y=2cs2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0,π2,π,3π2,2πB．0,π4,π2,3π4,π
C．0,π,2π,3π,4πD．0,π6,π3,π2,2π3
【答案】B
【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解.
【详解】由“五点法”作图知：令2x=0，π2，π，32π，2π，
解得x=0,π4,π2,3π4,π，即为五个关键点的横坐标.
故选：B.
2．（2023上·高一课时练习）用“五点法”作y=csx+12，x∈−π,π的图象.
【答案】图象见解析
【分析】按列表、描点、连线的顺序完成作图.
【详解】（1）取值列表：
（2）描点连线，如图所示.

3．（2023·全国·高一随堂练习）画出函数y=cs13x的图象，并讨论其基本性质．
【答案】答案见解析
【详解】因为函数y=cs13x的最小正周期T=2π13=6π.
1.列表：
2.描点；
3.用光滑的曲线顺次连接各点所得图象，如图所示；

4.函数的周期，将所得图象向左、右分别扩展，就得到函数的图象，如图所示．

5.性质：
定义域：R
值域：[−1,1]
最小正周期：T=6π
单调递增区间：[3π+6kπ,6π+6kπ],k∈Z；
单调递减期间：[6kπ,3π+6kπ],k∈Z.
对称轴：x=3kπ,k∈Z，
对称中心：(3π2+3kπ,0),k∈Z
4．（2023·高一课时练习）作出函数y=csx+π3，x∈−π3,5π3的大致图像．
【答案】见解析
【分析】先根据x的范围，求出x+π3的范围，再根据x+π3找到端点，最大最小值和对称中心，对应的x的值,列表作图.
【详解】∵x∈−π3,5π3∴x+π3∈0,2π
根据五点法作图列表得：
画图像得：
题型二 余弦函数与不等式
1．（2022上·山东德州·高一校考阶段练习）满足csα≥12的角的集合为（ ）
A．αα≥2kπ+π3,k∈ZB．α2kπ−π6≤α≤2kπ+π6,k∈Z
C．α2kπ−π3≤α≤2kπ+π3,k∈ZD．α2kπ+π3≤α≤2kπ+5π3,k∈Z
【答案】C
【分析】利用余弦函数的性质即可求解
【详解】csα≥12结合余弦函数的性质可得2kπ−π3≤α≤2kπ+π3,k∈Z，
故满足csα≥12的角的集合为α2kπ−π3≤α≤2kπ+π3,k∈Z
故选：C
2．（2023·全国·高一随堂练习）求满足csα<32的α的取值范围．
【答案】[π6+2kπ,11π6+2kπ],k∈Z
【分析】根据余弦函数的性质，结合题意，即可求解.
【详解】由csα<32，根据余弦函数的性质，可得π6+2kπ≤α≤11π6+2kπ,k∈Z，
即角α的取值范围为[π6+2kπ,11π6+2kπ],k∈Z.
3．（2022下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）函数y=lg2csx−3的定义域为 .
【答案】−π6+2kπ,π6+2kπ，k∈Z
【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域.
【详解】由题意得：2csx−3>0，即csx>32，
所以x∈−π6+2kπ,π6+2kπ,k∈Z.
故答案为：−π6+2kπ,π6+2kπ，k∈Z
4. （2023上·高一单元测试）函数y=2cs2x+1的定义域是（ ）
A．{x|2kπ≤x≤2kπ+π2,k∈Z}
B．{x|kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z}
C．{x|2kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z}
D．{x|kπ−π3≤x≤kπ+π3,k∈Z}
【答案】D
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式，再借助余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数y=2cs2x+1有意义，则2cs2x+1≥0，即cs2x≥−12，
因此2kπ−2π3≤2x≤2kπ+2π3,k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π3,k∈Z，
所以函数y=2cs2x+1的定义域是{x|kπ−π3≤x≤kπ+π3,k∈Z}.
故选：D
题型三 与余弦函数有关的零点问题
1．（2021上·高一校考课时练习）直线y=2与函数y=csx的图象的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无数个
【答案】A
【分析】利用余弦函数的有界性可得结论.
【详解】因为−1≤csx≤1，故直线y=2与函数y=csx的图象没有公共点，
故选：A.
2．（2023上·高一课时练习）函数y=2sinx的图象与y=csx的图象在0,2π上的交点个数为 .
【答案】2
【分析】作出两个函数在0,2π上的图象，根据图象可得结果.
