上海市嘉定区2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份上海市嘉定区2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若点A(2，3)在函数y=kx的图象上，则下列各点在此丽数图象上的是（ ）
A．(1，)B．(2，-3)C．(4，5)D．(-2，3)
2、（4分）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
A．10cmB．15cmC．10cmD．20cm
3、（4分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=1．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10B．12C．16D．11
4、（4分）下列式子正确的是（ ）
A．若，则x＜yB．若bx＞by，则x＞y
C．若，则x=yD．若mx=my，则x=y
5、（4分）直线y=x+1与y=–2x–4交点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6、（4分）下列命题正确的是（）．
A．任何事件发生的概率为1
B．随机事件发生的概率可以是任意实数
C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
D．不可能事件在一次实验中也可能发生
7、（4分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+B．4+C．4D．-1+
10、（4分）合作小组的4位同学在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则B坐在2号座位的概率是 ．
11、（4分）在△ABC中，BC=a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1=1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2=1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为______________.
12、（4分）如图，，的垂直平分线交于点，若，则下列结论正确是______（填序号）① ②是的平分线 ③是等腰三角形 ④的周长.
13、（4分）如果将直线平移，使其经过点，那么平移后所得直线的表达式是__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：
（1）；
（2）
15、（8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，
（1）按下列要求完成尺规作图：作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；连接BO并延长至D，使得OD=OB；连接DA、DC（保留作图痕迹，请标明字母）；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
16、（8分）某商店第一次用6000元购进了练习本若干本，第二次又用6000元购进该款练习本，但这次每本进货的价格是第一次进货价格的1.2倍，购进数量比第一次少了1000本．
（1）问：第一次每本的进货价是多少元？
（2）若要求这两次购进的练习本按同一价格全部销售完毕后获利不低于4500元，问每本售价至少是多少元？
17、（10分）（1）计算：
（2）解方程： (2 x 1)( x  3)  4
18、（10分）某工厂现有甲种原料263千克，乙种原料314千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共100件．生产一件产品所需要的原料及生产成本如下表所示：
（1）该工厂现有的原料能否保证生产需要？若能，有几种生产方案？请你设计出来．
（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中生产A产品x件，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若，则y _______（填“是”或“不是”）x的函数.
20、（4分）分解因式：m2 n mn =_____。
21、（4分）一次函数y=(m-3)x+5的函数值y随着x的增大而减小，则m的取值范围_______．
22、（4分）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(a＞b)，M是BC边上一个动点，联结AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转恰好至△NGF．给出以下三个结论：①∠AND＝∠MPC； ②△ABM≌△NGF；③S四边形AMFN＝a1+b1．其中正确的结论是_____(请填写序号)．
23、（4分）已知，则代数式________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
25、（10分）如图，在正方形中，对角线上有一点，连结，作交于点．过点作直线的对称点，连接
求证：
求证：四边形为平行四边形；
若有可能成为菱形吗?如果可能，求此时长；如果不可能，请说明理由．
26、（12分）如果P 是正方形ABCD 内的一点，且满足∠APB＋∠DPC＝180°，那么称点P 是正方形 ABCD 的“对补点”.
（1）如图1，正方形ABCD 的对角线AC，BD 交于点M，求证：点M 是正方形ABCD 的对补点；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A（1，1），C（3，3）.除对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由点A的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征逐一验证四个选项中的点是否在该函数图象上即可得出结论．
【详解】
将A（2，3）代入y=kx，得：3=2k，
∴k=，
∴一次函数的解析式为y=x．
当x=1时，y=×1=，
∴点（1，）在函数y=的图象上；
当x=2时，y=×2=3，
∴点（2，-3）不在函数y=的图象上；
当x=4时，y=×4=6，
点（4，5）不在函数y=的图象上；
当x=-2时，y=×（-2）=-3，
点（-2，3）不在函数y=的图象上．
故选：A．
考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征逐一验证四个选项中的点是否在该函数图象上是解题的关键．
2、D
【解析】
根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长；设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可求出r；接下来根据圆锥的母线长、底面圆的半径以及圆锥的高构成直角三角形，利用勾股定理可计算出圆锥的高.
