2025高考数学总复习专项复习（讲义）--一元函数的导数及其应用专题四（含解析）

这是一份2025高考数学总复习专项复习（讲义）--一元函数的导数及其应用专题四（含解析），共18页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
2025年高考导数复习专题四
知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点
典例1、已知函数f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．
（1）若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程；
（2）讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数．
随堂练习：已知函数．
（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）判断函数的零点个数，并说明理由.
典例2、已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论在区间上的零点个数.
随堂练习：已知函数.
（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；
（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围.
典例3、已知函数，其中为常数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上只有一个零点，求的取值范围.
随堂练习：已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.
知识点二 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
典例4、已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求的值； （2）函数在区间上存在零点，求的值；
（3）记函数，设（）是函数的两个极值点，若，
且恒成立，求实数的最大值.
随堂练习：已知函数
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）若，判断函数的零点的个数.
典例5、已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求k的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，
且恒成立，求实数k的取值范围.
随堂练习：已知函数，设．
（1）若，求的最小值
（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）若直线是曲线的一条切线，求证：，都有．
典例6、已知函数，（）.
（1）求函数在点（e，e）处的切线方程；
（2）已知，求函数极值点的个数；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=3时，设函数，证明：对于任意的k<1，函数有且只有一个零点．
2024年高考导数复习专题四答案
典例1、答案：（1） （2）当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点.
解：（1）当时，，，
则曲线在处切线的斜率为，
又，故切点为，因此切线方程为.
（2）首先证明：当时，. 证明：设，，则，单调递增，
于是，即原不等式得证.，，
当时，， 故在上单调递增.
若，则当时，，单调递增，
又，故此时有且仅有1个零点. 若，则，
又，
所以在上存在唯一的零点，，当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，
且，，因此在上有2个零点.
综上，当时，有且仅有1个零点；当时，有有2个零点.
随堂练习：答案：（1） （2）在区间上有且仅有一个零点，理由见解析
解：（1）， 所以函数的图象在处的切线方程为，
即.
（2）设，则，
①当时，，所以单调递减；且，，
由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，，
所以在上单调递增，
且， ，所以在上有唯一零点；
当时，单调递减，且，所以在上没有零点.

②当时， 单调递增，， ，
所以在区间有唯一零点，设为，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
在区间上，此时单调递减，
且，故有，此时单调递减，且，
由，得， 所以.
当时， ，所以单调递增，
又，故，
，，
所以存在，使，即，故为的极小值点.
此时. 所以在上没有零点.
③当时，，
所以，所以在区间上没有零点.
综上在区间上有且仅有一个零点.
典例2、答案：（1） （2）见解析
解：（1）当时， ，即切点的坐标为
切线的斜率
切线的方程为： 即
（2）
令 ，解得 ，在上递增 同理可得，在上递增上递减

讨论函数零点情况如下：
（Ⅰ）当，即时，函数无零点，在上无零点
（Ⅱ） 当，即时，函数在上有唯一零点，而，
在上有一个零点
（Ⅲ）当，即时，由于，

当时，即时， ，
由函数的单调性可知，函数在上有唯一零点，在上有唯一零点，
在有两个零点
当，即时，，而且 ，
由函数单调性可知，函数在上有唯一零点，
在上没有零点，从而在有一个零点
综上所述，当时，函数在有无零点
当或时，函数在有一个零点
当时，函数在有两个零点
随堂练习：答案： （1）； （2）．
解: 由已知函数定义域是，
（1），， 由解得（舍去），
又，所以切线方程为，即；
（2）， 易知只有一个极值点，要使得有两个零点
则，即，此时在上，递减，
在上，递增， 在时取得极小值，
所以解得． 综上的范围是．
典例3、 （1）； （2）.
解: （1）当时，，
对函数求导可得，
所以， 又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，
因为，所以， 所以，所以，
所以， 故函数在区间上单调递增.
因为函数在区间上只有一个零点，
结合零点存在定理可得， 解得，即的取值范围是.
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）, ，
则， 故所求切线方程为；
（2）， 当时，对恒成立 ，
则在上单调递增，从而，则，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则 ，
当时， 对恒成立，则在上单调递减，
在（1，2）内没有零点 ， 综上，a的取值范围为（0，1）.
典例4、答案： （1） （2）或 （3）
解：（1）因为曲线在处的切线方程为，所以切点为，
所以，得
（2）由（1）得，则，当时，，当时，，
所以在上递减，上递增， 所以当时，取得极小值，
因为， 所以在区间上存在一个零点，此时，
因为，
所以在区间上存在一个零点，此时， 综上或
（3）， 则，
由，得， 因为（）是函数的两个极值点，
所以方程有两个不相等的正实根， 所以，， 所以，
因为，所以，解得或， 因为，所以，
所以
令，则，所以在上单调递减，
所以当时，取得最小值，即，
所以， 所以实数的最大值为
随堂练习：答案： （1）；（2）；（3）当时，函数恰有1个零点．
解：（1）若，则，
所以，所以，所以切线方程为
（2）依题意，在区间上 因为，．
令得，或． 若，则由得，；由得，．
所以，满足条件；
若，则由得，或；由得， ，
依题意，即，所以．
若，则． 所以在区间上单调递增，，不满足条件； 综上，．
（3），．
所以．设，．
令得． 当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．所以的最小值为．
因为，所以．所以的最小值．
从而，在区间上单调递增． 又，
设． 则．令得．由，得；
由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．所以．
所以恒成立．所以，．
所以．
又，所以当时，函数恰有1个零点．
典例5、答案： （1） （2）或 （3）
解：（1）因为，所以，切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2），， 当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时． 综上，的值为0或3；
（3）函数，，所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
，，， 又，，，解得，
，
构造函数，， 所以，在上单调递减；
所以当时，， 所以．
随堂练习：答案： （1）0 （2） （3）证明见解析
解：（1）当时，， 令．
列表如下：
所以的最小值为0
（2），
当时，单调递减；当时，单调递增，
， 要使有两个零点，首先必有
当时，注意到，
在和上各有一个零点，符合题意， 综上：取值范围为．
（3）由题得，，设与切于，
，，
要证：，需证：
即证：，即证：．
令，需要证明：，．
构造，，在上单调递增， ，证毕．
典例6、 答案：（1） （2）答案见解析 （3）
解：（1）由已知，所以，所以，切线斜率，
所以函数在，点处的切线方程为，即.
（2）， 令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
由得，
所以当时，由，
函数有两个变号零点，函数有两个极值点.
当时，函数有一个变号零点，函数有一个极值点.
当时，函数没有变号零点，函数没有极值点.
（3）不等式等价于.
令，
则在上恒成立，所以必须有，
所以. 又，
显然当时，，则函数在上单调递增，
所以，所以. 综上可知，的取值范围为.
随堂练习：答案：（1）； （2）； （3）证明见解析.
解：（1）由求导得：，则，而，
所以函数在处的切线方程为：，即.
（2），，令，
求导得：，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，
则有，所以a的取值范围是.
（3）当a=3时，，由k<1得，
当时，，即函数在上单调递增，而，，
即函数在上有唯一零点，因此，函数在上有唯一零点，
当时，令，则，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，因此，函数在上没有零点，
综上得，函数在R上有唯一零点，
所以对于任意的k<1，函数有且只有一个零点．
单调递减
极小值0
单调递增