四川省成都十八中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份四川省成都十八中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．5，6，7
2、（4分）河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是12.7%B．众数是15.3%
C．平均数是15.98%D．方差是0
3、（4分）四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD是平行四边形，需要补充的一个条件（ ）
A．AD=BCB．AB=CDC．∠DAB=∠ABCD．∠ABC=∠BCD
4、（4分）如图，直线与直线交于点，关于x的不等式的解集是( )
A．B．C．D．
5、（4分）下列函数中是一次函数的是
A．B．
C．D．
6、（4分）如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A．，B．
C．，，D．，
7、（4分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：29，30，25，27，25，则这组数据的中位数与众数分别是（ ）
A．25；25 B．29；25 C．27；25 D．28；25
8、（4分）函数y=x-1的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________.
10、（4分）如图，在平行四边形中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是____________．
11、（4分）如图，四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是（m，0），（0，n），（1，0），（0，2），则mn=_____．
12、（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，CF平分∠DCE，交AD于F，则AF的长为______．
13、（4分）在实数范围内分解因式：3x2﹣6＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）王大伯计划在自家的鱼塘里投放普通鱼苗和红色鱼苗，需要购买这两种鱼苗2000尾，购买这两种鱼苗的相关信息如下表：
设购买普通鱼苗x尾，养殖这些鱼苗的总费用为y元.
（1）写出y（元）与x（尾）之间的函数关系式；
（2）如果购买每种鱼苗不少于600尾，在总鱼苗2000尾不变的条件下，养殖这些鱼苗的最低费用是多少？
15、（8分）对于实数、，定义一种新运算“※”为：．
例如：，
．
（1）化简：．
（2）若关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值．
16、（8分）计算：（）﹣（）．
17、（10分）如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝ cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝ cm时，四边形CEDF是菱形．
18、（10分）某学校八年级七班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为10人到40人之间，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人120元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠．
（1）若用x表示乘车人数，请用x表示选择甲、乙旅行社的费用y甲与y乙；
（2）请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）用反证法证明：“三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中_____．
20、（4分）一种盛饮料的圆柱形杯子（如图），测得它的内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管放进杯子里，杯口外面至少要露出5.2 cm，则吸管的长度至少为_______cm．
21、（4分）如图，一次函数y=-2x+2的图象与轴、轴分别交于点、，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且，则点C坐标为_____.
22、（4分）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠ADM的度数是_____．
23、（4分）如图，平分，，，则______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
25、（10分）已知如图，在正方形中，为的中点，，平分并交于.求证：
26、（12分）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F，
（1）根据题意补全图形；
（2）求证：DE=BF．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【详解】
解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形；
B、42+52≠62，故不能构成直角三角形；
C、52+122＝132，故能构成直角三角形；
D、52+62≠72，故不能构成直角三角形．
故选C．
本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2、B
【解析】
分析：直接利用方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义分别分析得出答案．
详解：A、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%，
故中位数是：15.3%，故此选项错误；
B、众数是15.3%，正确；
C、（15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%）=14.98%，故选项C错误；
D、∵5个数据不完全相同，
∴方差不可能为零，故此选项错误．
故选：B．
点睛：此题主要考查了方差的意义以及平均数的求法和中位数、众数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
3、B
【解析】
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】
∵AB∥CD，∴只要满足AB=CD，可得四边形ABCD是平行四边形，故选：B．
考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4、A
【解析】
找到直线函数图像在直线的图像上方时x的取值范围即可.
【详解】
解：观察图像可知，不等式解集为：，
故选A.
本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数图像的角度看，就是确定直线在另一条直线上（或下）方部分时，x的取值范围.
5、D
【解析】
根据形如k、b是常数的函数是一次函数即可解答．
【详解】
选项A是反比例函数；选项B是二次函数；选项C是二次函数；选项D是一次函数.
故选D．
本题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数解析式y=kx+b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
6、A
【解析】
根据正方形的判定定理即可求解.
【详解】
A∵，∴四边形ABCD为矩形，
由，所以矩形ABCD为正方形，
B. ，四边形ABCD为菱形；
C. ，，，四边形ABCD为菱形；
D. ，，不能判定四边形ABCD为正方形,
故选A.
此题主要考查正方形的判定，解题的关键是熟知正方形的判定定理.
