圆锥曲线的方程（一）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案）

这是一份圆锥曲线的方程（一）讲义——2025届高三数学专项复习（含答案），共14页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一
知识点一 求椭圆中的最值问题
典例1、如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、 两点.
（1）若，且 求椭圆的离心率.
（2）若，求的最大值和最小值.
随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．
（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．
典例2、已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值
随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点，且经过点．
（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点，求的面积的最大值．
典例3、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
随堂练习：已知椭圆经过点和点．
（1求椭圆的标准方程和离心率；
（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．
知识点二 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数
典例4、已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
随堂练习：已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
典例5、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，
且，．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与
点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.
（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
（2）曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.

典例6、已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为， 与双曲线交于A，两点，求的值．
随堂练习：已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时一答案
典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.
解:（1）， 因为。所以， 所以，
所以
（2）由于，得，则.
①若垂直于轴，则， 所以，
所以
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由 得
，方程有两个不等的实数根.
设，.,
=
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
随堂练习：答案：（1）；（2）2.
解:（1）依题意可知，解得 故椭圆的方程为．
（2）延长交E于点，由（1）可知，
设，设的方程为，由得，故．
设与的距离为d，则四边形的面积为S，
，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为2．
典例2、答案：（1）（2）
解:（1）∵∴，a=4， 椭圆的标准方程为；
（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得，
设P，Q，则
∴三角形APQ面积为：，
令
∵函数y=x+在上单调递增
∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值.
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）因为椭圆的焦点为且过，所以
所以，，所以椭圆方程为：；
（2）因为，
因为，
所以，此时P点位于短轴端点处
典例3、答案：（1）；（2）见解析
解: （1）对于，当时，，即，当，，即，
椭圆的方程为，
（2）证明：设直线，（）， 设，两点的坐标分别为，，则，
联立直线与椭圆得， 得，
，解得 ，，
， 直线 ，
令，得 ，
直线过定点
随堂练习：答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为 （2）证明见解析
解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，
所以，椭圆的标准方程为，离心率为.
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得， 可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由已知，则
，
所以，，即，解得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；
②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，
由已知可得， ，，由已知，
则，所以，，因为，解得，
此时直线的方程为，则直线过点. 综上所述，直线过定点.
典例4、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）不妨设 , 因为,
从而 故由 , 又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：
（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且 , 化简得 ,
故由 , 同理可求,,
所以 又因为原点到直线的距离,
所以,又由 所以,
故的面积是为定值,定值为
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离为． 因为双曲线C的离心率为，
所以，解得， 所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，， 联立，得，，
所以，．
由， 解得t＝1（负值舍去），
所以，． 直线l：，所以原点O到直线l的距离为，
， 所以△OAB的面积为．
典例5、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得， 则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，
，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴， 则，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范围是．

随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：如图，由点与关于对称，

则，，故为定值.
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，
设双曲线方程为 ，，
所以双曲线方程为；
（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，由，设.
，由于P点在双曲线上
又同理，设的倾斜角为，
则.
由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，； .
典例6、答案： （1） （2）6
解：（1）设所求双曲线方程为， 代入点得：，即，
双曲线方程为，即；
（2）由（1）知：，， 即直线的方程为，
设，， 联立，得，
满足，且，，
由弦长公式得.
随堂练习：答案： （1）；（2）证明见解析.
解:（1）设双曲线方程为 由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为代入
整理得，设 所以：
由弦长公式得：
设AB的中点 则， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得，即，所以：为定值.