山东省济宁市梁山县实验高级中学2024-2025学年高二上学期数学期中模拟题（一）

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1-4 DCBB 5-8 CCDC
3【详解】，则,
则.故选：B
6【详解】由，可知，，
且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：

又因为表示半圆上的动点与点的距离，
又因为，所以的最小值为，
当动点与点重合时，取最大值，故选：C．
8【详解】设动点Mx,y，则，
化简得，
所以点的轨迹为圆，
如图，过点作圆的切线，连接，则，，
所以，同理，则直线的斜率范围为.故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.AD 10. BD 11.ACD2,4,6

10【详解】A选项：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生，互斥事件是对立事件的必要条件，但对立事件是互斥事件的充分条件，所以“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A选项错误；
B选项：若事件A，B相互独立与A，B互斥同时成立，那么若事件A，B相互独立，则；若事件A，B互斥，则，两者矛盾，故B选项正确；
C选项：考虑投掷两个骰子，记事件为第一个骰子的点数为奇数，事件为第二个骰子点数为奇数，事件为两个骰子的点数之和为奇数，于是有，,故C选项错误；
D选项：由题意，
又因为事件,相互独立，所以故D选项正确；故选：BD.
11【详解】设Px,y，由，
整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故A正确；
圆心到直线的距离，
所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误；
设，易知圆心到直线的距离
，故C正确；
易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意，
则圆心距，解之得，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 【答案】/
【详解】记“甲投中”，“乙投中”，
则，
所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为
.故答案为：0.38.
3

【答案】【详解】由题意可知，动直线，经过定点，
动直线即，经过定点，
时，动直线和动直线的斜率之积为，
时，也垂直，
所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点，
，
．
设，则，，
由且，可得，
，
，，
，，故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本题满分10分）
解：（Ⅰ）直线与直线垂直， ，
解得．
（Ⅱ）当时，直线化为．不满足题意．
当时，可得直线与坐标轴的交点，．
直线在两轴上的截距相等，，解得：．
该直线的方程为：或．
16. （本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为平面,平面平面平面
所以平面
又平面所以．
（Ⅱ）过点在平面内作,如图．由（1）知平面平面所以．以为坐标原点,分别以的方向为轴, 轴, 轴正方向建立空间直角坐坐标系．
依题意,．
则．
设平面的法向量．则即．
取得平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为,则 即直线与平面所成角的正弦值为．
17. 【答案】(1) (2).
【详解】（1）由题意得，
解得.
（2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.
记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，
相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
则，且彼此互斥.
易得.
，
所以
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.
18．解：（Ⅰ）所在的圆是以为圆心，半径为的圆，
所以所在圆的方程为，所在的圆是以为圆心，半径为的圆，
所以所在圆的方程为，
两圆的方程相减可得：即.
（Ⅱ）因为所在的圆是以为圆心，半径为的圆，
所在的圆是以为圆心，半径为的圆，
所以与所在圆的的公切线平行于经过点、的直线，
所以所求切线的斜率为，设公切线的方程为，
则点到的距离，解得 或（舍）
所以公切线的方程为.
19．
解：（Ⅰ）如图1，取中点，
且，又∵，分别为，的中点，
∴且，
且，四边形为平行四边形，
，平面，平面，
平面.
（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DA，因为=45°，所以PD=DA，设，
又因为AB⊥AD，AB∥DC，所以DC⊥AD，如图2，以为原点，，，所在方向分别是，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设点坐标为，则，，由得，则，，
，
设平面的法向量为， 由，
令x=1，得 ，……………………………………… 6分
设平面的法向量为，由，
令b=1，得 ，……………………………………… 7分
所以，由图可知，平面与平面夹角为锐角，
故平面与平面夹角的余弦值为.……………………………… 8分
（Ⅲ）设，，
，，
与平面所成角的正弦值为
，………………………………………………………… 10分
整理得 ，解得 ，（舍）……………… 11分
存在满足条件的点，，则.…………………………………………… 12分