高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修精品课后测评

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修精品课后测评，文件包含人教B版2019高中数学必修第三册734正切函数的性质与图像分层练习原卷docx、人教B版2019高中数学必修第三册734正切函数的性质与图像分层练习解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。


题型一 正切函数图象的画法
1．（2020·高一课时练习）我们能用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图，类似地你能画出正切函数y=tanx，x∈−π2,π2的简图吗？
【答案】图见解析.
【解析】根据正切函数的性质，由三个点−π4,−1，0,0，π4,1，两条线x=−π2，x=π2，即可画出大致图像.
【详解】要化正切函数y=tanx，x∈−π2,π2的简图，
只需三个关键点：−π4,−1，0,0，π4,1，
两条平行线：x=−π2，x=π2，
即可画出简图如下：
【点睛】本题主要考查画正切函数的图像，属于基础题型.
2．（2021·高一课时练习）求函数y=tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间−π,π内的图象．
【答案】答案见解析
【分析】根据正切函数的性质可以分别求解.
【详解】要使函数y=tan2x有意义，
必须且只需2x≠π2+kπ，k∈Z，即x≠π4+kπ2，k∈Z，
∴函数y=tan2x的定义域为x∈Rx≠π4+kπ2,k∈Z．
设t=2x，由x≠π4+kπ2，k∈Z知t≠π2+kπ，k∈Z，
∴y=tant的值域为−∞,+∞，即y=tan2x的值域为−∞,+∞．
由tan2x+π2=tan2x+π=tan2x，
∴y=tan2x的周期为π2．
函数y=tan2x在区间−π,π内的图象如图下图所示：
3．（2021·上海·高一专题练习）作出函数y=|tanx|的图象.
【答案】图见解析
【分析】依题意y=|tanx|是将y=tanx在x轴下方部分的图象关于x轴翻折上去，即可得到y=|tanx|的函数图象；
【详解】解：函数y=|tanx|是将y=tanx在x轴下方部分的图象关于x轴翻折上去，所以y=|tanx|的图象如下所示：
4．（2021下·高一课时练习）作函数y=tan|x|的图象.
【答案】答案见解析.
【分析】根据y=tanx奇偶性可得答案.
【详解】先作出y=tanxx≥0，x≠kπ+π2k∈Z的图象，
因为f−x=tanx=fxx≠kπ+π2k∈Z，所以y=tanx是偶函数，
图象关于y轴对称，可作出y=tanxx<0，x≠kπ+π2k∈Z的图象，
所以y=tanx的图象如下所示：

题型二 定义域问题
1. （2023上·全国·高一专题练习）函数y=tanx+1+lg1−tanx的定义域为 ．
【答案】{x|−π+kπ≤x<π4+kπ,k∈Z}
【分析】根据函数的解析式列出不等式组，结合正切函数的性质求解即可.
【详解】要使函数y=tanx+1+lg1−tanx有意义，
则tanx+1≥01−tanx>0，即−1≤tanx<1.
在(−π2,π2)上满足上述不等式的x的取值范围是[−π4,π4).
又因为y=tanx的周期为π，
所以函数的定义域为{x|−π4+kπ≤x<π4+kπ,k∈Z}.
故答案为：{x|−π4+kπ≤x<π4+kπ,k∈Z}.
2．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）函数y=lg1+tanx的定义域为 ．
【答案】−π4+kπ,π2+kπ，k∈Z
【分析】由对数函数定义域得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得1+tanx>0，即tanx>−1，
故x∈−π4+kπ,π2+kπ，k∈Z.
故答案为：−π4+kπ,π2+kπ，k∈Z
3．（2023·全国·高一专题练习）函数fx=−2tan2x+π6的定义域是 .
【答案】xx≠kπ2+π6,k∈Z
【分析】由正切函数的定义域，整体思想可求得函数fx的定义域.
【详解】由正切函数的定义域可得，2x+π6≠kπ+π2，k∈Z，得x≠kπ2+π6，k∈Z，
故函数fx的定义域为xx≠kπ2+π6,k∈Z.