【详解】作出函数y=2sinx与y=csx在0,2π上的图象，
如图所示：

由图可知，两函数图象在0,2π上有2个交点.
故答案为：2
3. （2021·高一课时练习）方程2x=csx的实根有 .
【答案】无数个
【分析】作出函数y=2x,y=csx的图象，观察两个图象的交点个数即可作答.
【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出y=2x与y=csx的图象，如图，
观察图象知，两个函数的图象有无数个交点，即方程2x=csx有无数个实数根.
故答案为：无数个
4．（2022·高一课时练习）函数y=csx，x∈0,2π的图象与直线y=−14的交点有________个．
【答案】2
【分析】再平面直角坐标系下画出函数图象，数形结合即可判断；
【详解】解：
解：作y=csx，x∈0,2π的图象及直线y=−14如下所示，知两函数图象有两个交点．
故答案为：2
题型四 余弦函数的周期性
1．(2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）函数y=3cs4x+π3的最小正周期是（ ）
A．2πB．π2C．π3D．π
【答案】B
【分析】根据余弦型函数y=Acs(ωx+φ)的最小正周期T=2πω，进而即得.
【详解】由题可知最小正周期T=2π4=π2.
故选：B.
2．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）函数fx=csx的最小正周期是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】B
【分析】根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】函数fx=csx的最小正周期T=2π1=2π.
故选：B
3．（2023上·高一课时练习）已知函数 fx=csωx−π6 ω>0 的最小正周期为π6，则ω= .
【答案】12
【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得ω的值.
【详解】由于ω>0，依题意可知T=2πω=2πω=π6⇒ω=12.
故答案为：12
4．（2023下·上海静安·高一校考期中）函数y=csx3的最小正周期是 ．
【答案】6π
【分析】根据余弦函数的最小正周期公式，即可求得答案.
【详解】函数y=csx3的最小正周期是T=2π13=6π，
故答案为：6π
题型五 余弦函数的奇偶性
1．（2023上·山西·高二统考学业考试）函数y=cs2x是（ ）
A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数C．周期为π2的偶函数D．周期为π2的奇函数
【答案】A
【分析】计算周期和奇偶性得到答案.
【详解】y=fx=cs2x，函数定义域为R，T=2π2=π，f−x=cs−2x=cs2x=fx，
y=fx=cs2x为偶函数，
故选：A
2．（2023下·新疆和田·高一校考阶段练习）函数y=sin(5π2−2x)是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．以上都不对
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简给定的函数，再利用余弦函数性质判断作答.
【详解】依题意，函数y=sin(5π2−2x)，化为y=cs2x是偶函数.
故选：B
3．（2022下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）函数f(x)=sin3π2+x的奇偶性为 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
【答案】偶函数
【分析】先根据诱导公式对函数进行化简，最后利用余弦函数的奇偶性判断即可.
【详解】由已知条件得f(x)=sin3π2+x=−csx，且函数定义域为R，关于原点对称，
则f−x=−cs−x=−csx=fx，
故函数为偶函数；
故答案为：偶函数.
4．（2023·全国·高一随堂练习）下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？
(1)y=1−sinx；
(2)y=−3sinx；
(3)y=1−csx；
(4)y=csx．
【答案】(1)既不是奇函数，又不是偶函数
(2)奇函数
(3)偶函数
(4)偶函数
【分析】先看定义域是否关于原点对称，再利用奇函数和偶函数的定义进行判断.
【详解】（1）fx=1−sinx定义域为R，
又f−x=1−sin−x=1+sinx≠fx，且f−x=1+sinx≠−fx，
故fx=1−sinx既不是奇函数，又不是偶函数；
（2）gx=−3sinx的定义域为R，
又g−x=−3sin−x=3sinx=−gx，故gx=−3sinx为奇函数；
（3）ℎx=1−csx定义域为R，
且ℎ−x=1−cs−x=1−csx=ℎx，故ℎx=1−csx为偶函数；
（4）kx=csx定义域为R，
且k−x=cs−x=csx=kx，故kx=csx为偶函数.
题型六 余弦函数的对称轴与对称中心问题
1．（2023下·重庆·高一校联考阶段练习）函数fx=csx−π7图象的对称轴方程是（ ）
A．x=9π14+kπk∈ZB．x=9π14+2kπk∈Z
C．x=π7+kπk∈ZD．x=π7+2kπk∈Z
【答案】C
【分析】采用整体对应法即可构造方程求得对称轴方程.
