高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算优秀精练
展开题型一 向量的坐标与基底
1.(2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习)下列向量组中,能作为基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,−2)B.e1=(−1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,−3),e2=(12,−34)
【答案】B
【分析】能作基底的两个向量不共线,判断各选项中的两个向量是否共线即可得解.
【详解】对于A,因e1=0,则有e1//e2,e1与e2不能作为基底;
对于B,因e1=(−1,2),e2=(5,7),−1⋅7−2⋅5≠0,则有e1与e2不共线,e1与e2可作基底;
对于C,因e1=(3,5),e2=(6,10),则有e2=2e1,e1与e2不能作为基底;
对于D,因e1=(2,−3),e2=(12,−34),则有e1=4e2,e1与e2不能作为基底.
故选:B
2.(多选)(2022春·河北邯郸·高一校联考期中)下列两个向量,不能作为平面中一组基底的是( )
A.e1=1,2,e2=4,−2B.e1=1,2,e2=0,0
C.e1=1,2,e2=2,4D.e1=1,2,e2=2,1
【答案】BC
【分析】判断两向量是否平行,如平行则不可以作为基底;
【详解】解:A,D选项,e1,e2不平行,可以作为基底;
B选项,零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作为基底;
C选项,2e1=e2,所以e1,e2平行,不能作为基底.
故选:BC.
3.在下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A.e1=0,0,e2=1,2B.e1=−1,2,e2=5,−2
C.e1=3,5,e2=6,10D.e1=2,−3,e2=−2,3
【答案】B
【分析】根据基底需为不共线的非零向量,由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A,e1=0,不可以作为基底,A错误;
对于B,e1与e2为不共线的非零向量,可以作为一组基底,B正确;
对于C,∵e1=12e2,∴e1,e2共线,不可以作为基底,C错误;
对于D,∵e1=−e2,∴e1,e2共线,不可以作为基底,D错误.
故选:B.
4.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A.e1=0,0,e2=1,−2
B.e1=5,7,e2=−1,2
C.e1=3,5,e2=6,10
D.e1=2,−3,e2=12,−34
【答案】B
【解析】A:零向量与任意向量都共线,故不可以作为它们所在平面内所有向量的基底;
B:(−1)×7−2×5≠0,所以e1=5,7与e2=−1,2不共线,所以可以表示它们所在平面内所有向量的基底;
C:3×10−5×6=0,所以e1=3,5与e2=6,10是共线的,故不可以作为它们所在平面内所有向量的基底;
D:2×(−34)−(−3)×12=0,所以e1=2,−3与e2=12,−34是共线的,故不可以作为它们所在平面内所有向量的基底;故选B.
题型二 用坐标表示向量
1.(20-21高一下·全国·课时练习)已知OA=(-2,1),OB=(0,2)且AC∥OB,BC⊥AB,则点C的坐标是( )
A.(2,6)B.(-2,-6)
C.(2,-6)D.(-2,6)
【答案】D
【分析】设C(x,y),由已知可得AC,BC,AB的坐标,利用向量的平行,垂直关系即得.
【详解】设C(x,y),则AC=(x+2,y−1),BC=(x,y−2),AB=(2,1)
∵AC∥OB ,∴2(x+2)=0.①
∵BC⊥AB,∴2x+y-2=0.②
由①②可得x=−2y=6 ∴C(-2,6).
故选:D
2.(20-21高一下·北京通州·期末)已知点A(1,1),点B(5,3),将向量AB绕点A逆时针旋转π2,得到向量AC,则点C坐标为 ;|BC|= .
【答案】 (−1,5) 210
【分析】由于向量AB绕点A逆时针旋转π2,得到向量AC,结合旋转后两个向量互相垂直,以及向量的模相等,可得点C坐标,再结合向量的模长公式,即可求解
【详解】解:设点C的坐标为(x,y),
因为点A(1,1),点B(5,3),所以AB=(4,2),AC=(x−1,y−1),
因为向量AB绕点A逆时针旋转π2,得到向量AC,
所以AB⋅AC=0,AB=AC,
所以4(x−1)+2(y−1)=0,且(x−1)2+(y−1)2=20,
解得x=3y=−3或x=−1y=5,
因为逆时针旋转,所以点C的坐标为(−1,5),
所以BC=(−6,2),
所以BC=(−6)2+22=210,
故答案为:(−1,5),210
3.(20-21高一·上海·假期作业)已知点M−6,−8,若将OM绕原点顺时针转π2得到OM',则点M'的坐标为 .