【详解】
过O作OE⊥AB于E，如图所示.
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE= OA=30cm，
∴弧CD的长==20π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，
解得r=10，
∴由勾股定理可得圆锥的高为：cm.
故选D.
本题考查了勾股定理，扇形的弧长公式，圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
3、C
【解析】
首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．
【详解】
作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,
又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE=×2×1=1，
∴S阴=1+1=16，
故选C．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．
4、C
【解析】
A选项错误，，若a＞0，则x＜y；若a＜0，则x＞y；
B选项错误，bx＞by，若b＞0，则x＞y；若b＜0，则x＜y；
C选项正确；
D选项错误，当m=0时，x可能不等于y.
故选C.
点睛：遇到等式或者不等式判断正误，可以采用取特殊值代入的方法.
5、C
【解析】
试题分析：直线y=x+1的图象经过一、二、三象限，y=–2x–4的图象经过二、三、四象限，所以两直线的交点在第三象限．故答案选C.
考点：一次函数的图象.
6、C
【解析】
根据随机事件、不可能事件的定义和概率的性质判断各选项即可．
【详解】
A中，只有必然事件概率才是1，错误；
B中，随机事件的概率p取值范围为：0＜p＜1，错误；
C中，可能性很小的事件，是有可能发生的，正确；
D中，不可能事件一定不发生，错误
故选：C
本题考查事件的可能性，注意，任何事件的概率P一定在0至1之间．
7、D
【解析】
此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【详解】
由题意可列方程是：.
故选：D.
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于列出方程
8、C
【解析】
试题分析：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．符合条件的只有选项C，故答案选C．
考点：二次函数和一次函数的图象及性质．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、A
【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【详解】
如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（- ，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-|=，
整理得t2-2t-4=0，解得t1= ，t2=1- （不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故选A．
本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
10、．
【解析】
根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵坐到1，2，3号的坐法共有 6 种方法：BCD、BDC、CBD、CDB、DBC、DCB，其中有 2 种方法（CBD、DBC）B坐在2号座位，
∴B坐在2号座位的概率是．
11、
【解析】
根据平行四边形的判定定理得到四边形A1C1CD1为平行四边形，根据平行四边形的性质得到A1D1=C1C，总结规律，根据规律解答．
【详解】
∵A1C1∥AC，A1D1∥BC，
∴四边形A1C1CD1为平行四边形，
∴A1D1=C1C=a=，
同理，四边形A2C2C1D2为平行四边形，
∴A2D2=C1C2=a=，
……
∴线段AnDn=，
故答案为：．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12、①②③④
【解析】
由△ABC中，∠A=36°，AB=AC，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得∠C的度数；又由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形，继而可求得∠ABD与∠DBC的度数，证得BD是∠ABC的平分线，然后由∠DBC=36°，∠C=72°，证得∠BDC=72°，易证得△DBC是等腰三角形，个等量代换即可证得④△BCD的周长=AB+BC．
【详解】
∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C==72°，
故①正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD是∠ABC的平分线；
故②正确；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BC=BD，
∴△DBC是等腰三角形；
故③正确；
∵BD=AD，
∴△BCD的周长=BD+BC+CD=AC+BC=AB+BC，
故④正确；
故答案为：①②③④．
本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
13、
【解析】
根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=x+b，然后将点（0，2）代入即可得出直线的函数解析式．
【详解】
解：设平移后直线的解析式为y=x+b，把（0，2）代入直线解析式得解得 b=2，
所以平移后直线的解析式为．
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线y=kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）（2）
【解析】
(1)按顺序分别进行二次根式的化简，绝对值的化简，然后再进行合并即可；
(2)按顺序进行分母有理化、利用平方差公式计算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
(1) 原式
；
(2)原式
.