【详解】令x−π7=kπk∈Z，解得：x=π7+kπk∈Z，
∴fx的对称轴方程为x=π7+kπk∈Z.
故选：C.
2．（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）函数y=32csx+π2的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x=−π2B．x=−π4C．x=π8D．x=π
【答案】A
【分析】利用整体思想直接代入余弦函数对称轴的性质即可求解.
【详解】依题意，
由x+π2=kπ，k∈Z，得x=−π2+kπ，k∈Z．
当k=0时，得x=−π2.
故选：A.
3．（2020上·高一课时练习）函数y=3cs2x−π8的一个对称中心是（ ）
A．π8,0B．5π16,0C．3π8,0D．7π16,0
【答案】B
【分析】计算余弦型函数的对称中心，然后直接进行判断即可.
【详解】令2x−π8=π2+kπ,k∈Z，则x=5π16+kπ2,k∈Z
所以函数y=3cs2x−π8的对称中心为5π16+kπ2,0,k∈Z
令k=0，所以函数y=3cs2x−π8的一个对称中心是5π16,0
故选：B
【点睛】本题考查余弦型函数的对称中心，属基础题.
4．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数y=4cs2x+π3的对称中心为 .
【答案】kπ2+π12,0，k∈Z.
【分析】利用整体代换法求解对称中心.
【详解】令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，
解得x=kπ2+π12,k∈Z
故函数y=4cs2x+π3的对称中心为kπ2+π12,0，k∈Z.
故答案为：kπ2+π12,0，k∈Z.
题型七 根据奇偶性对称性求参数
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）将函数fx=cs2x+φ的图像向右移π6后关于原点中心对称，则φ可能的取值是（ ）
A．−π3B．−π6C．π6D．π3
【答案】B
【分析】先利用平移变换，得到gx=cs2x+φ−π3，再根据gx的图象关于原点中心对称，由φ−π3=kπ+π2,k∈Z求解.
【详解】解：将函数fx=cs2x+φ的图像向右移π6得到gx=cs2x+φ−π3，
因为gx的图象关于原点中心对称，
所以φ−π3=kπ+π2,k∈Z，即φ=kπ+5π6,k∈Z，
所以φ可能的取值是−π6，
故选：B
2．（2022上·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考阶段练习）设函数fx=2cs2x+φ的图象关于点5π6,0中心对称，则φ的最小值为（ ）
A．7π6B．5π6C．π3D．π6
【答案】D
【分析】利用5π6,0为对称中心，列出方程，求出φ=−7π6+kπ，k∈Z，求出φ的最小值.
【详解】由题意得：2×5π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得：φ=−7π6+kπ，k∈Z，
所以φ=−7π6+kπ，k∈Z，
当k=1时，φ取得最小值为π6.
故选：D
3．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）函数fx=csωx−π3(ω>0)的图像关于直线x=π2对称，则ω可以为（ ）
A．13B．12C．23D．1
【答案】C
【分析】f(x)=cs(ωx−π3)(ω>0)的对称轴为ωx−π3=kπ，化简得到ω=2k+23(ω>0)得到答案.
【详解】f(x)=cs(ωx−π3)(ω>0)
对称轴为：ωx−π3=kπ⇒π2ω−π3=kπ⇒ω=2k+23(ω>0)(k∈Z)
当k=0时，ω取值为23.
故选:C.
4．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考期中）若函数fx=cs2x+φ−π≤φ<π为奇函数，则φ= ．
【答案】±π2
【分析】根据正弦函数和余弦函数奇偶性直接求解即可.
【详解】因为函数fx=cs2x+φ为奇函数，
所以φ=kπ+π2k∈Z，
又因为−π≤φ<π，
所以k=0,φ=π2或k=−1,φ=−π2.
故答案为：±π2
题型八 利用单调性比较大小
1．（2020上·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知a=cs46°，b=sin134°，c=cs−43°，则（ ）
A．b>c>aB．c>b>aC．c>a>bD．b>a>c
【答案】B
【分析】利用诱导公式，可将b，c变形为cs44°，cs43°，根据余弦函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意得： b=sin(180°−46°)=sin46°=sin(90°−44°)=cs44°，c=cs43°，
因为y=csx在(0,90°)上单调递减，
所以cs43°>cs44°>cs46°，即c>b>a．
故选：B
2．（2020上·江西鹰潭·高一贵溪市实验中学校考阶段练习）三个数cs−π8，csπ5，cs3π5的大小关系（ ）
A．cs−π8C．cs3π5【答案】B
【解析】根据诱导公式，以及余弦函数的单调性，即可判断出结果.
