人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.2 向量数量积的运算律精品一课一练

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题型一 向量数量积运算律的应用
1．（多选）（2024高一下·江苏·专题练习）对任意向量a,b，下列关系式中恒成立的是（ ）
A．|a⋅b|≤|a||b|
B．|a−b|≤|a|−|b|
C．(a+b)2=|a+b|2
D．(a+b)⋅(a−b)=a2−b2
2．（22·23高一下·河北邢台·期末）已知a=1,b=2，a⋅b=32，则(a−b)⋅(a+2b)= .
3．（22·23高一下·福建泉州·期中）已知a=b=1，a与b的夹角为60°，则a−2b⋅a= .
4．（20·21高一下·内蒙古赤峰·期末）在△ABC中，满足BC=5，AB=12，AC=13，则AC⋅BC=（ ）
A．−25B．0C．25D．65
题型二 向量垂直的应用
1．（22·23高一下·山西朔州·阶段练习）已知a=2，b=2，a与b的夹角为45°，要使λb−a与a垂直，则λ的值为（ ）
A．2B．22C．22D．1
2．（2024高一下·全国·专题练习）已知a⊥b，a=2，b=3，且3a+2b与λa−b垂直，则λ= .
3．（23·24高一上·浙江宁波·期末）设e1，e2为两个单位向量，且e1,e2=2π3，若e1+λe2与3e1+4e2垂直，则λ= .
4．（20·21高一下·陕西咸阳·期中）已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3,AC=4，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为 .
题型三 向量的夹角
1．（22·23高一下·新疆喀什·期末）已知平面向量a，b满足a=−1,2，b=10，a−b=5，则a与b的夹角为（ ）
A．30∘B．45°C．60∘D．120∘
2．（2024高一·全国·专题练习）已知非零向量a,b满足2a=3b,b⊥2a−b，则向量a,b夹角的余弦值为 .
3. （2024高一下·全国·专题练习）已知向量a,b满足a=2,b=1,a⋅b=1，则向量a与a−b的夹角为 ．
4．（2024高一下·全国·专题练习）已知a=b=2,a+2b⋅a−b=−2，则a与b的夹角为 ．.
题型四 向量的模
1．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量a,b满足a=b=a+b=1，则2a+b=（ ）
A．3B．3C．7D．7
2．（22·23高一下·江西景德镇·期末）已知向量a，b满足a+b=2，a−b=2a+b，则b= ．
3．（多选）（22·23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知单位向量a，b满足a−b=3a+b，则（ ）
A．a⋅b=−12B．a⋅b=12
C．a+2b=3D．a+2b=2
4．（21·22高一下·北京·期中）已知向量 a 和 b，则 a=2,b=2, 〈a,b〉=60° 求：
(1)a⋅b 的值；
(2)2a+b 的值；
(3)2a+b 与 b 的夹角θ的余弦值．
题型五 向量判断多边形的形状
1．（21·22高一上·云南大理·期末）在△ABC中，若BC⋅CA+BC2=0，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
2．（22·23高一下·山东菏泽·阶段练习）在△ABC中，AB⋅CB>0，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定
3．（22·23高一下·贵州黔西·阶段练习）若O是△ABC所在平面内一点，且满足OB−OC=OB+OC−2OA，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
4．（22·23高一下·上海浦东新·阶段练习）在△ABC中，若(CA+CB)⋅(CA−CB)=0，则△ABC的形状是 .
题型六 向量与锐角、钝角问题
1．（22·23高一下·北京东城·期末）设a,b为非零向量，a=b，则“a,b夹角为钝角”是“a+b＜2a”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（22·23高一下·全国·课时练习）已知向量a，b的夹角为120°，且a=1，b=2，当向量a+λb与λa+b的夹角为钝角时，实数λ的取值范围为 .
3．（22·23高一下·重庆·阶段练习）已知a,b是互相垂直的两个单位向量，若向量a+b与向量λa−b的夹角是钝角，请写出一个符合题意的λ的值： ．
4．（22·23高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量a,b满足a=1,b=2．
(1)若2a−b⋅a+b=−3，求a,b的夹角θ；
(2)若a,b的夹角为60°，向量ta+b与2a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
题型七 取值范围与最值问题
1．（21·22高一下·江苏苏州·期中）设点P是△ABC的中线AM上一个动点，PA⋅PB+PC的最小值是−32，则中线AM的长是 .
2．（21·22高一·湖南·课时练习）已知a→是平面内的单位向量，若向量b→满足b→⋅(a→−b→)=0，则b→的最小值为 ，最大值为 .
3．（20·21高一下·全国·课时练习）向量a，b满足a＝6，b＝10，则a+b的最大值是 ，最小值是 ．
4．（22·23高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，点E为中线BD上的动点，点F为BC的中点，则FC⋅FE的取值范围为（ ）
A．−4,12B．−4,2C．−2,12D．−2,1
1．（22·23高一下·陕西咸阳·阶段练习）设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=asinθ−bcsθ，已知a=2，b=a+b=1，则a⊕b=（ ）
A．22B．2C．32D．3
2．（23·24高一上·北京延庆·期末）已知等边△ABC的边长为6，D在AC上且AD=2DC，E为线段AB上的动点，求AE+BD的取值范围（ ）
A．23,4B．23,27
C．4,27D．4,6
3．（多选）（2024高一下·江苏·专题练习）若a，b，c均为单位向量，且a⋅b=0，a−c⋅b−c≤0，则a+b−c的值可能为（ ）
A．2－1B．1
C．2D．2