河南省洛阳市创新联盟发展2024-2025学年高二上学期第二次月考（10月）数学试题

这是一份河南省洛阳市创新联盟发展2024-2025学年高二上学期第二次月考（10月）数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知正方体的棱长为1，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一､二章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.圆与的位置关系为（ ）
A.相交 B.相离 C.外切 D.内切
2.下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A.零向量是任意直线的方向向量
B.方向相同的两个向量是相等向量
C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
3.已知直线与垂直，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.
4.下列各组向量，不能构成空间基底的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线与关于原点对称，则恒过点（ ）
A. B. C. D.
7.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知正方体的棱长为1，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知直线和曲线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A.曲线的长度为 B.
C. D.若，则
11.如图，在长方体中，为的中点，是上的动点，下列结论正确的是（ ）
A.若是的中点，且三棱锥的体积为1，则
B.若是的中点，且直线与平面所成的角为，则
C.若的最小值为，则
D.若的面积的最小值为，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.直线的倾斜角的取值范围是__________.
13.如图，在圆锥中，是底面圆直径，，则二面角的余弦值为__________.
14.若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知点，且四边形是平行四边形.
（1）求点的坐标；
（2）求平行四边形的面积.
16.（15分）
如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设.
（1）试用表示；
（2）求的长度；
（3）求直线与直线所成角的余弦值.
17.（15分）
已知圆与圆相交于两点，直线的方程为.
（1）若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围；
（2）若是圆上的动点，且的面积的最大值为5，求圆的方程.
18.（17分）
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为.
（1）证明：平面平面.
（2）求四棱锥的体积.
（3）若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（17分）
古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求；
（3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
2024-2025年度河南省高二年级第二次月考
数学参考答案
1.D 圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.这两圆圆心之间的距离为1，且，所以圆与圆内切.
2.D 在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，A错误.方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误.
任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确.
3.C 因为，所以.
4.B 因为向量共面，所以不能构成空间基底.
5.C 取分别为的中点，连接，则.
因为，所以.
因为平面平面，平面平面平面，所以平面.同理可得平面，所以向量在平面上的投影向量为.
6.A 因为直线恒过点，点关于原点对称的点的坐标为，所以直线恒过点.
7.B 圆，其圆心为，半径为.
因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点.
因为圆心距为，所以，解得.
8.A 连接.以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则.
.
设平面的法向量为，则取，则.因为平面，所以，解得.
9.AB ，A正确.
，B正确.
，C错误.
，D错误.
10.CD 由，得.因为，所以曲线表示以为圆心，半径的半圆，则其周长为A错误.当直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，解得舍去）.当直线过点时，直线和曲线有2个交点，此时，解得.当直线和曲线有两个交点时，B错误.，则，C正确.线段的中垂线的方程为，点在直线上，D正确.
11.ACD 设.三棱锥的体积为，解得正确.
如图，连接，将和翻折到同一个平面.假设点翻折后对应点，此时为的最小值，为和的交点.由题意得，且，则.由对称性得为的中点，即.又，所以，则，解得或（舍去），即，C正确.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（图略），，.设，则.设平面的法向量为，则即因为是的中点，所以，则取，得，.因为直线与平面所成的角为，所以，解得或，B错误.
记点到直线的距离为，则的面积为.若的面积的最小值为，则的最小值为.
故.
当时，取得最小值，最小值为，即，解得，即，D正确.
12. 因为直线的斜率，所以，则.
13. 建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则令，得.平面
的一个法向量为.设二面角的大小为，
由图可得，则.
14.2或4 如图，记圆的圆心为与交于点.由题意可得，所以，即，解得或16，即或4，经检验，都满足题意.
15.解：（1）由题意得直线的方程为，直线的方程为.
因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为，
因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为1.联立解得即点的坐标为.
（2）因为，
所以点到直线的距离.
故平行四边形的面积.
16.解：（1）
.
（2），
所以.
（3）因为，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
17.解：（1）由，得，
所以圆的半径，圆心为，且圆心在直线上.
因为圆的圆心在圆外，所以.
圆的半径为.
故圆的半径的取值范围为.
（2）设圆的圆心为，由题意可得，所以，即①.
设圆的半径为，当时，的面积取得最大值，
最大值为，解得，
所以②.
由①②得或
所以圆的方程为或.
18.（1）证明：设的中点分别为，连接.
在中，.
因为，所以二面角的平面角为，
则.
因为，所以平面，所以，则，
所以.
又，所以.
又因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：四棱锥的体积为.
（3）解：因为平面平面，平面平面，
所以平面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.
记，则.连接.设.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以，则，
解得，则.又，所以.
.
设平面的法向量为，
则由得取，得.
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.（1）解：设，因为，所以，
即，整理得，
所以曲线的轨迹方程为.
（2）解：曲线的圆心到直线的距离，所以.
（3）证明：设.
联立得，
.
设，所以直线的方程为，直线的方程为.
因为直线与直线交于点，所以
则
，即，解得，
所以点在直线上.