2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十一（含解析）

这是一份2025年高考数学二轮专题复习（讲义）--数列专题十一（含解析），共14页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--数列专题十一
知识点一 判断等差数列,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和,分组（并项）法求和
典例1、已知数列，，为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明为等差数列，并求数列的前项和.
随堂练习：已知数列满足，，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记在区间上，的项数为，求数列的前m项和.
典例2、设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前n项和．
随堂练习：设数列满足，且.
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
典例3、已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
（1）求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
随堂练习：已知数列，，且对任意，都有.
（1）设，判断数是否为等差数列或等比数列；
（2）若，，求数列的前项的和.
知识点一 累加法求数列通项,含绝对值的等差数列前n项和,由递推关系证明等比数列
典例4、已知在前n项和为的等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和．
随堂练习：已知等差数列的前项和为，，，．
（1）求的通项公式
（2）设，求数列的前项之和．
典例5、已知是数列的前项和，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
随堂练习：已知等差数列的公差为，数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）请直接写出的结果.
典例6、在等比数列中，，公比，且，又有4是和的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前21项和．
随堂练习：在数列中，，，且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）设是数列的前项和，求.
人教A版数学--数列专题十一答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析，
解：（1）当， 所以，
当， 即，
所以 所以；
（2）当， 所以，
因为， 所以，
所以是， 所以， 所以，
令，
则=-1+，
，
.
随堂练习：答案： （1），； （2）前m项和为，.
解：（1）由题意知：为等差数列，设其公差为d，
由，得，又，
∴，则.
（2）由题及（1）得，，
∴.
典例2、答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）证明：当时，，，所以.
当时，有，，
两式相减得，
所以，则，
两式相减得，即，
因为数列各项均为正数，所以有，
又时，则，即，整理可得，
解得或（舍去），
所以，满足.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，，所以.
所以，当为偶数时，.
当为偶数时，
；
当为奇数时，.
综上所述，.
随堂练习：答案： （1）证明见解析，; （2） .
解：（1）由已知得， 即，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
（2）,
当为偶数时，
当为奇数时，
,
所以 .
典例3、答案：（1），证明见解析； （2）．
解：（1）①，，
当时，，∴或(舍)，
当时，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，
∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴．
（2）∵，
∴，，成等差数列； ，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上可知．
随堂练习：答案：（1）答案见解析；（2）.
解:（1）由，得，，
所以，数列是等差数列.
当的公差为零时，，数列是等差数列，不是等比数列；
当的公差不为零时，，数列既是等差数列也是等比数列；
（2）若，由（1）知，
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，.
则，.
.
典例4、答案： （1）； （2）.
解：（1）由，则，
由，则，
所以，即，故， 则.
（2）由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为，
则由已知可得：，解得，
所以.
（2）因为，，
所以.
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）
当时，，
当时，，
也符合上式，所以，
（2）因为，所以时，；时，，
当时，，
当时，
.
综上：
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）为等差数列，，
得到公差，进而得到，
（2），
所以
令，得，又，
，整理得，
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因为，可得，即，
又因为，所以，
因为4是和的等比中项，所以，
即与是方程的两个根，且，
所以，即，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由，可得，则，
则数列的前项和为，
当时，，所以；
当时，，
所以.
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）由可得是等差数列，且公差，
所以.
（2）由，可得的前项和，
当时，，
，
当时，，此时，
所以
，
综上所述：