高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角优秀当堂达标检测题

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题型一 已知正弦值求角
1．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）已知sinx=−22,x∈0,2π，则x= .
【答案】5π4或7π4
【分析】根据任意角三角函数的定义分析求解.
【详解】因为sinx=−22,x∈0,2π，所以x=5π4或7π4.
故答案为：5π4或7π4.
2．（2022上·福建漳州·高一校考期中）已知θ∈(0,π2)，且sin(θ+π2)=12，则tanθ= ．
【答案】3
【分析】利用诱导公式变形，结合特殊角的三角函数值求出θ即可.
【详解】由sin(θ+π2)=12，得csθ=12，而θ∈(0,π2)，因此θ=π3，
所以tanθ=3.
故答案为：3
3．（2023下·上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）写出方程2sin3x=1在x∈π2,π内的解集 .
【答案】3π4,11π12
【分析】根据正弦函数图像性质即可求出结果.
【详解】∵2sin3x=1,∴sin3x=22，
∴3x=π4+2kπ，或3x=3π4+2kπ，
∴x=π12+2kπ3，或x=π4+2kπ3,
∵x∈π2,π,∴x∈3π4,11π12.
故答案为：3π4,11π12.
4．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）三角方程2sinπ2−x=1的解集为（ ）
A．xx=kπ+π3,k∈ZB．xx=2kπ±π3,k∈Z
C．xx=kπ±π3,k∈ZD．xx=kπ+-1kπ3,k∈Z
【答案】B
【分析】先把方程2sinπ2−x=1化为csx=12，再根据余弦函数的定义可求得.
【详解】因为2sinπ2−x=1，即2csx=1，
所以csx=12，解得x=π3+2kπ,k∈Z或x=−π3+2kπ,k∈Z
故三角方程2sinπ2−x=1的解集为xx=2kπ±π3,k∈Z.
故选：B
题型二 已知余弦值求角
1．（2023下·高一课时练习）使得等式2csx2=1成立的x的集合是（ ）
A．xx=4kπ+π3,k∈ZB．xx=4kπ+π6,k∈Z
C．xx=4kπ±2π3,k∈ZD．xx=2kπ+π6,k∈Z
【答案】C
【分析】利用三角函数的性质可得结果．
【详解】由题意csx2=12=csπ3，∴x2=2kπ±π3,k∈Z，∴x=4kπ±2π3,k∈Z.
故选：C．
2．（2024下·上海·高一假期作业）已知csx=12,0【答案】π3
【分析】直接由余弦函数单调性以及特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】由题意csπ3=12，且y=csx在0故答案为：π3.
3．（2023下·上海浦东新·高一校考期中）集合xcsπcsx=0,x∈0,π= ．
【答案】π3,2π3
【分析】由0≤x≤π求出πcsx的取值范围，然后解方程csπcsx=0，可得出x的值，即可得解.
【详解】当0≤x≤π时，−1≤csx≤1，则−π≤πcsx≤π，
由csπcsx=0，可得πcsx=±π2，所以，csx=±12，
因为0≤x≤π，则x=π3或2π3，因此，xcsπcsx=0,x∈0,π=π3,2π3.
故答案为：π3,2π3.
4. （2023下·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）方程2csπ2−x=1，x∈π2,π的解为 ．
【答案】x=3π4
【分析】根据给定条件，利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求解作答.
【详解】依题意，cs(x−π2)=22，而x∈(π2,π)，即x−π2∈(0,π2)，因此x−π2=π4，解得x=3π4，
所以所求方程的解为x=3π4.
故答案为：x=3π4
题型三 已知正切值求角
1．（2023上·江西吉安·高一宁冈中学校考期末）“tanx=1”是“x=π4”成立的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】tanx=1推不出x=π4，例如x还可以取5π4，
由x=π4可以推出tanx=1，
所以“tanx=1”是“x=π4”成立的必要条件．
故选：B．
2．（2023下·高一课时练习）若tanx=−3,0A．π3或2π3B．2π3或4π3C．4π3或5π3D．2π3或5π3
【答案】D
【分析】利用诱导公式及三角函数的性质求解.
【详解】∵tanπ−π3=−tanπ3=−3，
∴tanx=−3=tan2π3，
∴x=2π3+kπ,k∈Z，
∵0∴k=0,1，
∴x=2π3或5π3.
故选：D.
3. （2023下·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）“tanθ−π4−1=0”是“θ=π2”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先根据tanθ−π4−1=0得到θ=π2+kπ,k∈Z，即可得到答案.
【详解】由tanθ−π4−1=0，可得θ−π4=π4+kπ,k∈Z，即θ=π2+kπ,k∈Z．
故“tanθ−π4−1=0”是“θ=π2的必要不充分条件．
故选：A
4．（2024下·上海·高一假期作业）若tanα=33，且α∈π2,3π2，则α=
【答案】7π6
【分析】根据特殊角的三角函数值以及正切函数的周期性即可求解.
【详解】因为tanα=33,所以α=π6+kπ,k∈Z,
由于α∈π2,3π2，所以取k=1，得α=7π6，
故答案为：7π6
题型四 利用单位圆中的三角函数线解不等式
1．（2021上·高一课时练习）若α∈0,π2，且sinα＜32，csα＞12，利用三角函数线，得到α的取值范围是 .
【答案】0,π3
【分析】根据单位圆及三角函数线直接求解即可.
【详解】如图所示单位圆，由于sinπ3=32，csπ3=12，若π3终边为OA（不可取），
所以满足α∈0,π2，且sinα=CBOD=12，
所以α的取值范围是0,π3.