【答案】−8,6
【分析】设出M'的坐标,根据已知条件列方程组,解方程组求得M'的坐标.
【详解】设M'x,y,
则OM⋅OM'=0OM=OM',
即−6,−8⋅x,y=−6x−8y=0−62+−82=x2+y2,
y=−34xx2+y2=100,解得x=−8y=6或x=8y=−6,即−8,6或8,−6.
由于OM绕原点顺时针转π2得到OM',所以M'坐标为−8,6.
故答案为:−8,6
4.(2022·高一课时练习)已知三点A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若AB和CD是相反向量,则D点坐标是( )
A.(1,0)B.(-1,0)
C.(1,-1)D.(-1,1)
【答案】C
【分析】先由已知条件求出CD的坐标,再设D(x,y),表示出CD的坐标,从而可求出D点坐标
【详解】∵AB与CD是相反向量,∴AB=-CD.
又AB=(1,1),
∴CD=(-1,-1).
设D(x,y),则CD=(x-2,y)=(-1,-1).
从而x=1,y=-1,即D(1,-1).
故选:C.
题型三 平面向量坐标线性运算
1.(2021春·江苏徐州·高一统考阶段练习)在▱ABCD中,若AD=2,8,AB=−3,4,则AC=( )
A.−1,−12B.−1,12C.1,−12D.1,12
【答案】B
【分析】根据平行四边形法则及加法的坐标运算,可得结果.
【详解】根据平行四边形法则可知,AB+AD=AC,
又AD=2,8,AB=−3,4,
∴AC=−1,12,
故选:B.
2.(2022春·江苏徐州·高一统考期中)向量a ,b满足a+b=(−1 , 5),a−b=(5 , −3),则b=( )
A.(3 , 4)B.(−3 , 4)C.(3 ,− 4)D.(−3 ,− 4)
【答案】B
【分析】根据平面向量坐标运算法则计算可得;
【详解】解:因为a+b=−1,5,a−b=5,−3,所以a+b−a−b=−1,5−5,−3,
即2b=−6,8,所以b=−3,4;
故选:B
3. 已知OA、OB满足OA⋅OB=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设OC=mOA+nOBm,n∈R.若OAOB=12,则mn=( )
A.63B.4C.23D.14
【答案】C
【分析】由OA⋅OB=0知OA⊥OB,根据题意,作出图像,根据几何关系即可求解.
【详解】根据题意可作出如图所示的几何图形,
∵OA⋅OB=0,∴OA⊥OB.∵OC=mOA+nOB,故可分别作向量OC在OA,OB方向上的分向量EC,DC,其中EC=mOA,DC=nOB.∵点C在∠AOB内,且∠AOC=30∘,∴EC=3DC,即mOA=3nOB.又∣OA∣OB=12,∴m=23n,∴mn=23.故选:C.
4.已知向量a,b满足2a−b=0,3,a−2b=−3,0,λa+μb=−1,1,则λ+μ=( )
A.-1B.0C.1D.2
【答案】B
【分析】设出向量a,b的坐标,根据条件列出坐标方程,即可解出坐标,即可进一步列出含参数的坐标方程,从而解出参数
【详解】设a=x1,y1,b=x2,y2,所以2x1−x2=02y1−y2=3,且x1−2x2=−3y1−2y2=0,解得x1=1y1=2,x2=2y2=1,即a=1,2,b=2,1.所以λa+μb=λ1,2+μ2,1=λ+2μ,2λ+μ=−1,1,则λ+2μ=−12λ+μ=1,解得λ=1μ=−1,故λ+μ=0.
故选:B
题型四 平面向量坐标与数量积
1.(22-23高一·全国·随堂练习)已知向量a,b的坐标,求a⋅b.
(1)a=5,6,b=−5,3;
(2)a=−3,−2,b=−1,2.
【答案】(1)−7;
(2)−1.
【分析】(1)由数量积的坐标表示计算;
(2)由数量积的坐标表示计算.
【详解】(1)由已知a⋅b=5×(−5)+6×3=−7;
(2)由已知a⋅b=−3×(−1)+(−2)×2=−1.
2.(22-23高一下·河南许昌·期末)已知向量m,n满足m=(t,1),n=(−2,t),且m⋅n=−2,则t=( )
A.2B.1C.−1D.−2
【答案】A
【分析】由m⋅n=−2,利用数量积的坐标运算列方程求解
【详解】因为m=(t,1),n=(−2,t),且m⋅n=−2,
所以−2t+t=−2,解得t=2,
故选:A
3.(22-23高一下·广东阳江·期末)已知b=6,3,c=3,x,若b⋅c=30,则x等于( )
A.6B.5C.4D.3
【答案】C
【分析】由平面向量的坐标运算即可得出答案.
