圆锥曲线的方程（六）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）

这是一份圆锥曲线的方程（六）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案），共15页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆的长轴长为，且经过点.
（1）求C的方程；（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.
随堂练习：已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆的标准方程； （2）点，在椭圆上，且.证明：直线恒过定点.
典例2、已知椭圆经过点和点．
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.
典例3、如图，已知椭圆：经过点，离心率为.点，以为直径作圆，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆与圆于点A，B和点N.
（1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程.
随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．
知识点二 求抛物线的切线方程,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
典例4、如图，设为轴的正半轴上的任意一点，为坐标原点.过点作抛物线的两条弦和，､在轴的同侧.
（1）若为抛物线的焦点，，直线的斜率为，且直线和的倾斜角互补，求的值；
（2）若直线､､､分别与轴相交于点､､､，求证：.
随堂练习：已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
（1）求抛物线的方程；（2）过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.
典例5、已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值．

随堂练习：已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.
典例6、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
（1）若，求直线l的斜率；（2）若，证明：为定值.
随堂练习：已知抛物线的焦点为．
（1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线 与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时六答案
典例1、答案：（1）；（2）证明见解析，.
解:（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，
将代入椭圆方程得：，解得， 故椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得.
设A，B的坐标分别为， 则，
且， 因为直线，斜率互为相反数，即，
所以，则， 即，
即， 所以，化简得，
所以直线的方程为， 故直线过定点
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由已知得当时，， 又因为椭圆过点，则，
联立解得，故椭圆的标准方程为；
（2）证明设点，， 因为，即，
即.* 当直线的斜率存在时，设直线方程为.
代入椭圆方程消去得， ，，，
根据，.代入*整理， 得，
结合根与系数的关系可得，.
即， 当时，
直线方程为.过点，不符合条件.
当时，直线方程为， 故直线恒过定点.
当直线的斜率不存在时，令点， 此时，
又.可得（舍去）或. 当时，与点重合，与已知条件不符，
∴直线的斜率一定存在，故直线恒过定点.
典例2、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
随堂练习：答案：（1） （2）存在，
解：（1），，椭圆，将代入可得，故，
椭圆方程为：；
（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，
联立方程可得：，
，，为常数，
代入韦达定理可知，即为常数，，故
且，直线l过定点
当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）将点代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因为，设直线的方程为，设，，
联立，得， 且，则，，
则，且， 直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为， ∴，
∴面积，
当且仅当时，取到等号，此时， 所以直线的方程为.
随堂练习：答案： （1） （2）或.
解：（1）由题意知，， 又，∴，，
∴椭圆标准方程为.
（2）∵轴，∴， 设，则，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
设，，则，， ∴.
①当直线的斜率不存在时，的方程为，此时∴不符合条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得.
得， ∴，即，解得.
故直线的方程为或.

典例4、答案：（1） （2）证明见解析.
解：（1）根据题意，为抛物线的焦点，则，
由于直线的斜率为，故直线的方程为，
所以联立方程得， 设，则，
因为直线和的倾斜角互补，所以， 因为，所以，
所以，解得. 所以.
（2）设，直线的方程为，直线的方程为
设， 直线与抛物线联立得，
所以，，同理，直线与抛物线联立得，
所以，， 对于直线，由于，
所以，所以直线方程为，
故令得，即
同理得，，， 所以，
， 所以
随堂练习：答案：（1） ； （2）16.
解：（1）抛物线的焦点，准线，
为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，
由，解得，设，则点，
于是由得：，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：，
由消去x并整理得：，设，则，
于是得弦AB中点，，同理得，
因此，直角面积
，当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最小值为16.
典例5、答案：（1） （2）2
解：（1）抛物线的焦点.由得，∴.
设，，，由导数的几何意义可得：，，
∴，即，同理．
又P在PA，PB上，则，所以．
∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是．
（2）由（1）知，，代入得， 则，
则，
P到AB的距离，所以，
∵，当时，得，
∴，∴，同理，．
由得，∴四边形PRFQ为矩形，
∵，∴，
∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2．
随堂练习：答案： （1） （2）32
解：（1）由题意知，，设圆上的点，则.
所以. 从而有.
因为，所以当时，.
又，解之得，因此. 抛物线C的方程为：.
（2）切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即
同理可知，直线PB的方程为，
由于点P为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、B的坐标满足方程， 所以，直线的方程为，
联立，可得， 由韦达定理可得，
所以， 点P到直线AB的距离为，
所以，，
∵，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
典例6、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）设，
因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，
设直线l为， 联立与得：，
则，， 因为，所以，
故，解得：，
当时，，此时，解得：，
直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，
当时，，此时，解得：，
直线l的斜率为，满足点N位于点M和点P之间，
综上：直线l的斜率为；
（2）设，
因为过点的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，
设直线l为，令得：，故，
联立与得：， 则，，
因为， 所以，，
解得：，， 所以，
故为定值-1.
随堂练习：答案： （1）是定值;定值为4. （2）证明见解析.
解：（1）依题意知 ，将 代入可得，
设，所以直线l的方程为 ，
联立方程 ，得： ,当不满足题意舍去，
则是定值.
（2）证明：依题意设直线的方程为； ，设点 ,
联立方程 得： ，， ，
又,点F坐标为,∴ ,
，，
，
所以直线､、的斜率成等差数列．