2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题二（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--空间向量和立体几何专题二（含解析），共19页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
空间向量和立体几何高考复习专题二
知识点一 证明线面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法
典例1、如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点.
（1）求证:; （2）求二面角的大小.

随堂练习：如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在上，且．
（1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
典例2、如图所示多面体中，底面是边长为3的正方形，平面，，
，是上一点，．
（1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值．

随堂练习：在四棱锥中，，，，，且，
，平面平面.
（1）证明：//平面； （2）求二面角的余弦值.
典例3、如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，
，为的中点.
（1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
随堂练习：如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面
与平面的交线为.
（1）证明∥平面BCM
（2）已知，为上的点，若与平面所成角的正弦值为是，求线段的长.
（3）在（2）的条件下，求二面角的正弦值.
知识点二 求点面距离,面面角的向量求法
典例4、如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，.
（1）求点A到平面SBC的距离；（2）求二面角的大小.

随堂练习：如图，在长方体中，，，为的中点．
（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值．

典例5、已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形是以M为直角顶点等腰直角三角形.
（1）证明M是BC中点；（2）求二面角的大小；（3）直接写出点C到平面的距离.
随堂练习：如图，三棱柱的棱长均为2，点在底面的射影O是的中点.
（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成角的余弦值.
典例6、如图所示，平面平面，且四边形为矩形，，，，．
（1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
随堂练习：如图，平面，，，，，
点，，分别为，，的中点．
（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
空间向量和立体几何高考复习专题二答案
典例1、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）依题意，平面，如图，以为原点，
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意，可得，，
， ，即；
∵，为的中点，∴
（2），平面,
平面，故为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，

， 即，
令，得，故. ，
由图可得二面角为钝角，
二面角的余弦值为，则二面角的大小为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 2（2）
解：（1）证明：连接AN并延长交BC于点E，
因为正四棱锥P−ABCD，所以ABCD为正方形，所以．
又因为，所以，所以在平面PAE中，，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
（2）连接AC交BD于点O，连接PO，
因为正四棱锥P−ABCD，所以平面ABCD，
又OA，平面ABCD，所以，，
又正方形ABCD，所以．
以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，所以，则，，
设平面AMN的法向量为，则，
取，； ，，
设平面PBC的法向量为， 则
取，； 所以，
设平面AMN与平面PBC所成的二面角为， 则，
所以平面AMN与平面PBC所成二面角的正弦值为．

典例2、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：过点作，交于点， 则，即，
因为，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面， 所以平面.
（2）由题意以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，， 即，，
令，，则，，
设二面角为， 所以，即，
所以二面角的正弦值为.

随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）设点满足，即，结合条件，
即，，即；
由条件，即，可得：，显然线段不共线，
从而可得四边形为平行四边形，即可得：//，平面，
平面，故可得：//平面

（2）过点作作的垂线，垂足为，平面，
平面平面，平面平面，可得：平面
∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根据余弦定理：，
根据上述分析可得：，从而可得：.
综上可得：三条直线两两垂直.故以点为原点，方向为轴，
方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系.则有点，， ，，，
设平面的法向量为，则可得：，
即有，令，可得；
平面与平面为同一个平面，显然平面的一个法向量为.
可得：，结合图形可知是锐二面角，
从而可得二面角的余弦值为

典例3、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）记的中点为，连结，
因为，，所以四边形是平行四边形，则，
因为，所以平行四边形是矩形，则，
因为平面，平面，所以，则两两垂直，
（2）故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
因为为的中点，所以，则，
设平面的一个法向量为，而，，
则，令，则，
所以，则，
又平面，所以平面．
.
设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
记平面与平面夹角为，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）依题意，不妨设，则，，
又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，
所以，解得（负值舍去），
所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）在正方形中，，
因为平面，平面，所以∥平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为平面
，平面，所以∥平面
（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，，，，，
设，则有，，，
设平面的法向量为，则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为，则
因为与平面所成角的正弦值为是，
所以， 解得.所以.
（3）由（2）可知平面的一个法向量为
因为是线段的中点，所以
于是，，设平面的法向量
则，即.令，得，，
，所以二面角的正弦值为.
典例4、答案：（1）；（2）.
解:（1）设点A到平面SBC的距离为，因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，
因为四边形为正方形，所以， 因为，所以平面，
因为平面，所以， 因为，所以，
因为， 所以，
所以，解得， 所以点A到平面SBC的距离为，
（2）如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
则， 所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为， 所以，
由图可知二面角为锐角， 所以二面角的大小为

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.
解:（1）如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，， 所以，．
因为， 所以．
（2）由（1），得，， 所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，， 所以，
则点到平面的距离．
（3）因为，所以． 由（1）可知，且，
所以平面，即是平面的一个法向量．
由（2）得是平面的一个法向量，
所以．
又二面角的平面角是锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为
典例5、答案：（1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明：在正三棱柱中，有底面，面，，
又是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 且
，面 面，
面， ，
底面是边长为2的正三角形， 点为中点．
（2）过作，交于．
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
由（1）知，，，，
，则、，，，
所以，，，
设面的一个法向量为，
则，取，得，
令面的一个法向量为， 则，令，则
设二面角的大小为，由图知为锐角，
故，解得． 故二面角的大小为．

（3）过点作，由（1）知且，平面，
平面， 在平面内， ，
又，平面， 平面
由（1）知，，，，
， ， 点到平面的距离为．

随堂练习：答案：（1）；（2）.
解:（1）由点在底面的射影O是的中点，可得平面，
又由是等边三角形，所以两两垂直，
以分别为建立如图所示的空间直角坐标系，
因为三棱柱的棱长都是2，所以得，
可得，所以，
在平面中，，
设法向量为，则有，可得，
取，可得，所以平面的一个法向量为，
记点到平面的距离d，则.
（2）在平面中，，
设法向量为，则有，可得，
取，可得，所以，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值.

典例6、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．
解:（1）证明：∵四边形为直角梯形，四边形为矩形， ∴，，
又∵平面平面，，且平面平面，∴平面
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，

，，，，， 则，．
∵，， ∴为平面的一个法向量．
又， ∴，即平面．
（2）由（1）知， 由（1）知，，
设平面的一个法向量，
则，∴， ∴平面AEF的一个法向量，
则， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（3）由（1）知，又平面的一个法向量，
所以点到平面的距离．
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）； （3）.
解：（1）证明：连接，，， ，
又，四边形为平行四边形.
点， 分别为，的中点， ，.
，，为的中点， ，, ，.
四边形为平行四边形. .
平面，平面， 平面.
（2）平面，，可以建立以为原点，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：

依题意可得，，，，，，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即.
设平面的法向量为，
则，令，则，，即.
设平面与平面夹角为， 则.
所以平面与平面夹角为.
（3）设，即，
则，所以. 由知平面的法向量为，
由题意可得，
即，整理得， 解得或.
因为，所以. 所以，， 则.