【详解】由题意,∵b=(6,3),c=3,x,b⋅c=30,
∴18+3x=30,解得:x=4.
故选:C.
4.(2024高一下·全国·专题练习)若向量a⃗=(x,2),b⃗==(−1,3),a⋅b=3,则x等于( )
A.3B.−3
C.53D.−53
【答案】A
【分析】根据向量数量积的坐标运算规则进行求解.
【详解】因为a⋅b=−x+6=3,
故x=3.
故选:A.
题型五 平面向量坐标与垂直
1.(23-24高一上·北京延庆·期末)向量a=2,1,b=1,x,若a⊥b,则( )
A.x=12B.x=−12C.x=2D.x=−2
【答案】D
【分析】根据垂直关系得到方程,求出答案.
【详解】由题意得a⋅b=2+x=0,解得x=−2.
故选:D
2.(22-23高一下·江苏盐城·开学考试)已知向量a=2,4,b=m,3,若a⊥b,则m=( )
A.-6B.−32C.32D.6
【答案】A
【分析】由向量垂直的坐标表示直接求解.
【详解】因为a⊥b,则a⋅b=0,即2m+12=0,解得m=−6.
故选:A
3.(22-23高一下·宁夏石嘴山·期末)已知平面向量AB=−1,k,AC=2,1,若△ABC是直角三角形,则k的取值是( )
A.2B.−2C.2或7D.2或5
【答案】C
【分析】先求出BC,再分别以A,B,C三个点为直角顶点分类讨论,结合向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】AB=−1,k,AC=2,1,则BC=AC−AB=3,1−k,
当A是直角顶点时:AB⋅AC=−1,k⋅2,1=−2+k=0,k=2;
当B是直角顶点时:AB⋅BC=−1,k⋅3,1−k=−3+k−k2=0,无解;
当C是直角顶点时:AC⋅BC=3,1−k⋅2,1=6+1−k=0,k=7;
综上所述:k=2或k=7.
故选:C.
4.(22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习)已知向量a=m,2,b=1,1,c=1,3,且2a−b⊥c,则实数m的值为 .
【答案】−4
【分析】借助向量垂直,则数量积为0计算即可得.
【详解】2a−b=2m−1,3,由2a−b⊥c,可得2a−b⋅c=0,
即有2m−1+9=0,解得m=−4.
故答案为:−4.
题型六 平面向量坐标与夹角
1.(22-23高一下·新疆喀什·期中)已知向量a=(−3,1),b=(2,−23),则a与b的夹角为 .
【答案】5π6
【分析】利用向量夹角的公式,代入计算,即可求解.
【详解】由题意设a→与b→的夹角为θ,θ∈0,π,
所以csθ=a→·b→a→b→=−432×4=−32,解得θ=5π6.
故答案为:5π6.
2.(22-23高一·全国·随堂练习)已知a=2,23−4,b=1,1,求a与b的夹角.
【答案】π3
【分析】运用向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式,以及向量夹角的公式,计算即可得到所求值.
【详解】因为a=2,23−4,b=1,1,
所以a=4+23−42=42−3,b=2,
a⋅b=2+23−4=23−1,
所以csa,b=a⋅ba⋅b=23−142−3×2=4−2322×2−3=12,
由于0≤a,b≤π,则有a与b的夹角为π3.
3.(多选)(22-23高一下·辽宁铁岭·期中)已知向量a与向量b满足如下条件,其中a与b的夹角是π3的有( )
A.a=1,b=6,a⋅b−a=2B.a=b=1,a2+a⋅b=32
C.a=3,−1,b=23,2D.a=2,23,b=−3,0
【答案】ABC
【分析】根据向量数量积运算律和向量夹角公式可判断出AB正误;由向量夹角的坐标运算可求得CD正误.
【详解】对于A,∵a⋅b−a=a⋅b−a2=a⋅b−1=2,∴a⋅b=3,
∴csa,b=a⋅ba⋅b=31×6=12,又a,b∈0,π,∴a,b=π3,A正确;
对于B,∵a2+a⋅b=1+a⋅b=32,∴a⋅b=12,
∴csa,b=a⋅ba⋅b=12,又a,b∈0,π,∴a,b=π3,B正确;
对于C,∵csa,b=a⋅ba⋅b=6−22×4=12,a,b∈0,π,∴a,b=π3,C正确;
对于D,∵csa,b=a⋅ba⋅b=−6+04×3=−12,a,b∈0,π,∴a,b=2π3,D错误.