7、C
【解析】25出现了2次，出现的次数最多，
则众数是25；
把这组数据从小到大排列25，25，27，29，30，最中间的数是27，
则中位数是27；
故选C．
8、D
【解析】
∵一次函数解析式为y=x-1，
∴令x=0，y=-1．
令y=0，x=1，
即该直线经过点（0，-1）和（1，0）．
故选D．
考点：一次函数的图象．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、+2
【解析】
如图，在BC上截取BD=AC=2，连接OD，
∵四边形AFEB是正方形，
∴AO=BO，∠AOB=∠ACB=90°，
∴∠CAO=90°-∠ACH，∠DBO=90°-∠BHO，
∵∠ACH=∠BHO，
∴∠CAO=∠DBO，
∴△ACO≌△BDO，
∴DO=CO=，∠AOC=∠BOD，
∵∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOD+∠AOC=90°，即∠COD=90°，
∴CD=，
∴BC=BD+CD=.
故答案为：.
点睛：本题的解题要点是，通过在BC上截取BD=AC，并结合已知条件证△ACO≌△BDO来证得△COD是等腰直角三角形，这样即可求得CD的长，从而使问题得到解决.
10、3
【解析】
根据角平分线的作图和平行四边形的性质以及等腰三角形的判定和性质解答即可．
【详解】
由作图可知：BH是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠GBC，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AG=AB=4，
∴GD=AD=AG=7-4=3，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠H=∠ABH=∠AGB，
∵∠AGB=∠HGD，
∴∠H=∠HGD，
∴DH=GD=3，
故答案为：3.
此题考查角平分线的做法，平行四边形的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ABG=∠GBC是解题关键．
11、1 ．
【解析】
分析：根据菱形的对角线互相垂直平分得出OA=OC，OB=OD，得出m和n的值，从而得出答案．
详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD， ∴m=－1，n=－1，∴mn=1．
点睛：本题主要考查的是菱形的性质，属于基础题型．根据菱形的性质得出OA=OC，OB=OD是解题的关键．
12、a
【解析】
找出正方形面积等于正方形内所有三角形面积的和求这个等量关系，列出方程求解，求得DF，根据AF=a-DF即可求得AF．
【详解】
作FH⊥CE，连接EF，
∵∠FHC=∠D=90°，∠HCF=∠DCF，CF=CF
∴△CHF≌△CDF，
又∵S正方形ABCD=S△CBE+S△CDF+S△AEF+S△CEF，
设DF=x，则a2= CE•FH
∵FH=DF，CE= ，
∴整理上式得：2a-x= x，
计算得：x= a．
AF=a-x= a．
故答案为a．
本题考查了转换思想，考查了全等三角形的证明，求AF，转化为求DF是解题的关键．
13、3（x+）（x﹣）
【解析】
先提取公因式3，然后把2写成2，再利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】
3x2-6，
=3（x2-2），
=3（x2-2），
=3（x+）（x-）．
故答案为：3（x+）（x-）．
本题考查了实数范围内分解因式，注意把2写成2的形式继续进行因式分解．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）养殖鱼苗的最低费用是3300元
【解析】
（1）根据题意和表格中的数据可以写出y与x的函数关系式，本题得以解决；
（2）根据题意和（1）中的关系式，利用一次函数的性质可以解答本题．
【详解】
（1）设普鱼苗为x尾，则红色鱼苗为尾，
∴；
（2）由题意知：，
∴解得，
∵函数，y随x值的增大而减小，
∴当时，y的值最小，
∴，
∴养殖鱼苗的最低费用是3300元.
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15、（1）；（2）的值为1．
【解析】
（1）根据定义运算列出分式，然后进行化简计算；
（2）根据定义运算列出方程并进行化简整理，然后利用一元二次方程根的判别式列方程求解即可．
【详解】
解：（1）
（2）由题意得：
化简整理得：
由题意知：且
化简得：
∴（舍），
∴的值为1．
本题考查分式的化简和一元二次方程根的判别式，正确理解题意准确进行计算是解题关键．
16、
【解析】
分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．
详解：原式=
=
点睛：本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
17、（1）见解析；（2）①7；②1．
【解析】
(1)根据平行四边形的性质得出CF平行ED,再根据三角形的判定方法判定△CFG≌△EDG,从而得出FG=CG,根据平行四边形的判定定理,即可判断四边形CEDF为平行四边形.
(2)①过A作AM⊥BC于M，根据直角三角形边角关系和平行四边形的性质得出DE＝BM，根据三角形全等的判定方法判断△MBA≌△EDC,从而得出∠CED＝∠AMB＝90°，根据矩形的判定方法,即可证明四边形CEDF是矩形.
②根据题意和等边三角形的性质可以判断出CE=DE,再根据菱形的判定方法,即可判断出四边形CEDF是菱形.