故答案为：xx≠kπ2+π6,k∈Z.
4．（2023上·贵州六盘水·高一统考期末）已知函数f(x)=tan2x−3π4.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(π)的值.
【答案】(1)xx≠5π8+kπ2,k∈Z
(2)1
【分析】（1）令2x−3π4≠π2+kπ,k∈Z，求出定义域；
（2）代入，结合诱导公式求值即可.
【详解】（1）令2x−3π4≠π2+kπ,k∈Z ，
解得：x≠5π8+kπ2,k∈Z，
所以函数f(x)的定义域是xx≠5π8+kπ2,k∈Z；
（2）由题知f(π)=tan2π−3π4=tan5π4=tanπ+π4=tanπ4=1，
所以f(π)=1.
题型三 正切型函数不等式问题
1．（2023下·贵州遵义·高一统考期中）不等式tanx+π8>−1的解集为（ ）
A．−π8+kπ，5π8+kπk∈Z
B．−π8+2kπ，5π8+2kπk∈Z
C．−3π8+kπ，3π8+kπk∈Z
D．−3π8+2kπ，3π8+2kπk∈Z
【答案】C
【分析】根据y=tanx图像和周期性直接求解.
【详解】由题意得，−π4+kπ＜x+π8＜π2+kπk∈Z，
得−3π8+kπ＜x＜3π8+kπk∈Z.
故选：C
2．（2021下·高一课时练习）使得不等式−1≤tanx<3成立的x的取值范围是（ ）
A．−π4,π3B．−π4,4π3
C．kπ−π4,kπ+π3,k∈ZD．2kπ−π4,2kπ+π3,k∈Z
【答案】C
【分析】根据正切函数的图象与性质，可直接求解.
【详解】由不等式−1≤tanx<3，
根据正切函数的图象与性质，可得kπ−π4≤x即实数x的取值范围是kπ−π4,kπ+π3,k∈Z.
故选：C.
3. （2023下·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）不等式tanx>−1的解集是 ．
【答案】xkπ−π4【分析】利用正切函数的单调性和周期性即可得出
【详解】正切函数最小正周期为π，在−π2,π2上单调递增，tan−π4=−1，
所以不等式tanx>−1的解集为xkπ−π4故答案为：xkπ−π44.( 2021下·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）不等式tanx≤3的解集是 .
【答案】xkπ−π3≤x≤kπ+π3,k∈Z
【分析】根据正切函数性质即可得出答案.
【详解】tanx≤3，则−3≤tanx≤3，
则kπ−π3≤x≤kπ+π3,k∈Z，
故答案为：xkπ−π3≤x≤kπ+π3,k∈Z
题型四 正切函数与零点问题
1．（2022下·北京海淀·高一北京交通大学附属中学校考阶段练习）函数y=tanx的最小正周期为 ，零点为 .
【答案】 π kπ,k∈Z
【分析】直接根据正切函数的性质得答案即可.
【详解】第一空：函数y=tanx的最小正周期为π；
第二空：函数y=tanx的零点为kπ,k∈Z.
故答案为：π；kπ,k∈Z.
2．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）当x∈(−π2,π2)∪(π2,3π2)时，函数y=csx与函数y=tanx的图象的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】作出函数y=csx在(−π2,3π2)上的图象与y=tanx在(−π2,π2)∪(π2,3π2)的图象即可得解.
【详解】作出函数y=csx在(−π2,3π2)上的图象与y=tanx在(−π2,π2)∪(π2,3π2)的图象，如图，
观察图象，得函数y=csx与函数y=tanx的图象的交点个数为2.
故选：C
3．（2023·高一课时练习）函数y=tanx−π4的零点是 ．
【答案】kπ+π4，k∈Z
【分析】利用方程法与正切函数的性质即可得解.
【详解】令y=tanx−π4=0，得x−π4=kπ,k∈Z，即x=kπ+π4,k∈Z，
所以y=tanx−π4的零点是x=kπ+π4,k∈Z.