故答案为：0,π3
2．（2022下·全国·高一专题练习）利用三角函数线，sinx≤12的解集为 ．
【答案】{x2kπ+5π6≤x≤2kπ+13π6}(k∈Z)
【分析】如图，当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过12，根据sinx=12求出∠M2OP1、∠M2OP2即可.
【详解】如图，作出满足sinx=12的角的正弦线M1P1和M2P2，∠M2OP1=5π6,∠M2OP2=π6．
当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过12，
因此，满足sinx≤12的解集为{x2kπ+5π6≤x≤2kπ+13π6}(k∈Z)，
故答案为：{x2kπ+5π6≤x≤2kπ+13π6}(k∈Z).
3．（2023下·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：
(1)sinx>−12且cs>12；
(2)tanx≥−1．
【答案】(1)x|−π6+2kπ(2)x|−π4+nπ≤x<π2+nπ,n∈Z
【分析】（1）根据sinx>−12且cs>12作出正弦线为−12和余弦线为12的图象，取其交集即可求得结果；
（2）根据正切线定义作出图象，即可得出解集.
【详解】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：

由图（1）知当sinx>−12且csx>12时，
角x满足的集合x|−π6+2kπ（2）由图（2）知：当tanx≥−1时，
角x满足的集合x|−π4+2kπ≤x<π2+2kπ,k∈Z∪x|3π4+2kπ≤x<3π2+2kπ,k∈Z，
即x|−π4+nπ≤x<π2+nπ,n∈Z；
所以tanx≥−1的解集为x|−π4+nπ≤x<π2+nπ,n∈Z.
4．（2020·高一课时练习）利用三角函数线,确定满足不等式−12≤csθ<32的θ取值范围.
【答案】2kπ−2π3≤θ<2kπ−π6,k∈Z或2kπ+π6<θ≤2kπ+2π3,k∈Z.
【分析】分别过点(32,0)和(−12,0)作x轴垂线交单位圆于P3,P4,P1,P2四点，得余弦值为−12和32的角终边与单位圆的交点，观察余弦线可得角的取值范围．
【详解】解:作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作直线x=−12,x=32,直线x=−12与单位圆交于点P1,P2与x轴交于点M,直线x=32与单位圆交于点P3,P4,与x轴交于点M2,连接OP1,OP2,OP3,OP4.在−π,π范围内,cs2π3=cs−2π3=−12,csπ6=cs−π6=32,则点P1,P2,P3,P4分别在角2π3,−2π3,π6,−π6的终边上.又−12≤csθ<32,结合图形可知,当θ∈−π,π时,−2π3≤θ<−π6或π6<θ≤2π3,故θ的取值范围为2kπ−2π3≤θ<2kπ−π6,k∈Z或2kπ+π6<θ≤2kπ+2π3,k∈Z.
【点睛】本题考查用三角函数线解三角不等式，可以根据图形写出一个周期内的解集，然后再加上周期．
1．（2023下·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知函数f(x)=2sin(2x+π3)−1的图象在区间[a，b]上与x轴有2024个交点，则b−a的最小值是（ ）
A．B．3035π3C．1011πD．1012π
【答案】A
【分析】求出方程f(x)=0的根，再找到b−a取最小值时的零点,求得结果即可.
【详解】由f(x)=2sin(2x+π3)−1=0得sin(2x+π3)=12，
解得2x+π3=π6+2kπ或2x+π3=5π6+2kπ,k∈Z，
所以x=−π12+kπ或x=π4+kπ,k∈Z，
令x1=−π12,x2=π4,x3=−π12+π=11π12,x4=π4+π=5π4,⋅⋅⋅,
x2023=−π12+1011π,x2024=π4+1011π,当b=x2023=−π12+1011π,a=x1=−π12时，
b−a取最小值，最小值为x2024−x1=π4+1011π−−π12=3034π3.
故选：A.
2．（2023下·广东江门·高一江门市第一中学校考阶段练习）函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图所示．若0A．2π3B．4π3C．8π3D．3π
【答案】C
【分析】根据给定的函数图象，求出函数f(x)的解析式，再求出x1+x2作答.
【详解】观察图象知，函数f(x)的周期T=43(11π6−π3)=2π，则ω=2πT=1，
又f(π3)=2，即有π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，而φ<π2，因此φ=π6，f(x)=2sin(x+π6)，
由f(x)=−1，即sin(x+π6)=−12，0解得x=π或x=5π3，而fx1=fx2=−1，0所以x1+x2=8π3.
故选：C
3．（2023下·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习）已知函数fx=6csωx−π6ω>0，若在区间0,2π3内恰好存在两个不同的x0，使得fx0=3，则ω的最小值为 ．
【答案】114
【分析】fx0=3时有csωx0−π6=12，依题意有5π3≤2ωπ3−π6<7π3，可求ω的最小值.
【详解】函数fx=6csωx−π6ω>0， 由fx0=6csωx0−π6=3，则csωx0−π6=12，
x0∈0,2π3时，ωx0−π6∈−π6,2ωπ3−π6，
依题意有5π3≤2ωπ3−π6<7π3，解得114≤ω<154，
所以ω的最小值为114.
故答案为：114