河北省保定市安国中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份河北省保定市安国中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共20页。试卷主要包含了测试范围，关于空间向量，以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册空间向量与立体几何。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点关于平面和轴对称的点分别为，则（ ）
A．B．C．1D．9
2．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
4．设，向量，，，且，，则（ ）．
A．B．C．5D．6
5．在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为平行四边形外的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量为
C．与夹角的余弦值为D．平面的一个法向量为
7．是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B．若空间中任意一点O，有，则四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，，则在上的投影向量为
10．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（ ）
A．B．直线与所成角的余弦值为
C． 平面D．直线与平面所成角为
11．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（ ）
A．当P为底面的中心时，
B．当时，长度的最小值为
C．当时，长度的最大值为6
D．当时，为定值
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为 ．
13．已知向量，，，则 .
14．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若，
(1)用表示；
(2)求；
16．（15分）已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点．
(1)求直线与平面所成的角的正切值；
(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离．
17．（15分）如图1，平面图形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，点是中点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
(1)当二面角为直二面角时，求点到平面的距离；
(2)在（1）的条件下，设点为线段上任意一点（不与，重合），求二面角的余弦值的取值范围．
18．（17分）如图，在平行六面体中，平面ABCD，，，
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
19．（17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；
(3)若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积.
参考答案与解析
1．C【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于轴对称的点为，则，所以，故选：C.
2．D【详解】在四面体中，不共面，
而则所以故选：D
3．C【详解】向量在向量上的投影向量
故选：C
4．D【详解】因为，，，
所以，所以，
因为，，，所以，所以，
所以，所以.故选：D.
5．A【详解】解：因为平面，，，
故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，，
则，，，，
所以，
设，，
，
距离，
因为，
故。所以异面直线与之间的距离，故选：A．
6．C【详解】，，，
所以与不共线，故A错误；
，的单位向量为，故B错误；
，故，故C正确；
设平面的法向量为n=x,y,z，则即
令，则，，则，故D错误．故选：C
7．B【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则A1,0,0，，设，，，，
，，
，
当时， 取得最小值，当或1，或1时，取得最大值0，所以的取值范围是.故选：B.
8．C【详解】在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面，
则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得：
，
因此外接圆半径，球的半径，
所以球O的表面积.故选：C
9．ABD【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确；
对于B：在中，由于，故四点共面，B正确；
对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：ABD．
10．ABD【详解】不妨设则.
对于A，因,
故
，故，故A正确；
对于B，因，,则，
，
设直线与所成角为，则故B正确；
对于C，因
，
即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误；
对于D，因，,
因，，
则有因平面，故平面，
即平面的法向量可取为，又，
设直线与平面所成角为，
因，，，
则，因，故，故D正确.故选：ABD.
11．BCD【详解】对于A，当为底面的中心时，由，则 故，故A错误；
对于B，当时，
当且仅当，取最小值为，故B正确;
对于C，当时，，则点在及内部，
而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分，
当时，，当时，，可得最大值为，故C正确；
对于D，， ，
而，所以
，则为定值，故D正确.
故答案选：BCD.
12．【详解】由题可得，，
平面ABC，
，，，.
故答案为：.
13．【详解】向量，由，解得，
则有，又，则.故答案为：.
14．【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点，
所以，
则，
当点与某个侧面的中心重合时，最小，且，
当点与正方体的顶点重合时，最大，且，
由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是，
的取值范围是．故答案为：
15．【详解】（1）
；
（2）因为，所以
，
因为，所以
，
所以
，
所以.
16．【详解】（1）连接，
由于平面，所以是直线与平面所成的角，
由于平面，所以，
因为，所以，
又为的中点，所以，
所以。
（2）依题意可知，平面，平面，
由于，平面，所以平面平面.
因为平面，平面，所以，
由于平面，
所以平面，而是的中点，所以平面，
直线到平面的距离，等于到平面的距离，
所以直线到平面的距离为.
17．【详解】（1）∵，，∴．
点是中点，，∴，
结合折叠前后图形的关系可知，
∵二面角为直二面角，则侧面底面，
侧面底面，
∴平面，
易知，，两两垂直．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
则P0,0,1，，，，D0,1,0，
∴，，PD=0,1,-1．
设平面的法向量为，
则，取，得，，
则为平面的一个法向量，
则点到平面的距离．
（2）设点满足（）．
∵PD=0,1,-1，∴，
∴，∴．
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
又∵，，
∴，
取，则，，
取为平面的一个法向量．
易知平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为
，
由，所以，则，
所以二面角的余弦值的取值范围为.
18．【详解】（1）解法一：因为⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，，所以，，
因为，所以，
又因为，.
所以，化简得.
所以，
所以.
解法二：在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
设，则，
所以，，
由得，所以，
又因为，所以，解得，
所以，，，，
所以，
所以.
解法三：在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F.
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
则，所以，所以，，
在中，，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，，，所以，所以，
所以.
（2）因为，由（1）知，所以，
过作于H，则.
因为直棱柱中平面平面ABCD，平面平面，
平面ABCD，所以平面，
所以.
（3）解法一：假设存在点E满足条件，
因为⊥平面ABCD，，
所以以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，，
，
设，则，
设平面EBD的一个法向量为，
由，得，
令，得，所以.
设平面的一个法向量，
由，得，
令，得，所以.
所以，
因为平面EBD与平面D1BD的夹角为，
即，解得，
又因为，所以舍去，
所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为.
解法二：由（1）解法二得平面的一个法向量为，
假设存在E点满足条件，设，则
设平面EBD的一个法向量为，
由，得，
令，则，所以.
所以，
因为平面EBD与平面D1BD的夹角为，
即，解得.
又因为，所以舍去，
所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为.
19．【详解】（1）由题可知，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则有，
所以，直线与平面所成角的余弦值为.
（2）由题可知平面的法向量为，且过点，
因为,所以，所以点到平面的距离为.
（3）建立空间直角坐标系，分别画平面，
然后得到几何体为
几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体，故几何体的体积为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
D
A
C
B
C
ABD
ABD
题号
11









答案
BCD