故答案为：kπ+π4，k∈Z.
4．（2020下·福建福州·高一福建省福州第一中学校考开学考试）函数y=1+tan2x−π6在区间−π,π内的零点个数为 .
【答案】4个
【解析】令y=0，求出x∈(−π,π)内的满足条件的值，即得零点个数。
【详解】由题得，令1+tan2x−π6=0，tan2x−π6=−1，则有2x−π6=kπ−π4(k∈Z)，解得x=kπ2−π24(k∈Z)，当k=−1时，x=−13π24；当k=0时，x=−π24；当k=1时，x=11π24；当k=2时，x=23π24.综上，函数在区间−π,π内有4个零点.
故答案为：4
【点睛】本题考查由正切函数的性质求区间内的零点个数，是常见题型。
题型五 正切函数的周期性
1．（2024上·北京大兴·高一统考期末）函数fx=tan2x的最小正周期等于（ ）
A．π2B．πC．3π2D．2π
【答案】A
【分析】利用正切函数的周期公式计算即得.
【详解】函数fx=tan2x的最小正周期T=π2.
故选：A
2．（2023上·江苏·高一专题练习）在函数①y=csx，②y=csx，③y=cs2x+π6，④y=tan2x−π4中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
【答案】D
【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.
【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，y=csx=csx，最小值周期为2π；
②由翻折变换可知，函数y=csx的图象如图：
由图知y=csx的最小值周期为π；
③由周期公式得T=2π2=π，所以y=cs2x+π6的最小值周期为π；
④y=tan2x−π4的最小值周期为T=π2.
故选：D
3．（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知函数f(x)=tanaa2+1x+φ(a>0)的最小正周期为2π，则a= .
【答案】1
【分析】根据正切函数周期公式求解即可.
【详解】依题意T=πaa2+1=2π，
整理得a2−2a+1=0，解得a=1.
故答案为：1.
4．（2023上·天津滨海新·高一校考阶段练习）函数fx=2tan2x−π4的定义域是 ；最小正周期是 ．
【答案】 xx≠kπ2+38π,k∈Z π2
【分析】根据题意，由正切型函数的定义域以及周期公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，2x−π4≠π2+kπ，k∈Z，所以x≠kπ2+38π，k∈Z，
所以函数定义域为xx≠kπ2+38π,k∈Z；
最小正周期为T=π2；
故答案为：xx≠kπ2+38π,k∈Z；π2.
题型六 正切函数的奇偶性
1．（2021下·高一课时练习）函数fx=lgtanx+1tanx−1的奇偶性是 ．
【答案】奇函数
【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断.
【详解】由tanx+1tanx−1>0，得tanx>1或tanx<−1，
∴函数定义域为(kπ−π2,kπ−π4)∪(kπ+π4,kπ+π2),k∈Z，关于原点对称．
又f(−x)+f(x)=lgtan(−x)+1tan(−x)−1+lgtanx+1tanx−1 =lg(−tanx+1−tanx−1⋅tanx+1tanx−1)=lg1=0，
∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．
故答案为：奇函数.
2．（2020下·高一课时练习）函数y=xtanx的奇偶性是 ．
【答案】偶函数
【分析】设fx=xtanx，再分析f−x与fx的关系即可.
【详解】定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z},关于原点对称，设fx=xtanx，
则f−x=−xtan−x=xtanx=fx.
故y=xtanx为偶函数.
故答案为：偶函数
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.
3．（2023下·北京丰台·高一统考期中）下列函数中，最小正周期是π的奇函数为（ ）
A．y=sin2xB．y=cs2xC．y=tan2xD．y=|sinx|
【答案】A
【分析】根据周期公式结合周期定义求各函数的周期，再根据奇函数的定义判断即可.
