重庆市第一中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份重庆市第一中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了答非选择题时､必须使用0等内容，欢迎下载使用。
数学试题卷
注意事项
1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时､必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1.已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A.射线 B.线段
C.双曲线的一支 D.双曲线
2.已知两直线和，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.椭圆的一条弦经过左焦点，右焦点记为.若的周长为8，且弦长的最小值为3，则椭圆的焦距（ ）
A.2 B.1 C. D.
4.的内角对应的边分别为，若，则（ ）
A. B.
C.或 D.无解
5.阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆半长轴的长度､半短轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，两焦点为和，直线与椭圆交于两点.若，则椭圆的半短轴的长度（ ）
A.5 B.4 C.6 D.2
6.过定点的直线与抛物线交于两点，的值为（ ）
A. B.5 C. D.4
7.焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9､已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C､若，则
D.若，则
10.设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A.若且，则双曲线的两条渐近线的方程是
B.若，则的面积等于
C.若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3
D.以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切
11.两个圆锥的母线长度均为，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用和表示两个圆锥的底面圆半径､表面积､体积，则正确的有（ ）
A.
B.的最小值为
C.为定值
D.若，则
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则__________.
13.已知椭圆的左右焦点分别为和，且也是抛物线的焦点，若是与的公共点，，则__________.
14.已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则的最小值为__________.
四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤）
15.（13分）已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求内角；
（2）若为边上的中点，求线段的长.
16.（15分）如图，在直三棱柱中，为上一点，为中点，为中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形.
（1）求拋物线的方程；
（2）如图，抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标.
18.（17分）已知双曲线，点，坐标原点.
（1）直线经过点，与的两条渐近线分別交于点.若面积为，求直线的方程；
（2）如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围.
19.（17分）已知椭圆的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时，
①证明：恒为定值，并求出这个值；
②求四边形面积的最大值.
重庆一中高2026届高二上期月考数学试卷
答案与解析
7【解析】如图对：由得中：
8【解析】设椭圆的长轴长，双曲线的实轴长，它们的公共焦距.
因为在的中垂线上，故，分别由两个曲线的定义知：
所以，由在上单调递增，得.
10【解析】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误；
，选项B正确；
把点坐标代入的方程得，选项C正确；如图，两圆的圆心距是的中位线，
两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确.
11【解析】A：由得，故A对.
B：，故B对.
C：如，与时值不同，故不为定值，C错
D：，故D对.
13.【解析】由椭圆定义得，而，则，
因是抛物线的焦点，则抛物线的准线过点，如图.
作于点，由抛物线定义知，
由得，则.
14.【解析】如图，设圆的半径为，则；
又到的距离为，则到的距离为.
所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为，
则
四､解答题
15.【解析】（1）由已知条件
由余弦定理可得，因为，从而.
（2）因为，由，解得
因为为边上的中点，所以平方得：，故
16.【解析】（1）以为原点，为正半轴方向建立空间直角坐标系，则
，设
得.于是
由，得，故
又面的一个法向量，从而，且平面，因此面
法二：连接并延长，交于，连接，则为的中位线，故，
又平面平面，因此平面.
（2）由（1）知
设面的一个法向量，由，令得，
设直线与平面所成角为，则.
17.【解析】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，，
所以.
故抛物线
（2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率，设，
由且
已知点，直线和的倾斜角互补
所以直线恒过定点
18.【解析】（1）设，与联立求出
用割补法得
解得直线的方程为
另解1：由两渐近线的夹角为得，后略.
另解2：，后略.
（2）线段的中垂线经过点，设的中点为，
代入的方程有，两式作差得
由，与上式联立求得，即
因为点在双曲线右支上，且在右支的内部，所以.
由在上，所以.
另解：把代入消去得：，该方程要有两个正根.当时，不合题意；
（*）
设的中点为，则，
由得，代入上面两式消去和得……（**）
结合（*）和（**）可得
19.解：（1）如图，取的中点记为，连结.
在中，，所以，
则，
即，所以椭圆方程为
（2）①直线与相切，则；
直线与相切，同理有；
则是关于的方程的两根，
由韦达定理知
（注：上式中，先由消去的，再代入）
②由①问知，如图，设，
由，
同理可得，
.
当时，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
C
A
A
C
D
B
D
B
BD
BCD
ABD