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
15、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
（1）利用线段垂直平分线的作法得出l；利用延长线的作法得出D点位置；连接DA、DC即可；
（2）利用线段垂直平分线的定义和已知得出BO=DO，AO=CO，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据∠ABC=90°，即可得到四边形ABCD是矩形．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）四边形ABCD是矩形，
理由：∵线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
∴AO=CO，
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
此题主要考查了复杂作图—线段的垂直平分线以及矩形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
16、（1）第一次每本的进货价是1元；（2）：每本售价为1.2元．
【解析】
（1）设第一次每本的进货价是x元，根据提价之后用6000元购进数量比第一次少了1000本，列方程求解；
（2）设售价为y元，根据获利不低于4200元，列不等式求解
【详解】
解：（1）设第一次每本的进货价是x元， 由题意得：=1000， 解得：x=1．
答：第一次每本的进货价是1元；
（2）设售价为y元， 由题意得，（6000+2000）y﹣12000≥4200， 解得：y≥1．2．
答：每本售价为1．2元．
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用
17、（1）；（2），.
【解析】
（1）先化成最简二次根式，再合并其中的同类二次根式即可；
（2）先化成一元二次方程的一般形式，再用公式法求解.
【详解】
解：（1）
=
=
=.
（2）原方程可变形为：
由一元二次方程的求根公式，得：，
∴，.
∴原方程的解为：，.
本题考查了二次根式的混合运算和一元二次方程的解法，解题的关键是熟知二次根式的混合运算法则和一元二次方程的求解方法.
18、（1）生产A、B产品分别为24件，76件；25件，75件；1件，2件．（2）17920元．
【解析】
（1）设生产A产品x件，则生产B产品（100﹣x）件．依题意列出方程组求解，由此判断能否保证生产．
（2）设生产A产品x件，总造价是y元，当x取最大值时，总造价最低．
【详解】
解：（1）假设该厂现有原料能保证生产，且能生产A产品x件，则能生产B产品（100﹣x）件．
根据题意，有，
解得：24≤x≤1，
由题意知，x应为整数，故x＝24或x＝25或x＝1．
此时对应的100﹣x分别为76、75、2．
即该厂现有原料能保证生产，可有三种生产方案：
生产A、B产品分别为24件，76件；25件，75件；1件，2件．
（2）生产A产品x件，则生产B产品（100﹣x）件．根据题意可得
y＝120x+200（100﹣x）＝﹣80x+20000，
∵﹣80＜0，
∴y随x的增大而减小，从而当x＝1，即生产A产品1件，B产品2件时，生产总成本最底，最低生产总成本为y＝﹣80×1+20000＝17920元．
本题是方案设计的题目，考查了一次函数的应用及一元一次不等式组的应用的知识，基本的思路是根据不等关系列出不等式（组），求出未知数的取值，根据取值的个数确定方案的个数，这类题目是中考中经常出现的问题，需要认真领会．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、不是
【解析】
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，据此即可判断.
【详解】
对于x的值，y的对应值不唯一，故不是函数，
故答案为：不是.
本题是对函数定义的考查，熟练掌握函数的定义是解决本题的关键.
20、n（m-）2
【解析】
原式提取n，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：原式=n（m2-m+）=n（m-）2，
故答案为：n（m-）2
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21、m<1
【解析】
一次函数y=kx+b（k≠2）的k＜2时，y的值随x的增大而减小,据此可解答.
【详解】
∵一次函数y=（m-1）x+5，y随着自变量x的增大而减小，
∴m-1＜2，
解得:m＜1,
故答案是：m＜1．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞2，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜2，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=2．函数值y随x的增大而减小⇔k＜2；函数值y随x的增大而增大⇔k＞2.