【详解】函数y=sin2x的周期为2π2=π，
设fx=sin2x，函数fx的定义域为R，定义域关于原点对称，
又f−x=sin2−x=−sin2x=−fx，所以函数y=sin2x为奇函数，A正确；
函数y=cs2x的周期为2π2=π，
设gx=cs2x，函数gx的定义域为R，定义域关于原点对称，
又g−x=cs2−x=cs2x=fx，所以函数y=cs2x为偶函数，B错误；
函数y=tan2x的周期为π2，C错误；
设ℎx=|sinx|，函数ℎx=|sinx|的定义域为R，定义域关于原点对称，
则ℎx+π=sinx+π=sinx=ℎx，故函数y=|sinx|的周期为π，
又ℎ−x=sin−x=−sinx=sinx=ℎx，所以函数y=|sinx|为偶函数，
D错误；
故选：A.
4．（多选）（2024上·湖南永州·高一统考期末）在下列函数中，既是偶函数又在区间0,1上单调递增的有（ ）
A．y=x3B．y=−csxC．y=tanxD．y=2x
【答案】BCD
【分析】根据指数、幂函数及三角函数性质判断函数奇偶性、区间单调性，即可得答案.
【详解】由y=x3为奇函数，A不符；
由y=−csx定义域为R，且−cs(−x)=−csx，为偶函数，
在区间0,1上单调递增，B符合；
由y=tanx定义域为{x|x≠kπ+π2},k∈Z，且tan(−x)=|−tanx|=|tanx|，为偶函数，
在区间0,1上单调递增，C符合；
由y=2x定义域为R，且2−x=2x，为偶函数，
在区间0,1上单调递增，D符合；
故选：BCD
题型七 正切函数的对称中心
1．（2022上·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）下列坐标所表示的点不是函数y=tan2x−π6的图像的对称中心的是（ ）
A．π12,0B．π6,0
C．−5π12,0D．π3,0
【答案】B
【分析】求出对称点横坐标的表达式，改变系数k的值即可得出对称中心.
【详解】解：由题意
在y=tan2x−π6中，
令2x−π6=12kπ，k∈Z
解得x=14kπ+π12，k∈Z
当k=0时，x=π12，
∴函数的一个对称中心是π12,0，A正确.
当k=1时，x=14×π+π12=π3，
∴函数的一个对称中心是π3,0，D正确.
当k=−2时，x=14×-2π+π12=−5π12，
∴函数的一个对称中心是−5π12,0，C正确.
故选：B.
2．（多选）（2022下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）下列坐标所表示的点中，是函数y=tan(x2−π6)图像的对称中心的是（ ）
A．(−5π3,0)B．(π3,0)C．(2π3,0)D．(4π3,0)
【答案】ABD
【分析】令x2−π6=kπ2,k∈Z，求出对称中心横坐标，对四个选项一一进行判断.
【详解】令x2−π6=kπ2,k∈Z，解得x=kπ+π3,k∈Z，
A选项，当k=−2时，x=−2π+π3=−5π3，故对称中心为(−5π3,0)，A正确；
B选项，当k=0时，x=π3，故对称中心为(π3,0)，B正确；
C选项，令kπ+π3=2π3，解得k=13，不合要求，舍去，C错误；
D选项，当k=1时，x=4π3，故对称中心为(4π3,0)，D正确；
故选：ABD
3．（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=tan(3x+π6)的图象的对称中心为
【答案】kπ6−π18,0k∈Z
【分析】根据y=tanx的对称中心为kπ2,0,k∈Z可求解.
【详解】令3x+π6=kπ2，k∈Z，解得x=kπ6−π18,k∈Z，所以对称中心为kπ6−π18,0,k∈Z.
故答案为: kπ6−π18,0k∈Z.
4．（2020·高一课时练习）设函数f(x)=tanx3−π3.
（1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心；
（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.
【答案】（1）最小正周期3π，对称中心是π+32kπ,0 k∈Z；（2）答案见解析.
【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数fx的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数fx的对称中心.
（2）根据函数的解析式得到fx的图象与x轴的交点坐标为π,0，图象上的7π4,1、π4,−1两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可.