【详解】因为cs−π8=csπ8>0，cs3π5=−cs2π5<0，csπ5>0，
又余弦函数y=csx在0,π2上单调递减，
所以csπ5因此−cs2π5故选：B.
3．（2020·高一课时练习）cs1,cs2,cs3的大小关系是 .（用“>”连接）
【答案】cs1>cs2>cs3
【解析】根据y=csx在区间0,π上的单调性，求得三者的大小关系.
【详解】因为0<1<2<3<π，且y=csx在0,π上单调递减，所以cs1>cs2>cs3.
故答案为：cs1>cs2>cs3
【点睛】本小题主要考查三角函数值比较大小，考查三角函数的单调性，属于基础题.
4．（2023上·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小：
(1)cs15π8，cs14π9；
(2)cs1，sin1.
【答案】(1)cs15π8>cs14π9
(2)cs1【分析】（1）利用诱导公式得cs15π8=csπ8，cs14π9=cs4π9，由函数y=csx在0,π上的单调性，比较余弦值的大小；
（2）由诱导公式得cs1=sinπ2−1，利用函数y=sinx在0,π2上的单调性，比较正弦值的大小.
【详解】（1）cs15π8=cs2π−π8=csπ8，cs14π9=cs2π−4π9=cs4π9，
因为0<π8<4π9<π，而y=csx在0,π上单调递减，
所以csπ8>cs4π9，即cs15π8>cs14π9.
（2）因为cs1=sinπ2−1，而0<π2−1<1<π2且y=sinx在0,π2上单调递增，
所以sinπ2−1题型九 余弦函数的单调性
1．（2023上·高一课时练习）函数y=−csx在区间−π2,π2上（ ）
A．单调递增B．单调递减
C．先减后增D．先增后减
【答案】C
【分析】由余弦函数的单调性分析判断
【详解】因为y=csx在区间−π2,π2上先增后减，
所以y=−csx区间−π2,π2上先减后增，
故选：C
2．（2024上·广东清远·高一统考期末）写出函数y=2−csx在0,2π上的一个减区间： .
【答案】π,2π（答案不唯一）
【分析】利用余弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数y=2−csx的减区间为y=csx的增区间，即−π+2kπ,2kπ,k∈Z，
据此只需写π,2π内的任何一个非空子集，例如π,2π.
故答案为：π,2π（答案不唯一）
3．（2023下·北京房山·高一统考期中）已知函数fx=cs3x−π4．
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx的单调递减区间．
【答案】(1)2π3
(2)23kπ+π12,23kπ+5π12k∈Z
【分析】（1）利用周期公式T=2πω直接代入求解即可；
（2）利用整体代换法求单调递减区间即可.
【详解】（1）∵fx=2cs3x−π4
∴T=2πω=2π3；
（2）∵函数y=csx的单调递减区间为2kπ,2kπ+π k∈Z，
令2kπ≤3x−π4≤2kπ+π，k∈Z，
解得：23kπ+π12≤x≤23kπ+5π12，k∈Z，
∴函数fx的单调递减区间为23kπ+π12,23kπ+5π12k∈Z．
4．（2023下·福建福州·高一校考期中）已知函数fx=cs2x+π3.
(1)求函数fx图像的对称中心；
(2)求函数fx图像的单调递减区间.
【答案】(1)π12+kπ2,0,k∈Z
(2)−π6+kπ,π3+kπ,k∈Z
【分析】（1）根据余弦函数的性质求对称中心；
（2）根据余弦函数的性质求单调递减区间.
【详解】（1）令2x+π3=π2+kπ,k∈Z，解得x=π12+kπ2,k∈Z，
所以函数fx图像的对称中心为π12+kπ2,0,k∈Z.
（2）令2kπ≤2x+π3≤π+2kπ,k∈Z，
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
所以函数fx图像的单调递减区间为−π6+kπ,π3+kπ,k∈Z.
题型十 普通型值域与最值问题
1．（2021·高一课时练习）函数y=−3csx+2的值域为（ ）
A．[−1,5]B．[−5,1]
C．[−1,1]D．[−3,1]
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的值域求解作答.