故选:ABC
4.(22-23高一下·河北邢台·阶段练习)已知点A−2,3,B−1,1,向量a=2,7,b=5,7,则AB与a−b的夹角的余弦值为( )
A.−55B.−255C.55D.255
【答案】A
【分析】根据向量运算法则以及夹角公式直接计算即可.
【详解】因为点A−2,3,B−1,1,向量a=2,7,b=5,7,
所以AB=1,−2,a−b=−3,0,
所以AB与a−b的夹角的余弦值csAB,a−b=AB⋅a−bAB⋅a−b=−35×3=−55.
故选:A
题型七 平面向量坐标与模长
1.(2024高一下·全国·专题练习)已知向量a=1,3,b=3,1,则a+3b= .
【答案】27
【分析】根据向量的坐标运算,求得a+3b=4,23,结合模的坐标运算,即可求解.
【详解】由向量a=1,3,b=3,1,所以a+3b=1,3+33,1=4,23,
所以a+3b=42+232=27.
故答案为:27.
2.(23-24高一上·北京顺义·期中)已知向量OC=2,2,CA=1,2,则向量OA的模为 .
【答案】5
【分析】根据条件,利用向量的坐标运算,得到OA=(3,4),再根据模长的定义即可求出结果.
【详解】因为OC=2,2,CA=1,2,又OA=OC+CA=(3,4),
所以,OA=32+42=5,
故答案为:5.
3.(2024高一下·全国·专题练习)设向量a=(m,1),b=(1,2),且a+b2=a2+b2,则m= ,a+b= .
【答案】 −2 10
【分析】由a+b2=a2+b2,化简得到a⋅b=0,列出方程求得m,再由向量模的坐标运算公式,即可求解.
【详解】由向量a=(m,1),b=(1,2)且a+b2=a2+b2,
可得a2+b2+2a⋅b=a2+b2,所以a⋅b=0,
则m×1+1×2=0,解得m=−2,所以a=(−2,1),
所以a+b=(−1,3),则a+b=(−1)2+32=10.
故答案为:−2;10.
4.(22-23高一下·湖南株洲·期中)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=1,b=(3,1).
(1)求|b|及a⋅b;
(2)求|a−2b|.
【答案】(1)|b|=2,a⋅b=1;
(2)|a−2b|=13.
【分析】(1)利用模长坐标公式求|b|,再由数量积的定义求a⋅b;
(2)应用向量数量积的运算律求|a−2b|即可.
【详解】(1)由题设|b|=(3)2+1=2,则a⋅b=a⋅bcsθ=1×2cs60°=1.
(2)由|a−2b|2=(a−2b)2=a2−4a⋅b+4b2 =12−4×1×2×cs60°+4×22=13,
所以|a→−2b→|=13.
题型八 投影向量
1.(22-23高一下·河北石家庄·阶段练习)已知向量a=−1,3,a⋅b=−6,c=2b−a,则向量c在a上的投影向量的模等于( )
A.8B.7C.6D.5
【答案】A
【分析】先求出a,c⋅a,再根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为a=−1,3,所以a=−12+32=2,
所以c⋅a=2b−a⋅a=2b⋅a−a2=2×−6−22=−16,
所以向量c在a上的投影向量的模为c⋅aa=−162=8.
故选:A.
2.(多选)(2023高一·全国·专题练习)已知向量a=2,1,b=−3,1,则( )
A.与向量a方向相同的单位向量是255,55
B.a+b⊥a
C.向量a在向量b上的投影向量是−102a
D.a+2b=5
【答案】ABD
【分析】利用模长可求与向量a共线且同方向的单位向量,从而可判断A的正误;利用向量垂直的坐标形式可判断B的正误,利用向量的模长公式和投影数量的公式可判断CD的正误.
【详解】对于A,∵向量a=2,1,b=−3,1,
∴与向量a共线且方向相同单位向量为aa=2,122+12=255,55,故A正确;
对于B,因为a=2,1,b=−3,1,故a+b=−1,2,所以
a+b⋅a=−1×2+2=0,故a+b⊥a成立,故B正确
对于C,向量a在向量b上的投影向量是
aa⋅bab⋅bb=2×−3+1×110⋅b=−12b,故C错误;
对于D,a+2b=2,1+2−3,1=−4,3,故a+2b=−42+32=5,故D正确.