22、①②③．
【解析】
①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，可知∠DAM=∠AND，②根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；③由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM1=a1+b1；
【详解】
①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴∠BAM+∠DAM=90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
∴∠DAM=∠AND，故①正确，
②∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴GN=ME，
∵AB=a，ME=a，
∴AB=ME=NG，
在△ABM与△NGF中，AB=NG=a，∠B=∠NGF=90°，GF=BM=b，
∴△ABM≌△NGF；故②正确；
③∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴AM=AN，
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴NF=MF，
∵△ABM≌△NGF，
∴AM=NF，
∴四边形AMFN是矩形，
∵∠BAM=∠NAD，
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
∴∠NAM=90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∵在Rt△ABM中，a1+b1=AM1，
∴S四边形AMFN=AM1=a1+b1；故③正确
故答案为①②③．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，正确的理解题意是解题的关键．
23、1
【解析】
根据二次根式有意义的条件得到a≥1，根据绝对值的性质把原式化简计算即可．
【详解】
由题意得，a-1≥0，
解得，a≥1，
则已知等式可化为：a-2018+=a，
整理得，=2018，
解得，a-1=20182，
∴a-20182=1，
故答案是：1．
考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式＝
=，
当a＝+1时，原式＝．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
（1）利用对称的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，从而可证明结论；
（2）根据点与点关于直线对称，推出，再根据正方形的性质得出，从而推出，再利用（1）中结论，得出，可得出，推出，继而证明结论；
（3）过点作于点于点，根据已知条件结合示意图可证明，得到，又因为，继而得出，当四边形为菱形时，为等边三角形，从而得出，设， 则，，再结合AB=4求x的值，进一步计算即可得出答案．
【详解】
解：证明：点与点关于直线对称，
，，
四边形为正方形，
，
；
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
∴∠GEC＝∠BCE＝∠CGE＝45°，
，
，
由得，
，
，
，
四边形为平行四边形；
如图所示，过点作于点于点，连接DE，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为正方形，
关于对称，
，
，
当四边形为菱形时，，
为等边三角形，
，
设，则，
，
，
四边形为正方形，，
，
，
.
本题是一道关于正方形的综合题目，涉及的知识点有正方形的性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、点关于直线对称的性质、全等三角形的判定及性质等．
26、（1）证明见解析；
（2）对补点如：N（，）．证明见解析
【解析】
试题分析：(1)根据正方形的对角线互相垂直,得到∠DMC＝∠AMB＝90°,从而得到点M是正方形ABCD的对补点.(2) 在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上
除（2，2）外的任意点均可,通过证明△DCN≌△BCN,得到∠CND＝∠CNB,利用邻补角的性质即可得出结论.
试题解析：
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD．
∴ ∠DMC＝∠AMB＝90°.
即 ∠DMC＋∠AMB＝180°．
∴ 点M是正方形ABCD的对补点．
（2）对补点如：N（，）．
说明：在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上
除（2，2）外的任意点均可.
证明（方法一）：
连接AC ，BD
由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．
设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，
把点A（1，1），C（3，3）分别代入，
可求得直线AC的解析式为：y＝x．
则点N（，）是直线AC上除对角线交点外的一点，且在正方形ABCD内.
连接AC，DN，BN，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DC＝BC，∠DCN＝∠BCN．
又∵ CN＝CN，
∴ △DCN≌△BCN．
∴ ∠CND＝∠CNB．
∵ ∠CNB＋∠ANB＝180°，
∴ ∠CND＋∠ANB＝180°．
∴ 点N是正方形ABCD的对补点．
证明（方法二）：
连接AC ，BD，
由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．
设点N是线段AC上的一点（端点A，C及对角线交点除外），
连接AC，DN，BN，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DC＝BC，∠DCN＝∠BCN．
又∵ CN＝CN，
∴ △DCN≌△BCN．
∴ ∠CND＝∠CNB．
∵ ∠CNB＋∠ANB＝180°，
∴ ∠CND＋∠ANB＝180°．
∴ 点N是正方形ABCD除对角线交点外的对补点．
设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，
把点A（1，1），C（3，3）分别代入，可求得直线AC的解析式为：y＝x．
在1＜x＜3范围内，任取一点均为该正方形的对补点，如N（，）．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲种原料（单位：千克）
乙种原料（单位：千克）
生产成本（单位：元）
A产品
3
2
120
B产品
2.5
3.5
200