【详解】函数y=−3csx+2的定义域为R，−1≤csx≤1，因此−1≤−3csx+2≤5，
所以函数y=−3csx+2的值域为[−1,5].
故选：A
2．（2023下·上海徐汇·高一统考期末）函数y=2csx，x∈−π3,π2的值域为 .
【答案】0,2
【分析】根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为x∈−π3,π2，所以csx∈0,1，所以y=2csx∈0,2.
故答案为：0,2
3．（2023上·天津河西·高一统考期末）函数y=2cs2x−π3在x∈π3,5π6的值域是 .
【答案】−2,1
【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【详解】因为x∈π3,5π6，所以2x−π3∈π3,4π3，
所以cs2x−π3∈−1,12，
所以函数y=2cs2x−π3在x∈π3,5π6的值域是−2,1.
故答案为：−2,1.
4．（2022下·陕西榆林·高一校考阶段练习）函数y=2−2cs2x+π12的值域是 .
【答案】[0,4]/y0≤y≤4
【分析】由余弦函数的有界性求解即可．
【详解】因为cs2x+π12∈[−1,1]，所以−2cs2x+π12∈[−2,2]，
所以2−2cs2x+π12∈[0,4]，即y∈[0,4]，故函数的值域为[0,4]，
故答案为：[0,4]
题型十一 二次型值域与最值问题
1．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）函数fx=sin2x+22csx的值域是（ ）
A．−22,3B．−22,22
C．0,3D．0,22
【答案】B
【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得.
【详解】因为fx=sin2x+22csx=1−cs2x+22csx=−csx−22+3，
由csx∈−1,1，故−−1−22+3≤fx≤−1−22+3，
即fx∈−22,22.
故选：B.
2．（2023上·广东广州·高一校考阶段练习）函数fx=2sin2x+cs x,x∈π3,5π3的值域为 .
【答案】−1,178
【分析】根据已知化简可得fx=−2cs2x+csx+2.换元令t=csx，可得ft=−2t2+t+2，t∈−1,12.根据二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】fx=2sin2x+cs x=21−cs2x+csx =−2cs2x+csx+2，
令t=csx，
因为x∈π3,5π3，所以t∈−1,12，
所以ft=−2t2+t+2.
根据二次函数的性质可知，ft在−1,14上单调递增，在14,12上单调递减，
所以，当t=14时，ft有最大值f14=−2×142+14+2=178.
又f−1=−2−1+2=−1，f12=−2×122+12+2=2，
所以f(x)的最小值为f−1=−1，函数的值域为−1,178.
故答案为：−1,178.
3．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）函数fx=−2sin2x−3csx+2，x∈0,π4的值域为 ．
【答案】−98,−1
【分析】根据同角三角函数的平方关系结合二次函数的性质及余弦函数的性质计算即可.
【详解】由sin2x+cs2x=1⇒fx=−21−cs2x−3csx+2=2csx−342−98，
当x∈0,π4时，csx∈22,1，
易知22<34<1，故csx=34时，fx取得最小值−98，
csx=22时，fx=1−322，csx=1时，fx=−1，
又1−322<−1，故fx的最大值为−1.
故答案为：−98,−1
4．（2023上·甘肃天水·高一校联考期末）函数y=3cs2x−4csx+1，(x∈R)的值域为 ．
【答案】−13,8
【分析】根据题意，换元令t=csx∈−1,1，然后结合二次函数的值域，即可求得结果.
【详解】令t=csx∈−1,1，则y=3t2−4t+1=3t−232−13，
当t=23时，则函数y取得最小值为−13，
当t=−1时，函数y取得最大值为8，
故函数的值域为−13,8.
故答案为：−13,8
题型十二 反比例型值域与最值问题
1．（2022下·河南南阳·高一校联考阶段练习）函数y=csx+12csx−1的值域是（ ）
A．−∞,0∪4,+∞B．−∞,0∪2,+∞
C．0,4D．0,2
【答案】B
【分析】先换元csx=t,t∈−1,12∪12,1，再分离常数求值域即可.
【详解】令csx=t,t∈−1,12∪12,1，y=t+12t−1=12(2t−1)+322t−1=12+32⋅12t−1，
可得2t−1∈−3,0∪0,1，12t−1∈−∞,−13∪1,+∞，
32⋅12t−1∈−∞,−12∪32,+∞，故y∈−∞,0∪2,+∞.
故选：B.
