初中数学苏科版（2024）九年级下册6.5 相似三角形的性质巩固练习

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考察题型一 相似变换（作图）
【利用尺规画相似三角形】
1．在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，如下四个尺规作图，正确的是
A．（作一个角的平分线）B．（作线段的垂直平分线）
C．（作高）D．（作等腰三角形）
【详解】解：当是的垂线时，，理由如下：
，
，
，
，
，
，
由作图痕迹可知：只有选项符合题意．
故本题选：．
2．如图，在中，．
（1）以线段为边，利用尺规在给出的图形上作出△，使得△．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）中所作的图形中，若，，，求的长．
【详解】解：（1）如图，△即为所求；
（2）△，
，
，
．
3．如图，在中，为钝角，，是边上不重合的两点．
（1）用不含刻度的直尺和圆规在边上找两点，，其中点在点的左侧，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：．
【详解】解：（1）如图，；
（2）证明：由作图可知：，，
，
，
，
，
即．
【利用格点画相似三角形】
4．如图，大小为的正方形方格中，能作出与相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 ．
【详解】解：如图，即为所求，面积．
故本题答案为：．
5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点，，均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．请在图2中画，在图3中画，使和不全等，且都与图1中的相似且不全等，并写出和的周长．
的周长 ；的周长 ．
【详解】解：由图1可知：三边长为2，4，2，
如图2.1，三边长为1，2，时，周长为；
如图2.2，图2.3，三边长也可为，，5，周长为；
如图3，三边长为，，，周长为；
故本题答案为：或（答案不唯一）；．
6．如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）；
（2）在图2中的线段上找一个点，使．
【详解】解：（1），，，
，
，，
与相似，
，，
如图1，取格点，，使，，，
连接，，，则即为所求；
（2）如图2，取格点，，使，，且，
连接交于点，则，
，
则点即为所求．
7．如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段上找一个点，使；
（2）在图2中作一个格点，使与相似，且面积比为．
【详解】解：（1）如图1，取格点，，使，，且，
连接交于点，则，
，
，
，即，
则点即为所求；
（2）由如图2可得：，，，
，
，，
与相似，且面积比为，
与的相似比为，，
，，
如图2，取格点，，使，，，
连接，，，则即为所求．
【与圆综合画相似三角形】
8．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点，点，，均在以格点为圆心的圆上．
（1）线段的长等于 ．
（2）请你只用无刻度的直尺，在线段上画点，使，并简要说明点是如何找到的（不要求证明） ．
【详解】解：（1），
故本题答案为：；
（2）取格点，连接交于点，点即为所求作．
9．同学们本学期在圆的章节学习中，我们接触了不少尺规作图的问题，接下来请同学们利用圆的相关知识，完成下列尺规作图问题：
（1）如图1，已知，在内求作一点，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
在本次尺规作图中，你所运用的圆的相关知识是： ；
（2）已知中，，请在线段上找一点，使得．（尺规作图2，保留作图痕迹，不写作法）在本次尺规作图中，你所运用的圆的相关知识是： ．
【详解】解：（1）如图，分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，交于点，，连接；分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，交于点，，连接，则与交于点，连接，，
由“三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心”可知：点为外接圆的圆心，
由圆周角定理可知：，
故点即为所求，
运用的圆的相关知识是：三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心，圆周角的度数等于它所对弧上所对圆心角的一半，
故本题答案为：三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心，圆周角的度数等于它所对弧上所对圆心角的一半；
（2）如图，分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，分别交于点，，连接交于点，以点为圆心，以为半径作圆，交于点，连接，
是的直径，
，是公共角，
，
运用的圆的相关知识是：直径所对的圆周角是直角，
故本题答案为：直径所对的圆周角是直角．
考察题型二 相似三角形的判定与性质模型——A字型相似
1．如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为
A．B．C．D．
【详解】解：四边形和四边形均为正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
与四边形的面积比为．
故本题选：．
2．如图，，点在上，与交于点，若，，则等于
A．1B．C．D．
【详解】解：，
，
，即①，
，
，
，即②，
①②得：，解得：．
故本题选：．
考察题型三 相似三角形的判定与性质模型——8字型相似
1．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为
A．4B．6C．8D．10
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，即，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故本题选：．
2．如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，过点作，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
．
，
，
，
，，，点是的中点，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
考察题型四 相似三角形的判定与性质模型——反A字型相似
1．如图，，且，则的值为 ．
【详解】解：，且，
，
，，
．
故本题答案为：．
2．如图，以的边为直径的半圆交、于、两点，连接，若，，则半圆的半径长为
A．B．C．3D．
【详解】解：四边形是半圆的内接四边形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
如图，连接，
为直径，
，即，
，
，
，
，解得：或（舍去），
，
半圆的半径长为．
故本题选：．
3．如图，在中，点为弧的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：．
（2）和的长度是一元二次方程的两根，，求线段的长．
【详解】（1）证明：点为弧的中点，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：如图，过点作于，
和的长度是一元二次方程的两根，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