故选:ABD.
3.(22-23高一下·河北邯郸·期中)已知向量a=−3,3,b=1,且a,b的夹角为π6,则b在a上的投影向量的坐标为 ,a−b=
【答案】 −34,34 7
【分析】直接利用投影向量的公式和向量的模的公式,即可求得本题答案;
【详解】因为a=−3,3,所以a=(−3)2+32=23,
所以,b在a上的投影向量的坐标=b⋅csπ6⋅aa=1×32×(−3,3)23=−34,34,
所以,a−b=(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=(23)2−2×23×1×32+1=7.
故答案为:−34,34;7
4.(22-23高一下·新疆阿克苏·阶段练习)已知平面向量a,b,c,且a=2,1,
(1)若a⊥c,且c=5,求向量c的坐标;
(2)若b=1,1,求a在b方向的投影向量(用坐标表示).
【答案】(1)(5,−25)或(−5,25)
(2)32,32
【分析】(1)设c→=(x,y),利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解;
(2)利用平面向量数量积的坐标表示求解a在b方向的投影向量即可.
【详解】(1)设c→=(x,y),
因为a⊥c,且c=5,
所以2x+y=0x2+y2=25,解得x=5y=−25或x=−5y=25,
所以c→=(5,−25)或c→=(−5,25).
(2)a在b方向的投影向量为a→⋅b→|b→|⋅b→|b→|=(2×1+1×1)(1,1)(12+12)2=32,32.
题型九 平面向量坐标与锐角、钝角问题
1.(22-23高一上·江苏盐城·阶段练习)已知向量a=(2,k),b=(−1,3),若a,b的夹角θ是锐角,则实数k的取值范围为 .
【答案】(23,+∞)
【分析】根据向量的夹角公式可知:a⋅b>0且a与b不同向共线,再结合a与b的坐标表示可以发现a与b不可能同向共线,解不等式即可求解.
【详解】因为向量a=(2,k),b=(−1,3),且a,b的夹角θ是锐角,
由向量的夹角公式可知:a⋅b>0且a与b不同向共线,
由a⋅b>0可得:−2+3k>0,解得:k>23,
由向量a=(2,k),b=(−1,3)可知:a与b不可能同向共线,
综上可知:k>23,
故答案为:(23,+∞).
2.(21-22高一下·山东泰安·期中)设向量a=1,−x,b=x,−4,若向量a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是
【答案】−∞,−2∪−2,0
【分析】向量a与b的夹角为钝角,故两向量的数量积小于0,且两向量不能共线,利用坐标法即可求解.
【详解】由于a=1,−x,b=x,−4,向量a与b的夹角为钝角,
所以a⋅b<0,且a与b不共线,故x+4x<0−4+x2≠0,
解得:x<0, x≠−2.
故答案为:(−∞,−2)∪(2,0).
3.(20-21高一下·黑龙江绥化·期末)已知向量a=1,2,b=1,1,且a与λa+b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 .
【答案】λ<−35
【分析】求出λa+b的坐标后利用数量积为负可求实数λ的取值范围,注意排除共线反向的情况.
【详解】λa+b=λ+1,2λ+1,
因为a与λa+b的夹角为钝角,故1×λ+1+22λ+1<01×2λ+1≠2×λ+1,故λ<−35.
故答案为:λ<−35.
4.(2023秋·浙江·浙江省永康市第一中学校联考期末)已知向量a=−1,0,b=x,1−x,则x>0是向量a,b夹角为钝角的( )
A.充要条件B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件D.充分不必要条件
【答案】C
【分析】若向量a,b夹角为钝角,则满足a⋅b<0a≠λbb≠0,求出x的范围,然后验证充分性与必要性.
【详解】∵b=x,1−x,∴b≠0
又因为向量a,b夹角为钝角
所以满足a⋅b<0a≠λbb≠0⇒−x<00⋅x≠−1×1−x
所以x>0且x≠1
因为x>0推不出x>0且x≠1,所以充分性不成立
又因为x>0且x≠1能推出x>0,所以必要性成立
所以x>0是向量a,b夹角为钝角的必要不充分条件
故选:C
题型十 平面向量坐标判断共线问题
1.(多选)(22-23高一下·全国·单元测试)已知a=2,3,则下列向量中与a平行或垂直的是( )
A.0B.b=(−2,−3)C.c=(3,−2)D.d=(3,2)
【答案】ABC
【分析】利用向量平行或垂直的坐标表示即可判断.