2．（2023上·全国·高一专题练习）函数f(x)=csx2csx+1的值域是 ．
【答案】(−∞,13]∪[1,+∞)
【分析】将y=f(x)=csx2csx+1化为csx=y1−2y，利用余弦函数的有界性，即csx≤1，解不等式即可得答案.
【详解】由y=f(x)=csx2csx+1，可得(1−2y)csx=y，
当y=12时等式不成立，∴y≠12，则有csx=y1−2y，
∵csx≤1，∴y1−2y≤1，3y2−4y+1≥0，y≤13或y≥1，
∴函数f(x)=csx2csx+1的值域是(−∞,13]∪[1,+∞)，
故答案为：(−∞,13]∪[1,+∞)
3．（2023下·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）函数f(x)=2−csx2+csx的值域为 .
【答案】13,3
【分析】变换f(x)=42+csx−1，根据csx∈−1,1得到42+csx∈43,4，得到值域.
【详解】f(x)=2−csx2+csx=42+csx−1，
csx∈−1,1，则csx+2∈1,3，42+csx∈43,4，故fx∈13,3.
故答案为：13,3
4．（2023·高一课时练习）函数y=csx+3csx−1的定义域是 ，值域是 ．
【答案】 {x∣x≠2kπ,k∈Z} −∞,−1
【分析】由题意可得 csx−1≠0, 易得函数的定义域, 变形可得 y=1+4csx−1, 由 csx 的范围结合不等式的性质可得值域.
【详解】由 csx−1≠0 可得 csx≠1,
∴x≠2kπ,k∈Z
∴ 函数的定义域为 {x∣x≠2kπ,k∈Z},
又y=cs+3csx−1=csx−1+4csx−1=1+4csx−1
∵−1≤csx<1,∴−2≤csx−1<0,
∴4csx−1≤−2,∴1+4csx−1≤−1，
所以函数的值域为 −∞,−1；
故答案为：{x∣x≠2kπ,k∈Z}；−∞,−1.
题型十三 已知值域与最值求参问题
1．（2020·吉林·校联考模拟预测）设函数fx=csωx−π3ω>0在0,π2上的值域为12,1，则ω的取值范围为（ ）
A．23,43B．0,23
C．23,1D．1,43
【答案】A
【解析】将x∈0,π2代入原函数，利用余弦函数的单调性，即可解得ω的取值范围.
【详解】因为x∈0,π2，所以ωx−π3∈−π3,π2ω−π3，
所以0≤π2ω−π3≤π3，解得23≤ω≤43.
故选：A
【点睛】本题考查余弦型函数的单调性和值域，属于基础题.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数y=cs2x+φφ<π2在x=π3处取得最小值，则φ=
【答案】π3
【分析】由cs2π3+φ=−1求得2π3+φ=π+2kπ，结合φ的取值范围求得φ的值.
【详解】∵函数y=cs2x+φφ<π2在x=π3处取得最小值，
∴cs2π3+φ=−1，∴2π3+φ=π+2kπ，
又φ<π2，令k=0解求得φ=π3.
故答案为：π3
3．（2023下·辽宁大连·高一统考期末）已知函数f(x)=csωx−π6（其中ω>0）在(0,π)上的值域为32,1，则ω的取值范围是 .
【答案】16,13
【分析】求出ωx−π6的范围，利用余弦函数的图像与性质根据值域分析得出右端点的范围，即可列不等式求解ω.
【详解】因为x∈0,π，所以ωx−π6∈−π6,ωπ−π6，
因为函数fx=csωx−π6（其中ω>0）在0,π上的值域为32,1，
所以0<ωπ−π6≤π6，解得ω∈16,13.
故答案为：16,13
4．（2021下·高一课时练习）已知函数y=acsx+b的最大值是0，最小值是−4，求a,b的值．
【答案】a=2,b=−2或a=b=−2．
【分析】分a>0和a<0两种情况列方程组求解即可
【详解】当a>0时，a+b=0,−a+b=−4,
解得a=2,b=−2,
当a<0时，−a+b=0,a+b=−4,
解得a=−2,b=−2.
所以a=2,b=−2或a=b=−2．
1．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数f(x)=−sin2x−(a+1)csx+a+1．
(1)当a=3时，求f(x)的最大值；
(2)若关于x的不等式f(x)<0有解，求a的取值范围．
【答案】(1)8
(2)(−∞,1)
【分析】（1）利用基本不等式将fx化为关于csx的表达式，再利用二次函数的性质即可得解；
（2）结合csx的值域，分析f(x)<0得到−1≤csx<1，从而利用能成立问题的解法即可得解.
