圆锥曲线的方程（十二）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）

这是一份圆锥曲线的方程（十二）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案），共19页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十二
知识点一 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,椭圆中的直线过定点问题
典例1、已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．
随堂练习：已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹的方程.
（2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在 轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
典例2、已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
随堂练习：已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为
的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
典例3、如图，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点且斜率为正的直线与椭圆交于、两点，过点、
分别作与直线垂直的直线，交轴于、两点，求的最小值.

知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,根据韦达定理求参数
典例4、已知椭圆，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2，点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线交椭圆于M､N两点，O为坐标原点，求面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）已知斜率为k的直线l交椭圆于A､B两点，直线､分别交椭圆于C､D，且直线过点，求k的值.
随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，直线l与椭圆C交于两点，且，当（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．
典例5、已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．
随堂练习：已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点（不与定点
重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线经过定点；
（3）求的面积的最大值
典例6、在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆C上一点N到距离的最大值为4，过点的直线交椭圆C于点A、B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.
随堂练习：已知M，N分别是x轴，y轴上的动点，且，动点P满足，设点P
的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），斜率为k的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点．若的值与G的位置无关，求k的值．
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十二答案
典例1、答案： （1） （2）过定点；证明过程见详解
解：（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程得， 所以，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）设点， 则，所以直线的垂线的斜率为，
由题可知，故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
即，
因为，所以， 所以，
所以， 所以直线过定点．

随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）圆的圆心为，半径为，
依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
其中，，， 所以动点的轨迹的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
则由得，
由根与系数的关系得①，
由题意，两点不在轴上，所以，，，
又点，， 所以，，由得，
从而由已知得，即②，
又，③，
将③代入②得，
将①代入上式并整理得：．
，
整理得， ，直线的方程为， 故直线恒过定点.
典例2、答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得， 故椭圆方程为.
（2）设直线，
由
得：，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析，定值为
解：（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，
令，得，由题意可得，解得，．
求椭圆的方程为；
（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，
，，，， 联立，得．
，， 由，得，
，
，
直线的方程为，令，解得，
则，，同理可得，，
典例3、答案：（1）；（2）最小值是.
解:（1）由题意，解得，因此，椭圆的标准方程为；
（2）设点、，设直线的方程为，
由得，，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，令得，
同理， 所以，
令，则，
当且仅当时，即当时，取最小值.
典例4、答案： （1）； （2）面积的最大值为，直线的方程为： 或； （3）
解：（1）由题知，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2
则，，又 解得：，
椭圆的方程为：
（2）由椭圆的方程知，当过点P的直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点，
所以直线的斜率存在，设过点P的直线的斜率为
则直线的方程为：，，
由（1）可得椭圆的方程为：
联立直线方程与椭圆方程：得：
解得：，即 ，
设点到直线的距离为，则

令且得：，
当且仅当，即时取等号 此时，，即
所以面积的最大值为
直线的方程为：或
（3）设，，由题意知，直线的斜率不为，
则直线的方程为：
由（1）知椭圆方程为
联立直线与椭圆的方程：， 得
所以 即
所以 同理可得：，
设，则 即
化简得： 即 所以直线l的斜率为
随堂练习：答案： （1）； （2）或
解：（1）因为椭圆过点，且离心率为，
所以，解得， 所以椭圆的方程为；
（2）显然，直线的斜率存在，
①当时，可设直线的方程为由可设，
则，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为；
②当时，可设直线的方程为即，，
联立，消去整理得，
由，得（*），则有，
于是可得的中点为即，
因为，所以，化简得，
结合（*）可得解得，
又到直线的距离为
所以， 即，
所以，当时，取最大值，
此时由可得，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
典例5、答案：（1） （2）横坐标的取值范围为，的最大值为2
解：（1）由题意，可得，，得，解得：．
椭圆C的标准方程为．
（2）解法1：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∵线段MN的中点坐标为， ∴圆的方程为．
令，则．
∵，∴， ∴．
∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解， ∴，解得．
设交点坐标分别为，，则．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法2：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
若以MN为直径的圆与x轴相交，则，
即，即．
∵， ∴，代入得到，解得．
该圆的直径为；
圆心到x轴的距离为；
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法3：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为 同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∴．
圆心到x轴的距离为．
若该圆与x轴相交，则，即．
∵，∴，∴，解得．
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为，
点M的坐标为，点N的坐标为．
由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴AP的直线方程为，BP的直线方程为．
令，分别可得，．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
∵， ∴．
．
∵， ∴，代入得到，
∴． ∴．∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法5：设直线OP与交于点T．
∵轴， ∴有，．
∴，，即T是MN的中点．
又设点P的坐标为，则直线OP方程为．
令，得，∴点T的坐标为．
而，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
则，即．
∵，∴， ∴，解得或．
∵，∴， ∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
随堂练习：答案：（1）；（2）；（3）．
解:（1）设椭圆（）的离心率为，
可知，又因为，所以．
由定点在椭圆上可得，故，．
所以椭圆的方程为．
（2）当直线与轴垂直时，设（），则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得．
所以，．
由直线与的斜率之和为1可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②， 并整理得，
分解因式可得，
因为直线：不经过点，所以，故．
所以直线的方程为，经过定点． 综上所述，直线经过定点．
（3）由（2）可得：，．
因为坐标原点到直线的距离为，
所以的面积（）．
令，则，且，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．
典例6、答案： （1）；（2）或.
解:（1）椭圆C的半焦距c，，即，
则椭圆方程为，即，设，
则，
当时，有最大值，即，解得， ，
故椭圆方程是；
（2）设，，，直线AB的方程为，
由，整理得，
则，解得，，，
因且，则，
于是有，化简，得，
则，即， 所以，
由得，则，，
而点P在椭圆上，即，化简得，
从而有，而，
于是得，解得或，
故实数t的取值范围为或.
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设，，则．
设，则，．
由题意，得解得
所以，化简得，
即曲线C的方程为．
（2）由题意并结合（1）易知（不妨设点A在第一象限内），，．
设点，其中，则，，
所以．
因为斜率为k的直线经过点G，所以直线的方程为．
将直线的方程代入曲线C的方程化简、整理，
得：．
设，，则，，
所以
，
所以．
因为的值与m的值无关，
所以，解得．