【详解】（1）fx=tanx3−π3，T=π13=3π，
令x3−π3=kπ2，k∈Z，解得x=π+32kπ，k∈Z，
故对称中心为π+32kπ,0 k∈Z.
（2）令x3−π3=0，解得x=π，
令x3−π3=π4，解得x=7π4，
令x3−π3=−π4，解得x=π4，
令x3−π3=π2，解得x=5π2，
令x3−π3=−π2，解得x=−π2，
所以函数fx=tanx3−π3的图象与x轴的一个交点坐标为π,0，
图象上的点有7π4,1、π4,−1两点，
在这个−π2,5π2周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x=−π2和x=5π2，
从而得到函数fx在一个周期−π2,5π2内的简图(如图).
【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.
题型八 正切函数比较大小
1．（2022下·湖北·高一校联考阶段练习）设a=tan1，b=tan2，c=tan3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>c>bB．aC．a>b>cD．a【答案】A
【分析】根据π4<1<π2<2<3<π和正切函数的单调性直接得出结果.
【详解】由题意得，
函数y=tanx在(0,π2)上单调递增且tanx>0，
在(π2,π)上单调递增且tanx<0，
因为π4<1<π2<2<3<π，
所以tan20，
所以a>c>b.
故选：A.
2．（2023上·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）若a=tan7，b=sinπ6，c=tan100π3，则a，b，c为（ ）
A．a【答案】B
【分析】判断出π6<7−2π<π4，即可判断a=tan7的范围，与b可判断大小，根据诱导公式化简求得c的值，即可判断a，b，c的大小，即得答案.
【详解】由于π6<7−2π<π4，故a=tan7=tan(7−2π)∈(33,1)，
而33>12=sinπ6=b，故a>b，
又c=tan100π3=tan(32π+4π3)=tan4π3=3，即c>a>b，
故选：B
3．（2020上·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）tan138°与tan143°的大小顺序为
【答案】tan138°tan138°
【分析】根据正切函数的单调性即可求解.
【详解】因为正切函数y=tanx在(π2,π)上单调递增，
所以tan138°故答案为：tan138°4．（2022·高一课时练习）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)tan−7π6，tan−7π5；
(2)tanπ9，tan7π9．
【答案】(1)tan−7π6> tan−7π5
(2)tanπ9> tan7π9
【分析】利用y=tanx在(kπ−π2,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增即可比较出大小，但要在同一个单调区间内比较.
【详解】（1）因为y=tanx在(kπ−π2,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增，
而−3π2<−7π5< −7π6<−π2，
所以tan−7π6> tan−7π5
（2）因为y=tanx在(kπ−π2,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增，
因为tan7π9=tan(π−2π9)=tan(−2π9)，
而−π2<−2π9< π9<π2，
所以tanπ9> tan(−2π9)= tan7π9，
即tanπ9> tan7π9.
题型九 正切函数的单调性
1．（2021下·宁夏银川·高一六盘山高级中学校考阶段练习）函数y=tan(2x−π3)的单调增区间为（ ）
A．[kπ2−π12,kπ2+5π12](k∈Z)B．(kπ2−π12,kπ2+5π12)(k∈Z)
C．[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)D．(kπ−π12,kπ+5π12)(k∈Z)
【答案】B
【分析】根据正切函数的单调增区间整体换元求解即可.
【详解】解：因为函数y=tanx的单调递增区间为(kπ−π2,kπ+π2)(k∈Z)，
所以kπ−π2<2x−π3所以函数y=tan(2x−π3)的单调增区间为(kπ2−π12,kπ2+5π12)(k∈Z).
故选：B
2．（2023·高一课时练习）函数y=2tanπ6x−π3的单调增区间是 ．
【答案】6k−1,6k+5,k∈Z
【分析】利用整体代入法求得函数的单调增区间.
【详解】由kπ−π2<π6x−π3解得6k−1所以函数y=2tanπ6x−π3的单调增区间是6k−1,6k+5,k∈Z.