【详解】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∵AE＝7，
∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：7；
②当AE＝1时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝10，AE＝1，
∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：1．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，平行四边形的性质和三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定方法，找到各个量之间存在的关系.
18、（1）y甲=0.75×120x=90x，y乙=0.8×120（x-1）=96x-96；（2）当人数为10-16人时，选择乙旅行社合算；当人数16-40人时，选择甲旅行社合算；当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．
【解析】
（1）设共有x人由题意得：甲旅行社的花费=120×人数×七五折；乙旅行社的花费=120×（人数-1）×八折；
（2）分三种情况：①y甲=y乙时，②y甲＞y乙时，③y甲＜y乙时，分别列出方程或不等式进行计算即可．
【详解】
（1）设共有x人，则
y甲=0.75×120x=90x，
y乙=0.8×120（x-1）=96x-96；
（2）由y甲=y乙得，90x=96x-96，
解得：x=16，
y甲＞y乙得，90x＞96x-96，
解得：x＜16，
y甲＜y乙得，90x＜96x-96，
解得：x＞16，
所以，当人数为10-16人时，选择乙旅行社合算；当人数16-40人时，选择甲旅行社合算；
当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样．
此题考查一元一次不等式和方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中不等关系，再列出不等式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、三角形三个内角中最多有一个锐角
【解析】
“至少有两个”的反面为“最多有一个”，据此直接写出逆命题即可．
【详解】
∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；
∴应假设：三角形三个内角中最多有一个锐角．
故答案为：三角形三个内角中最多有一个锐角
本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系．
20、18.2
【解析】
由于吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，故可先利用勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】
解：如图；杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：；
故吸管的长度最少要：13+5.2=18.2（cm）．
故答案为：18.2.
本题考查勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
21、 (3,1)；
【解析】
先求出点A，B的坐标，再判断出△ABO≌△CAD，即可求出AD=2，CD=1，即可得出结论；
【详解】
如图,过点C作CD⊥x轴于D，
令x=0，得y=2，
令y=0，得x=1，
∴A(1,0),B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=3，
∴C(3,1)；
此题考查一次函数综合，解题关键在于作辅助线
22、75°
【解析】
连接BD,根据BD,AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线,所以∠AMD=AMB,求∠AMD,∠AMB，再根据三角形内角和可得.
【详解】
如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°,
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°
∴∠AMB=180°-∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°，
∴∠ADM=180〬-∠DAC-∠AMD=180〬-45〬-60〬=75〬.
故答案为75〬
本题考核知识点：正方形性质，等边三角形. 解题关键点：运用正方形性质，等边三角形性质求角的度数.
23、50
【解析】
由平分，可求出∠BDE的度数，根据平行线的性质可得∠ABD=∠BDE.
【详解】
解：∵，
∴∠ADE=180°-80°=100°，
∵平分，
∴∠BDE=∠ADE=50°，
∵，
∴∠ABD=∠BDE=50°.
故答案为：50.
本题考查平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）△CDF是等腰三角形；（2）∠APD=45°．
【解析】
（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．
【详解】
（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：
∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，
如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，
∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．
25、见解析
【解析】
取DA的中点F，连接FM，根据正方形的性质可得DA=AB，∠A=∠ABC=∠CBE=90°，然后利用ASA即可证出△DFM≌△MBN，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：取DA的中点F，连接FM
∵四边形是正方形
∴DA=AB，∠A=∠ABC=∠CBE=90°
∴∠FDM＋∠AMD=90°
∵
∴∠BMN＋∠AMD=90°
∴∠FDM=∠BMN
∵点F、M分别是DA、AB的中点
∴DF=FA=DA=AB=AM=MB
∴△AFM为等腰直角三角形
∴∠AFM=45°
∴∠DFM=180°－∠AFM=135°
∵平分
∴∠CBN==45°
∴∠MBN=∠ABC＋∠CBN=135°
∴∠DFM=∠MBN
在△DFM和△MBN中
∴△DFM≌△MBN
∴
此题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握正方形的性质和构造全等三角形的方法是解决此题的关键．
26、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）根据题意画图即可补全图形；
（2）由平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而可根据ASA证明，进一步即可根据全等三角形的性质得出结论．
【详解】
解：（1）补全图形如图所示：
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴．
本题考查了按题意画图、平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质等知识，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
品种项目
单价（元/尾）
养殖费用（元/尾）
普通鱼苗
0.5
1
红色鱼苗
1
1