2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题九（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题九（含解析），共13页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题九
知识点一 裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项
典例1、已知数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
随堂练习：设数列的前n项积为，且.
（1）求证数列是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
典例2、已知数列{}满足
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记，求数列{·}的前2022项和；
随堂练习：已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
典例3、已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和Sn.
随堂练习：已知数列的前n项和为，其中，满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
知识点二 确定数列中的最大（小）项,利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值.
随堂练习：已知数列的前项和．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，试问：数列是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由．
典例5、是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列中最小的项.
随堂练习：设数列的前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的最小值及相应的n的值.
典例6、数列满足，且（）．
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，求数列的最大值与最小值．
随堂练习：已知数列的前项和为,且满足,数列的前项和为,且满足
,其中N*.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公差不为零的等差数列.
①求实数的值.
②若≤对任意的N*恒成立,求的取值范围.
人教A版数学--数列专题九答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）因为，所以， 两式相减得，
即，即，
又，，故，
因此，数列是每项都是1的常数列，从而.
（2）因为，所以， 从而，
因此.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）知数列，则由得，
所以，
所以.
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）依题设可得
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
∴， ∴
（2）由（1）可得，
∴，
∴
随堂练习：答案： （1）
（2）当时，；当时，
解：（1）证明：，变形为：，，
∴数列是等比数列，首项为6，公比为3.
∴，
变形为：，，
∴， ∴
（2）由（1）得，
∴当时，数列的前项和
.
当时，数列的前项和
.
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）∵，，
∴，，
又，，解得，，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，则，
∴，
∴ .
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）．
解: （1）由可得，
因为，所以 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列
（2）根据（1）可得：，
所以，
所以，
所以．
典例4、答案：（1）；（2）.
解: （1），，则， 即，
当时，；
当时，；
经检验适合，
（2）由（1）知： ，， ，
当时，，
当时，；当时，；
又，，当时，有最小值.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）第1595项最小，无最大项
解：（1）因为数列的前项和，
当时，，
当时，，
因为当时也满足，故.
故为常数，故是等差数列
（2）由（1），故，
则
，
因为，故令可解得或，
即，，，
因为，，
故数列有最小项为第1595项，又随着的增大一直增大无最大值，
故数列第1595项最小，无最大项
典例5、答案：（1）；（2）.
解: （1）对任意的，由得，
两式相减得， 因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，则.
当时，，即，；
当时，，即，.所以，数列的最小项为.
随堂练习：答案： （1）；（2）最小值，或9.
解: （1）∵，则，
两式相减得：，即，
验：由且知：符合， ∴.
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则.
（2），则，
∴时，；时，；时，，即：
∴当或9时，数列取得最小值.
典例6、答案：（1），，；（2）；
（3）数列的最大值为，最小值为.
解: （1）当时，有，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
（2）当时，①， 又②，
②式减①式可得：，即，
由（1）知当时，上式不成立，
所以是以从第二项开始，公比为的等比数列，
所以.
（3）当时，，
当时，，
当时，且递减，，
当时，且递减，， 又，
综上所述，数列的最大值为，最小值为.
随堂练习：答案：（1）；（2）①；②≤≤.
解: （1）由可得，
作差得， 化简可得，
又时 所以数列是以首项，为公比的等比数列, 所以.
(2) 设数列是以首项，为公差的等差数列,
则,,
由可得,
对任意恒成立,
可得,解之得或者(舍去) 所以，
（3）因为≤恒成立，
①当为偶数时，≤，
令， 则
当≥3时，；当≤2时，；
又因为， 所以 ， 所以，≤，
② 当为奇数时，≥，
令， 则，
当≥3时，；当≤2时，；
因为， 所以 ，
所以，≥， 综上所述：≤≤，