故答案为：6k−1,6k+5,k∈Z
3．（2023上·黑龙江鸡西·高一校考期末）求函数y=tan2x−π4的定义域和单调增区间.
【答案】{x|x≠38π+kπ2,k∈Z}；(−π8+kπ2,38π+kπ2),k∈Z.
【分析】求正切型函数的定义域和递增区间，首先都要把角2x−π4看成整体角，再利用正切函数的定义域和递增区间处理即可.
【详解】由函数y=tan2x−π4有意义可得：2x−π4≠π2+kπ,k∈Z，解得x≠38π+kπ2,k∈Z，
即函数y=tan2x−π4的定义域为：{x|x≠38π+kπ2,k∈Z}.
又由−π2+kπ<2x−π4<π2+kπ,k∈Z可得：−π8+kπ2即函数y=tan2x−π4的单调增区间为：(−π8+kπ2,38π+kπ2),k∈Z.
4．（2023·高一课时练习）已知函数y=fx，其中fx=Atanωx+φ，（ω>0，φ<π2），y=fx的部分图像如下图．
(1)求A，ω，φ的值；
(2)求y=fx的单调增区间，
【答案】(1)A=1,ω=2,φ=π4
(2)kπ2−3π8,kπ2+π8,k∈Z
【分析】（1）根据函数图像上的特殊点求得A，ω，φ的值.
（2）利用整体代入法求得fx的递增区间.
【详解】（1）根据函数图像可知，T2=3π8−π8=π4,T=π2=πω,ω=2，
所以fx=Atan2x+φ，
fx过点0,1和点3π8,0，
所以Atanφ=1Atan3π4+φ=0，
由于−π2<φ<π2，所以π4<3π4+φ<5π4，
则3π4+φ=π,φ=π4，所以A=1，
所以fx=tan2x+π4.
（2）由kπ−π2<2x+π4解得kπ2−3π8所以fx的单调递增区间为kπ2−3π8,kπ2+π8,k∈Z.
题型十 正切型函数的值域
1．（2024上·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考期末）函数fx=tanx在−π3,π4上的最小值为（ ）
A．1B．2C．33D．−3
【答案】D
【分析】利用正切函数的单调性可得fx在x=−π3处取得最小值.
【详解】由正切函数y=tanx的单调性可知，在−π3,π4上fx=tanx为单调递增，
所以其最小值为fxmin=tan−π3=−3.
故选：D
2．（2021下·陕西汉中·高一统考阶段练习）函数f(x)=tan3x−π3在0,5π18上的值域为 ．
【答案】−3,+∞
【分析】根据题意求得3x−π3∈−π3,π2，结合正切函数的性质，即可求解.
【详解】由x∈0,5π18，可得3x−π3∈−π3,π2，
根据正切函数的性质，可得tan3x−π3∈−3,+∞，
即函数f(x)=tan3x−π3在0,5π18上的值域为−3,+∞.
故答案为：−3,+∞.
3．（2022·高一课时练习）函数y=tanx+π6,x∈−π6,π3的值域为 .
【答案】0,+∞
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.
【详解】设z=x+π6，因为x∈−π6,π3，可得z∈(0,π2)，
因为正切函数y=tanz在0,π2上的值域为0,+∞，
即函数y=tanx+π6在−π6,π3的值域为0,+∞.
故答案为：0,+∞.
4．（2022上·高一课时练习）求函数y=tan3x−π3的定义域、值域，指出它的周期性、单调性．
【答案】答案见详解
【分析】由3x−π3≠π2+kπ,k∈Z，即可得出定义域、值域；根据T=πω即可得出周期；根据−π2+kπ<3x−π3<π2+kπ,k∈Z，即可得出函数的单调增区间.
【详解】由3x−π3≠π2+kπ,k∈Z，可得x≠5π18+kπ3,k∈Z，
所以，函数的定义域为x|x≠5π18+kπ3,k∈Z，值域为R.