【详解】对A选项,因为零向量的方向是任意的,所以零向量既与a平行,也与a垂直,故A正确;
对B选项,因为2×−3=3×−2,故该向量与a平行,故B正确;
对C选项,因为a⋅c=2×3−3×2=0,故a⊥c,故C正确;
对D选项,因为2×2≠3×3,且a⋅d=2×3+3×2=12≠0,故d与a既不平行也不垂直,故D不正确.
故选:ABC.
2.(19-20高一下·四川宜宾·期末)已知向量a=(−3,2),b=(2,3),则a与b( )
A.平行且同向B.垂直C.平行且反向D.不垂直也不平行
【答案】B
【分析】通过计算a⋅b=0判断出a,b的关系.
【详解】由于a⋅b=−3,2⋅2,3=−6+6=0,所以a与b垂直.
故选:B
【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示,属于基础题.
3.(21-22高一下·重庆沙坪坝·期中)已知向量a=(2,−1),则与a平行的单位向量的坐标为( )
A.(−255,55)B.(−255,55)或(255,−55)
C.(55,−255)D.(55,−255)或(−55,255)
【答案】B
【分析】先求向量的模,再利用平行向量进行求解.
【详解】因为a=(2,−1),所以|a|=4+1=5,
所以与a平行的单位向量为a|a| 或a|a|,
即55a或−55a,即(255,−55)或(−255,55).
故选:B.
4.(19-20高一上·江苏南通·期末)已知点A1,2,B3,4,则与AB共线的单位向量为( )
A.22,22B.−22,−22
C.22,22或−22,−22D.2,2
【答案】C
【解析】由题意写出AB=2,2.可设与AB共线的单位向量e=m,m,由e=1,即可求解.
【详解】由题意AB=2,2
设与AB共线的单位向量e=m,m,
又∵e=1
∴m2+m2=1
解得m2=12,m=±22
故e=22,22或e=−22,−22
故选:C
【点睛】本题考查向量共线的坐标运算,属于基础题.
题型十一 向量共线求参数问题
1.(22-23高一下·全国·单元测试)已知a=1,1,b=0,−2,当k为何值时:
(1)ka−b与a+b共线;
(2)ka−b与a+b的夹角为120°.
【答案】(1)k=−1
(2)k=−1±3
【分析】(1)根据向量加减法坐标运算公式得到ka−b=k,k+2,a+b=1,−1,结合向量共线的坐标公式计算即可;
(2)根据题意表示出两个向量的数量积和模,再用夹角公式计算即可.
【详解】(1)因为a=1,1,b=0,−2,
所以ka−b=k,k−0,−2=k,k+2,
a+b=1,1+0,−2=1,−1
因为ka−b与a+b共线,
所以k+2−−k=0,
解得k=−1.
(2)因为ka−b=k,k+2,a+b=1,−1,
所以ka−b=k2+k+22,a+b=2,
ka−b⋅a+b=k−k+2=−2,
因为ka−b与a+b的夹角为120°,
所以cs120°=ka−b⋅a+bka−ba+b=−22⋅k2+k+22=−12.
化简得k2+2k−2=0,
解得k=−1±3.
2.(多选)(20-21高一上·辽宁辽阳·期末)若向量a=(λ,−1)与b=(3,1)共线,则( )
A.λ=−3B.|a−b|=2C.λ=3D.|a−b|=210
【答案】AD
【分析】由向量共线可得λ=−3,进而得a−b=(−6,−2),从而可得模长.
【详解】因为a//b,所以λ×1=−1×3,即λ=−3.
因为a−b=(−6,−2),所以|a−b|=36+4=210.
故选:AD.
3.(2021春·江苏徐州·高一统考阶段练习)已知向量AB=(−2,1−x),BC=(x,1),若A,B,C三点共线,则实数x=( )
A.2B.-1C.2或-1D.-2或1
【答案】C
【解析】由向量共线的坐标运算求得x.
【详解】∵A,B,C三点共线,∴AB,BC共线,∴−2=x(1−x),解得x=2或x=−1.
故选:C.
【点睛】本题考查向量共线的坐标运算,属于简单题.
4.(21-22高一下·辽宁沈阳·期末)已知向量OA=0,−6,OB=8,0,OC=x,y.
(1)若点A,B,C三点共线,求实数x,y满足的关系;
(2)若x=1且∠ACB为钝角,求实数y的取值范围.
