2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十五（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十五（含解析），共14页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列高考复习专题十五
知识点一 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,
利用an与sn关系求通项或项
典例1、已知数列的各项为正数，其前项和满足，设．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最大值．
随堂练习：已知数列的前项和公式为
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和的最小值．
典例2、已知数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的最大值及取得最大值时的值.
随堂练习：已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，是的前项和，已知对于都成立，求的取值范围.
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,
利用an与sn关系求通项或项
典例3、已知数列的前项和为.
（1）求出的通项公式；
（2）求数列前n项和最小时n的取值
随堂练习：记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
典例4、设等比数列的公比，且满足，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的前n项和 的最大值.
随堂练习：公差非零的等差数列的前n项和为，若是，的等比中项，．
（1）求；
（2）数列为等差数列，，数列的公差为，数列的前n项和为，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由．
典例5、已知等比数列的各项均为正数，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的最大项.
随堂练习：在数列{an}中，（n∈N*），.
（1）求；
（2）设为的前n项和，求的最小值．
典例6、已知数列的前n项积.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前n项为，求的最小值.
随堂练习：已知正项数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）求证：数列是等差数列.
（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？
典例7、设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的最大值及此时的值；
（3）求数列的前项和．
随堂练习：在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，
并解答．设等差数列的前n项和为，且,．
（1）求的最小值；
（2）若数列满足____________，求数列的前10项和．
人教A版数学--数列高考复习专题十五答案
典例1、答案： （1）证明见解析，；（2）.
解：（1）当时，，∴
当时，，即
∴，∴，∴
∴，所以是等差数列，
（2），，∵，∴是等差数列
∴，当时，
随堂练习：答案： （1）； （2）当或时，的值最小，值为.
解：（1）当时，，
当时，=
经检验，满足此式，所以
（2）由（1）可知，数列为等差数列，
设，得，
当或时，的值最小，值为.
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为.
解：（1）证明：当时，，
又当时，，满足，
故的通项公式为，
∴.
故数列是以32为首项，为公差的等差数列；
（2）令，即，解得，
故数列的前16项或前17项和最大，
此时.
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）或
解（1）∵，∴，
∵∴，∴，
∴，又由，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列；
所以，∴，
当时，，
当时，，
当时，上式也符合，所以.
（2），时，，，，，，
∴或5时，，∴或.
典例3、答案：（1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值.
解:（1）因为， 所以当时，；
当时，；
显然是，也满足， 所以；
(2) 因为，
所以数列为等差数列，其前n项和

又，所以当或时，取得最小值.
随堂练习：答案：（1） （2），最小值为
解：（1）因为，且，，成等比数列，所以，
即，解得 即
（2）
当或时，有最小值
典例4、答案：（1）；（2）49.
解:（1）由题意，等比数列满足，，，成等差数列，
可得，两式相减得，即，
代入，可得，
解得或（舍），
所以，所以数列的通项公式为.
（2）对任意正整数n，均成立，
当时，可得，
当时，
两式相减得，
由（1）知，所以当时，，
当时也满足此式，数列为等差数列，
故数列的前n项和，
所以当时，数列的前n项和的最大值为49.
随堂练习：答案： （1）60 （2）存在最大值66
解：（1）记等差数列的公差为，
由题知，整理得
因为 所以可解得 所以
（2）由（1）可知
因为数列的公差为， 所以
因为的对称轴为，
所以当时，有最大值
典例5、答案： （1）； （2）.
解：（1）设等比数列的公比为，
由得，，解得：，
；
（2）；
当取3或4时，取得最大项.
随堂练习：答案： （1）
（2）当n为偶数时，取得最小值为－242；当n为奇数时，取最小值为－243
解：（1）∵（n∈N*），① ②
②－①得，.
又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23， ∴a2＝－19， 同理得，a3＝－21，a4＝－17.
故a1，a3，a5，…是以为首项，2为公差的等差数列，
a2，a4，a6，…是以为首项，2为公差的等差数列．
从而
（2）当n为偶数时，


故当n＝22时，Sn取得最小值为－242.
当n为奇数时，

.
故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.
综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）.
当时，；
当时，，也符合. 故的通项公式为.
（2）， ，
是以为首项，2为公差的等差数列，
， 当时，的最小值为.
随堂练习：答案： （1），；（2）证明见解析；
（3）数列的前9或前10项的和最小，最小值为
解：（1）由已知得，，，；
，，
化简得，，又由已知得，，
（2）由题意得，，①
令，得，② 得，，
化简得，，进而得到，
，又由为正项数列得，，
故有，，所以，，故数列是等差数列，
由（1）得，，所以，
（3）由（2）得，，明显地，为等差数列，设的前项和为，
故有，，
根据二次函数的性质，的对称轴为，因为为正整数，
明显地，取或时，有最小值，
故最小值为，，所以，数列的前9或前10项的和最小，最小值为.
典例7、答案：（1）； （2）当，取得最大值； （3）.
解:（1）由题意知，，
所以 所以，
当时，符合通项公式， 所以数列的通项公式为；
（2）由（1）可得，由等差数列的求和公式，
可得
∴当，取得最大值，且；
（3）由（1）知，令，为的前项和，则，
∴
．
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）由题，，，所以，
则， 所以当时，的最小值为.
（2）设数列的前项和为，
选①，由（1），，令，即, 所以，
所以；
选②，由（1），，
所以；
选③，由（1），，，
所以