函数y=tan3x−π3的周期T=π3.
由−π2+kπ<3x−π3<π2+kπ,k∈Z可得，
−π18+kπ3所以，函数y=tan3x−π3的单调递增区间为−π18+kπ3,5π18+kπ3，k∈Z，无单调递减区间.
题型十一 复合函数的值域
1．（2022下·上海长宁·高一校考期中）函数fx=−2tan2x+5tanx−2，x∈−π4,π4的值域为 ．
【答案】−9,1
【分析】由x的范围求出tanx的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：因为x∈−π4,π4，所以tanx∈−1,1，
fx=−2tanx−542+98，
则当tanx=1时，fxmax=1，
当tanx=−1时，fxmin=−9，
所以函数fx的值域为−9,1.
故答案为：−9,1.
2．（2021上·高一课时练习）求函数y=−tan2x+4tanx+1， x∈−π4，π4的值域.
【答案】[−4，4]
【分析】结合复合函数的性质，令tanx=t，函数变化成y=−t2+4t+1=−t−22+5，t∈[−1，1]的二次函数问题，从而求得函数的值域；
【详解】因为x∈−π4，π4，所以−1≤tanx≤1.
令tanx=t.则t∈[−1，1].
∴y=−t2+4t+1=−t−22+5.
当t=−1，即x=−π4时， ymin=−4，
当t=1，即x=π4时， ymax=4，
故所求函数的值域为 [−4，4].
3．（2020下·高一课时练习）求下列函数的值域：
（1）y=1+tanx1−tanx,x∈−π2,0；
（2）y=tan2x+3tanx−1,x∈−π3,π4．
【答案】（1）(−1,1)；（2）−134,3
【分析】（1）由定义域可得tanx∈−∞,0，令t=tanx则t∈−∞,0，所以y=1+t1−t=−1+−2t−1，再根据幂函数的性质计算可得；
（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：（1）因为y=1+tanx1−tanx,x∈−π2,0，所以tanx∈−∞,0
令t=tanx则t∈−∞,0
所以y=1+t1−t=−1+−2t−1
因为t∈−∞,0，所以t−1∈−∞,−1，1t−1∈−1,0，−2t−1∈0,2，
−1+−2t−1∈−1,1，即y∈−1,1
（2）因为y=tan2x+3tanx−1,x∈−π3,π4
所以tanx∈−3,1
令m=tanx，m∈−3,1
所以y=fm=m2+3m−1=m+322−134
所以fm在−32,1上单调递增，在−3,−32上单调递减，
f−32=−134，f1=3，f−3=2−33
所以fm∈−134,3
即函数的值域为−134,3
【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.
4．（2023上·全国·高一专题练习）函数y=1tanx(−π4A．(−1,1)B．(−∞,−1)∪(1,+∞)
C．(−∞,1)D．(−1,+∞)
【答案】B
【分析】利用正切函数的性质求得答案.
【详解】当−π4当01.
即当x∈−π4,0∪0,π4时，函数y=1tanx的值域是(−∞,−1)∪(1,+∞)．
故选：B.
题型十二 已知值域最值求参数问题
1. （2021·高一课时练习）已知fx=tanωx0<ω<1在区间0,π3上的最大值为33，则ω=（ ）
A．12B．13C．23D．34
【答案】A
【分析】先求出0≤ωx≤ωπ3，再根据fxmax=tanωπ3=tanπ6=33解方程即可.
【详解】因为x∈0,π3，即0≤x≤π3，
又0<ω<1，所以0≤ωx≤ωπ3<π3，所以fxmax=tanωπ3=tanπ6=33，
所以ωπ3=π6，ω=12．
故选：A．
2．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一中学校校考期末）函数y=2tanx+a在π6,π4上的最大值为4，则实数a的值为 .
【答案】2
【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解.
【详解】函数y=2tanx+a在π6,π4上单调递增，
则当x=π4时，ymax=2tanπ4+a=2+a，
因此2+a=4，解得a=2，
所以实数a为2.