【详解】（1）当a=3时，f(x)=−sin2x−4csx+4=cs2x−4csx+3=(csx−2)2−1，
因为−1≤csx≤1，所以f(x)max=(−1−2)2−1=8，即f(x)的最大值为8．
（2）f(x)=cs2x−(a+1)csx+a=(csx−1)(csx−a)．
当csx=1时，原不等式不可能有解，所以−1≤csx<1,csx−1<0，
要使关于x的不等式f(x)<0有解，则csx−a>0有解，
所以a2．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数fx=cs2x−π4．
(1)求函数fx的最小正周期和单调递减区间；
(2)设gx=sin2x+2csx−32，若对任意的x1∈7π24,b，存在x2∈R，使得fx1=gx2，求实数b的取值范围．
【答案】(1)π,kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z
(2)7π24,23π24
【分析】（1）直接由周期公式计算周期即可，整体代入法解表达式即可求得单调递减区间.
（2）先求复合函数gx的值域，然后将问题转化为存在性问题即可，结合余弦函数单调性即可得解.
【详解】（1）函数fx的最小正周期为T=2πω=2π2=π，
令2kπ≤2x−π4≤π+2kπ,k∈Z，解得kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z，
所以函数fx的单调递减区间为kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z.
（2）gx=sin2x+2csx−32=1−cs2x+2csx−32=−csx−12+12，
由于−1≤csx≤1，所以gx=−csx−12+12∈−72,12，
故原题等价于对任意的x1∈7π24,b，存在t=gx∈−72,12，使得fx1=t，
由题意首先b>7π24，当x1∈7π24,b时，2x1−π4∈π3,2b−π4，
而csπ3=12=cs5π3，y=cst在π3,π上单调递减，在π,5π3上单调递增，
所以2b−π4≤5π3，解得b≤23π24，
综上所述，实数b的取值范围为7π24,23π24.
3．（2023上·四川内江·高一四川省隆昌市第一中学校考期末）已知函数fx=Acsωx+φ+2（A>0，ω>0，0<φ<π）的最小值为1，最小正周期为π，且fx的图象关于直线x=π3对称.
(1)求fx的解析式、对称轴、对称中心；
(2)求函数y=fx在−π,π上的单调递减区间.
【答案】(1)fx=cs2x+π3+2；对称轴为x=−π6+kπ2，k∈Z；对称中心为π12+kπ2,2，k∈Z.
(2)fx在−π,π上的单调递减区间为−π,−2π3，−π6,π3，5π6,π.
【分析】（1）先根据函数的最值，最小正周期，对称轴求出函数的解析式，再利用函数fx=Acsωx+φ+m
的性质求对称轴与对称中心；
（2）利用函数fx=Acsωx+φ+m的性质求出递减区间，再结合区间−π,π即得.
【详解】（1）由题意可知−A+2=1，T=π所以A=1，ω=2πT=2，fx=cs2x+φ+2
因为fx的图象关于直线x=π3对称，所以2×π3+φ=kπ，k∈Z，
得φ=−23π+kπ，k∈Z，又因0<φ<π，所以φ=π3，故fx=cs2x+π3+2，
令2x+π3=kπ，k∈Z，得x=−π6+kπ2，k∈Z，故函数的对称轴为x=−π6+kπ2，k∈Z；
令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，得x=π12+kπ2，k∈Z，
故对称中心为π12+kπ2,2，k∈Z.
（2）fx=cs2x+π3+2，
令2kπ≤2x+π3≤π+2kπ，k∈Z，得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
故函数的递减区间为−π6+kπ,π3+kπ，k∈Z，
当k=−1时得−7π6,−2π3，当k=0时得−π6,π3，当k=1时得5π6,4π3，
又因x∈−π,π，
所以fx在−π,π上的单调递减区间为−π,−2π3，−π6,π3，5π6,π
x
−π
−π2
0
π2
π
csx
－1
0
1
0
－1
csx+12
−12
12
32
12
−12
13x
0
π2
π
3π2
2π
x
0
3π2
3π
9π2
6π
y
1
0
-1
0
1
x+π3
0
π2
π
3π2
2π
x
−π3
π6
2π3
7π6
5π3
y
1
0
−1
0
1