【答案】(1)3x−4y−24=0;
(2)−7
(2)根据∠ACB为钝角,可得CA⋅CB<0且CA,CB不共线,利用坐标表示可得结果.
【详解】(1)因为A,B,C三点共线,即CA∥CB,
CA=−x,−6−y,CB=8−x,−y,所以xy−−6−y8−x=0,
即3x−4y−24=0;
(2)因为∠ACB为钝角,所以CA⋅CB<0且CA,CB不共线,
由(1)得:当x=1,且CA∥CB时,y=−214,
因为CA,CB不共线,所以y≠−214,
CA=−1,−6−y,CB=7,−y,
CA⋅CB=−7+6y+y2<0,
解得:−7
1.(18-19高一下·黑龙江大庆·期末)边长为1的正方形ABCD上有一动点P,则向量AB⋅AP的范围是( )
A.[0,1]B.[0,2]C.[1,2]D.{1}
【答案】A
【分析】分类,按P在正方形的四条边上分别求解.
【详解】如图,分别以AB,AD为x,y建立平面直角坐标系,A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设P(x,y),AB=(1,0),AP=(x,y),∴AB⋅AP=x,
当P在边AB或CD上时,0≤x≤1,所以0≤AB⋅AP≤1,
当P在边BC上时,x=1,AB⋅AP=1,
当P在边AD上时,x=0,AB⋅AP=0,
∴AB⋅AP的取值范围是[0,1].
故选:A.
【点睛】本题考查平面向量的数量积,通过建立坐标系,把向量和数量积用坐标表示,使问题简单化.
2.(20-21高一下·河北张家口·期末)在△ABC中,AC=1,BC=2,∠ACB=60°,点P是线段BC上一动点,则PA⋅PC的最小值是 .
【答案】−116
【分析】建立如图所示的直角坐标系,根据题意求得各点坐标,利用向量的坐标运算求得数量积,再结合二次函数求最值即可得解.
【详解】
在△ABC中,由余弦定理得AB=3,所以△ABC是直角三角形,
以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
设点P坐标为(a,b),B(3,0),C(0,1),
PA=(−a,−b),PC=(−a,1−b),
直线BC对应一次函数为y=1−33x,
所以b=1−33a,a=3(1−b),
PA⋅PC=a2−b(1−b)=a2−b+b2=[3(1−b)]2−b+b2=4b2−7b+3,
b∈[0,1],对称轴b=78∈[0,1],当b=78时,
PA⋅PC取得最小值−116.
故答案为:−116
3.(20-21高一下·四川德阳·期末)已知点P在以坐标原点O为圆心的单位圆上,点A的坐标为(2,0),则OA·OP的取值范围为 .
【答案】−2,2
【分析】设Px,y,易得OA=2,0,OP=x,y,则OA·OP=2x,根据x的取值范围即可求解.
【详解】设Px,y,∴OA=2,0,OP=x,y,
∴OA·OP=2x,
∵P在以原点为圆心的单位圆上,
∴−1≤x≤1,
∴−2≤2x≤2.
故答案为:−2,2.
4.(21-22高一上·辽宁锦州·期末)平面直角坐标系中A(1,1),B(0,−1),O为坐标原点.
(1)令a=OA,b=OB,若向量|ta+b|=5,求实数t的值;
(2)若点C(x,x+3),求OC−OA2的最小值.
【答案】(1)t=2或t=−1
(2)5
【分析】(1)利用向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标运算,求实数t的值;
(2)利用向量模的坐标运算和函数的单调性,求OC−OA2的最小值.
【详解】(1)a=OA=(1,1),b=OB=(0,−1),
所以ta+b=t1,1+0,−1=t,t−1,
由ta→+b→=5得t2+(t−1)2=5,
解得:t=2或t=−1.
(2)因为OC−OA=AC=(x−1,x+2),
所以OC−OA2=|AC|2=(x−1)2+(x+2)2=2x+2x+5,
因为x≥0,y=2x+5,y=2x均为单调递增函数,
所以当x=0时,(2x+2x+5)min=5,
即OC−OA2的最小值为5.
1.(多选)(23-24高一下·山东滨州·开学考试)在平面直角坐标系中,设OA=a,OB=b,OC=c,且a为单位向量,满足a⋅b=2,a⋅c=12,则下列结论正确的有( )
A.a=1B.c2=a−c2
C.若向量b−a与c−a垂直,则b−2a+c≥2D.向量b−a与a的夹角正切值最大为24
【答案】AB
【分析】对于A,根据a为单位向量即可判定;对于B,等式右边展开后,结合题中条件即可判定;对于C,设a=1,0,b=m,n,c=s,t,根据题中条件可得nt=12,再利用坐标求模公式,结合重要不等式,即可判定;对于D,利用坐标运算求得夹角的余弦值,继而求得正切值,结合条件即可判定.
