河北省保定市安国中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

这是一份河北省保定市安国中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题，共21页。试卷主要包含了测试范围，“”是“直线与直线平行”的，已知曲线等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修一全册（不含抛物线）。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设点在平面上的射影为，则等于（ ）
A．B．5C．D．
2．若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ）
A．3B．12C．15D．3或15
4．.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的图象不关于原点对称
B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若，点满足，记点的轨迹为曲线，直线为上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为､，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．线段的最小值为
C．的最小值为
D．当最小时，直线的方程为
10．已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．
C．D．为直角三角形
11．已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线表示两条直线
B．若，则曲线是椭圆
C．若，则曲线是双曲线
D．若，则曲线的离心率为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
13．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 .
14．如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是

①；
②存在点，使得//面；
③的最小值为；
④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知两直线.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
(2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(3)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
16．（15分）已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.
17．（15分）如图,四棱锥中,底面,底面为菱形,,分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
18．（17分）如图，在三棱柱中，，，是棱的中点.
(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
19．（17分）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆：.
(1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
(2)写出与椭圆相似且短半轴长为b，焦点在x轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求实数的取值范围.
参考答案与解析
1．D【详解】点在平面上的射影为，，
故，故选：D
2．A【详解】由题知，，解得.故选：A.
3．C【详解】因为双曲线方程为，所以，则，
设双曲线的左､右焦点分别为，
又点在双曲线的右支上，且，
所以，则.故选：C.
4．A【详解】设圆心到直线的动点的距离为，
根据点到直线距离公式，.
因为，是圆的切线，所以（其中）.
又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即.
的周长为.
因为是圆的弦，且和全等，所以.
根据三角形面积公式，（其中是圆的半径），
可得，所以，
则的周长.
因为与均在上单调递增，
所以当时，周长取得最小值. 最小值为.
故选：A.
5．D【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
则，
则与所成的角的余弦值为
.
故选：D
6．C【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件；
当与直线平行时，，则
∴或，
当时显然成立，当时，，，
整理后与重合，故舍去，
∴，满足必要条件；
∴“”是“直线与直线平行”的充要条件
故选：C
7．B【详解】解法一：圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.
设，由以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，
得关于的不等式有解，即有解，
所以，解得或.故选：B.
解法二：圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.
又直线上存在点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，
所以只需圆与直线有公共点即可.
由，解得或.故选：B.
8．D【详解】对于A，结合曲线：，将代入，
方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误；
对于B，令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
故曲线经过的整点只能是，B错误；
对于C，直线与曲线：必有公共点，
因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，
即只有一个解为，即时，无解，
故，即实数的取值范围为，C错误，
对于D，由，可得，时取等号，
则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确，
故选：D
9．ACD【详解】由题知，设，因为，
所以，
即，所以曲线是以为圆点，半径为的圆，
如图所示，因为为上的动点，是曲线上动点，
则PQ最小时，三点共线，且，
因为，，
所以PQ的最小值为，故A正确；
对于B，设，则，
又，
所以，
则以为圆心，
以为半径的圆的方程为①，
又曲线为②，由①②相减，
得直线：，即，
由，得，所以直线恒过定点，
所以线段的最小时，过，则此时与定点距离为，
此时，故B错误；
对于C，因为最小时为，所以，
所以此时为全等的等腰直角三角形，
所以，
所以，所以的最小值为，故C正确；
对于D，因为四边形面积为
，
所以此时四边形为正方形，则，，
所以直线的方程为，故D正确.
故选：ACD
10．ABD【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入，
可得，所以，，故A正确；
对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦，
所以由抛物线定义可得，
由选项A知，，，
所以.
即，解得，
当时，，所以，
当时，，
所以，
当时，也适合上式，所以，故B正确；
对于选项C，，
所以，同理可得，
所以，故C错误；
对于选项D，由抛物线的定义可知，，则.
因为，所以，则.
同理可得.
因为，
所以.
所以为直角三角形，选项D正确；
故选：ABD.
11．ACD【详解】由题意，曲线，，
若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确；
若，又，则，
曲线，可化为，
当时，则曲线表示圆，
当时，则曲线表示椭圆，故B错误；
若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确；
若，又，所以，
则曲线为，则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确.
故选：ACD.
12．【详解】因为,所以,
所以椭圆方程为,
设,椭圆的上、下顶点,
所以且，
所以，所以
即得.故答案为：.
13．【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
则直线方程为，
设关于和直线的对称点分别为，则，
记，则，解得，
因为为的重心，，所以，
由光的反射原理可知，三点共线，所以，
即，解得（舍去）或.故答案为：
14．①②【详解】由题意，建立如图空间直角坐标系，

则，
所以，
设，则，所以，
所以.
①：，
所以，故①正确；
②：设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
有，当时，，此时，即平面，
所以当点P为的中点时，平面，故②正确；
③：将平面与平面沿展开成平面图，线段即为的最小值.

在中，，由余弦定理，
得，
即，故③错误；
④：由平面，
得平面，即平面，则为平面的一个法向量，
假设存在点P，使得与平面所成线面角的余弦值为，
设该线面角为，则，
所以，
整理得，由知方程无实根，
所以不存在点P，使得与平面所成线面角的余弦值为，故④错误.
故答案为：①②
15．【详解】（1）联立，解得，，
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
（2）由（1）得两直线的交点为．
当要求的直线过原点时，斜率为2，方程为．
当要求的直线不过原点时，设方程为，把交点代入，求得，
可得要求的直线方程为，
综上，直线方程为或；
（3）设点关于直线对称的点为，
，解得，
则，
故的最小值为．
16．【详解】（1）设圆M的方程为，
因为圆过点，所以，
又因为圆心在直线上，所以②，
直线与圆M相切，得到③，
由①②③解得：因此圆的方程为
（2）设，因为A为线段BD的中点，所以，
因为在圆上，所以，解得或
当时，由可知直线的方程为；
当时，由可得斜率，
故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
17．【详解】（1）连接,∵底面ABCD为菱形,,
∵在中，分别为的中点.
∴,∴
底面,所以,所以,
又∵与是平面上的两条相交直线,
∴⊥平面.
（2）连接交于点,过点,作向上的垂线平行于,
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系；
又，，所以；
则，
所以；
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，则；
即为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，则；
即为平面的一个法向量，
可得，
设二面角为，可得；
所以二面角的正弦值为.
18．【详解】（1）如图，取中点，连接.
∵,∴,
∵,,,
∴与全等，
∴，∴，
∵，、平面，
∴平面，
∵平面，∴.
（2）不存在，理由如下：
由（1）得，平面，
∵平面，
∴平面平面，
如图，过点作于点.

∵平面平面，平面， ∴平面
由题意得，
∴，设三棱柱的高为，
∵三棱锥的体积为，
∴三棱锥的体积为，即，
∴，即，
∴，∴点为中点.
取中点，则，∴.
故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
∴， ，，.
设，则，
∴，
要使平面，则需且，
由得，，解得，
由得，，解得，
由两个方程解出值不同可得在棱上不存在点使得平面.
19．【详解】（1）椭圆与相似.
如图，在同一平面直角坐标系中作出椭圆，，

椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形，
而椭圆的“特征三角形”是腰长为2，底边长为的等腰三角形，
因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为，
所以椭圆和相似，且相似比为.
（2）由（1）设椭圆的方程为，
设直线的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，的中点为.
由消去并整理得，
则，即，，，
由的中点在直线上，得，解得，
因此，而，解得，
所以实数的取值范围是.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
A
D
C
B
D
ACD
ABD
题号
11









答案
ACD