故答案为：2.
3．（2023下·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知函数fx=a−3tan2x在闭区间−π6,b上的最大值为7，最小值为3，则ab= .
【答案】π3/13π
【分析】分析fx在−π6,b的单调性，求出b的范围，根据最值建立等式，解出a,b即可.
【详解】解：取−π2<2x<π2，解得−π4所以y=tan2x在−π4,π4上单调递增，
即fx=a−3tan2x在−π4,π4上单调递减，
因为fx在闭区间−π6,b上有最大值为7，最小值为3，
所以−π6即a−3tan2b=3a−3tan−π3=7，解得a=4b=π12+kπ2,k∈Z，
因为−π6故答案为：π3
4．（2022上·广东茂名·高一统考期末）已知函数f(x)=2tan(ωx),ω>0，若f(x)在区间0,π3上的最大值是23，则ω= ；若fx在区间0,π3上单调递增，则ω的取值范围是 ．
【答案】 1 0<ω<32
【分析】根据定义域得0≤ωx≤ωπ3<π2，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解.
【详解】因为x∈0，π3，且在此区间上的最大值是23，所以0≤ωx≤ωπ3<π2．
因为f(x)max=2tanωπ3=23，所以 tanωπ3=3，ωπ3=π3，即ω=1．
由kπ−π2<ωx令k=0，得−π2ω又因为f(x)在区间0，π3上单调递增，所以π3<π2ω，即0<ω<32．
所以ω的取值范围是0<ω<32．
故答案为：1， 0<ω<32
1．（2024上·北京丰台·高一统考期末）若α，β都是第一象限角，则“sinα>sinβ”是“tanα>tanβ”成立的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设α1=α+2kπ,β1=β+2kπ，k∈Z且α1,β1∈0,π2，由y=sinx和y=tanx在0,π2上单调递增，可判断.
【详解】因为α，β都是第一象限角，
设α1=α+2kπ,β1=β+2kπ，k∈Z且α1,β1∈0,π2，
因为y=sinx和y=tanx在0,π2上单调递增，
当sinα>sinβ时，即sinα1>sinβ1，
所以α1>β1，则tanα1>tanβ1，
所以tanα>tanβ；
反之，当tanα>tanβ时，即tanα1>tanβ1，
所以α1>β1，则sinα1>sinβ1，即sinα>sinβ,
所以“sinα>sinβ”是“tanα>tanβ”成立的充分必要条件.
故选：C
2．（2023上·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）已知函数fx=tanωx−φω>0的最小正周期为π3，写出满足“将函数fx的图象向左平移π12个单位后为奇函数”的φ的一个值 ．
【答案】π4（答案不唯一）
【分析】先求得ω，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案.
【详解】函数fx=tanωx−φω>0的最小正周期为T=πω=π3,ω=3，
所以fx=tan3x−φ，向左平移π12个单位后，
得到y=tan3x+π12−φ=tan3x+π4−φ，
所得函数为奇函数，所以π4−φ=kπ2,φ=π4−kπ2,k∈Z，
故可取φ的一个值为π4.
故答案为：π4（答案不唯一）
3．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）已知函数fx=tanωx+φω>0,0<φ<π2图象上相邻两个对称中心的距离为32，且f1=−3，则函数y=fx的图象与函数y=1x−2（−5【答案】12
【分析】先已知求函数解析式，然后作图，利用对称性求解可得.
【详解】解：由已知得fx=tanωx+φ的最小正周期为3，即πω=3，∴ω=π3，
则fx=tanπ3x+φ．
又f1=−3，即tanπ3+φ=−3，π3+φ=2π3+kπ，k∈Z，
∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴fx=tanπ3x+π3，
又f2=tan2π3+π3=0，∴y=fx的图象关于点2,0中心对称，
作出y=fx和y=1x−2（−5可知两函数图象共有6个交点，且关于点2,0中心对称，
故这6个交点的横坐标之和为3×4=12．
故答案为：12