【详解】对于A,因为a为单位向量,所以a=1,故A正确;
对于B,因为a为单位向量,a⋅b=2,a⋅c=12,
所以a−c2=a2−2a⋅c+c2=1−2×12+c2=c2,
故B正确;
对于C,设a=1,0,b=m,n,c=s,t,
则a⋅b=1×m+0×n=m=2,则b=2,n,
a⋅c=1×s+0×t=s=12,则c=12,t,
又b−a=1,n,c−a=−12,t,
则由向量b−a与c−a垂直知,
1,n⋅−12,t=−12+nt=0,则nt=12,
b−2a+c=12,n+t=n+t2+14
=n2+t2+2nt+14≥4nt+14=2+14=32,
故C错误;
对于D,b−a=1,n,设向量b−a与a的夹角为θ,
则csθ=b−a⋅ab−aa=1n2+1>0,
则sinθ=nn2+1,
则tanθ=n,无最大值,故D错误;
故选:AB.
2.(23-24高一上·北京延庆·期末)已知函数①fx=lg2x ②fx=x13. 从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.
(1)求f278−f27的解:
(2)在x轴上取两点A1,0和B8,0,设线段AB的中点为C,过点A,B,C分别作x轴的垂线,与函数fx的图象交于A₁,B₁,C₁,线段 A₁B₁中点为M.
(i)求 |A1B1|;
(ii)判断 |CM→|与|CC1→|的大小.并说明理由.
【答案】(1)选择函数1 −3;选择函数2 −32;
(2)(i)选择函数1 58;选择函数2 52;(ii)|CM→|<|CC1→|,理由见解析
【分析】(1)根据解析式代入运算求解;
(2)根据题意,求出A1,B1,C1,M的坐标,根据向量模的坐标公式运算判断.
【详解】(1)选择①,f278−f27=lg2278−lg227=lg227−lg28−lg227=−3lg22=−3.
选择②,f278−f27=27813−2713=32313−3313=32−3=−32.
(2)选择①,线段AB的中点为C为92,0,A1,B1,C1分别为1,0,8,3,92,lg292,线段A1B1中点M 为 92,32,
iA1B1=7,3,A1B1=72+32=58;
iiCM=32=32lg22=lg2232=lg222,CC1=lg292.
∵222=8,922=814, 所以22<92,
所以lg222
线段A1B1中点M 为92,32,
iA1B1=7,1,A1B1=72+12=52;
iiCM=32,CC1=392,又 323=278,3923=92=368,
所以32<392 即CM
(1)求∠EMF的余弦值.
(2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到A点,在这个过程中,是否存在这样的点P,使得EF⊥MP?若存在,求出MP的长度,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)210
(2)存在P(227,0),|MP|=2713或者P(0,337),|MP|=9713
【分析】(1)建立平面直角坐标系,运用向量法求解夹角即可.
(2)分类讨论点P的位置,依据条件求解即可.
【详解】(1)
如图所示,建立以点A为原点的平面直角坐标系.
则D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2),∴DE=(3,−6),AF=(6,2).
由于∠EMF就是DE,AF的夹角.
∴cs∠EMF=18−129+36⋅36+4=210.
∴∠EMF的余弦值为210.
(2)设M(x,y),∴DM=(x,y−6),∵DM∥DE,∴3(y−6)+6x=0,∴2x+y−6=0.
∵AM=(x,y),AF=(6,2),AM∥AF,∴2x−6y=0,∴x=3y,∴7y=6,∴y=67.
∴x=187,∴M(187,67).由题得EF=(3,2).
①当点P在AB上时,设P(x,0),(0≤x≤6),∴MP=(x−187,−67),
∴3x−547−127=0,∴x=227,∴P(227,0),∴|MP|=(47)2+(67)2=2713;
②当点P在BC上时,设P(6,y),(0
③当点P在CD上时,设P(x,6),(0≤x<6),∴MP=(x−187,367),
∴3x−547+727=0,∴x=−67,舍去;
④当点P在DA上时,设P(0,y),(0
综上,存在P(227,0),|MP|=2713或者P(0,337),|MP|=9713.
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