考察题型五 相似三角形的判定与性质模型——母子型相似
1．如图，在中，直径与弦相交于点，连结弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是
A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对
【详解】解：如图，连接，
，，
．
，
，
，
，
，
①的结论正确；
，，
，
，
，
，
，
．
，
，
②的结论正确；
综上，判断正确的是①②．
故本题选：．
2．某同学对如下的问题进行探究．如图，中，，点、在边上，．由上述条件该同学得到以下两个结论：①；②．对于结论①和②下列说法正确的是
A．①错误，②正确B．①正确，②错误C．①和②都正确D．①和②都错误
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
综上，结论①和②都正确．
故本题选：．
3．如图，四边形、、都是正方形．
（1）与相似吗？说说你的理由；
（2）求的度数．
【详解】解：（1）相似，理由如下：
设正方形的边长为，则，
，，
，
，
；
（2），
，
，
．
4．如图，是等边三角形，点是边上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的值．
【详解】（1）证明：由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，，，
又，
，
，
，
；
解：如图，
是等边三角形，
，，
，
，
又，即，
，
，
，
又是等边三角形，
，
．
考察题型六 相似三角形的判定与性质模型——飞镖型相似
1．如图，在中，，是斜边的中点，是线段延长线上的一点，连接，与交于点．给出下列结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
其中正确的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【详解】解：①，
，
又，．
，
，即，故①正确；
②如图，连接，，
，
为的中点，
又为的中点，
是的中位线，
，．
，
，
，故②正确；
③，是斜边的中点，
，
．，
，
，
，故③正确．
故本题选：．
2．如图，锐角中，，现想在边上找一点，在边上找一点，使得与相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲分别过点、作、的垂线，垂足分别是、，则、即所求；（乙取中点，作，交于点，取中点，作，交于点，则、即所求．对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是
A．甲正确乙错误B．甲错误乙正确C．甲、乙皆正确D．甲、乙皆错误
【详解】解：如图1，连接，
于点，于点，
，
，
，
，
，
，
，故甲正确；
如图2，连接，
垂直平分，垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
，故乙正确．
故本题选：．
考察题型七 相似三角形的判定与性质模型——一线三等角模型
1．如图，为等边三角形，点，分别在边，上，．若，，则的长为
A．1.8B．2.4C．3D．3.2
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
．
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
故本题选：．
2．如图，在中，，，分别过点，，作平行线，且与之间的距离是2，与之间的距离是3，则边的长为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，作于，交直线于，
与之间的距离是2，与之间的距离是3，
，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，．
故本题选：．
3．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点，，，分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为
A．B．5C．D．
【详解】解：如图，作，垂足为，
四边形是矩形，
，
，
，
个小正方形大小相同，
，
又，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
小正方形的边长为．
故本题选：．
考察题型八 相似三角形的判定与性质模型——其他
1．如图，点、在线段上，是等边三角形，当时，的度数为
A．B．C．D．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
2．如图，在中有边长分别为，，的三个正方形，则，，满足的表达式为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，
图中四个四边形为正方形，
，，
，
，，
又，，，
，，
，
，
，
，
，
，故正确．
故本题选：．
3．如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，，
，故③错误；
，
，
，
，
，
，故④正确．
故本题选：．
4．如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点、是线段上的点，是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出
A．的面积B．的面积C．的面积D．的面积
【详解】解：如图，连接，
，，
，，，，
，，
，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
1．如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．
（1）当时，上存在点，使与相似，求的长度．
（2）如图②，当时．用直尺和圆规在上作出所有使与相似的点．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）对于每一个确定的的值，上存在几个点，使得与相似？
【详解】解：（1）①当时，
要使，需，即，
解得：或3；
②当时，
要使，需，即，
解得：；
综上，或3；
（2）如图，延长，作点关于的对称点，连接，交于点；
连接，以为直径作圆交于点、；
（3）当且时，有3个；
当时，有2个；
当时，有2个；
当时，有1个．
2．如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．给出下列结论：①；②；③；④正方形的面积是四边形面积的4倍．其中正确的有
A．①②④B．①②③④C．①④D．①③④
【详解】解：四边形为正方形，
，，，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，
，，
四边形为正方形，
，，
，
在中，由勾股定理可得：，
，
在中，由勾股定理可得：，
，
，，
，
，
，
，故③正确；
四边形为正方形，
正方形的面积是面积的4倍，
，
正方形的面积是四边形面积的4倍，故④正确；
综上，正确的有①②③④．
故本题选：．
3．如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为
A．4个B．3个C．2个D．1个
【详解】解：①，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②，为中点，，
，，
，故②正确；
③为圆直径，
，
，
，
由①知：，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，故④错误；
综上，正确的是①②③，共三个．
故本题选：．