赤峰二中2024-2025学年高一上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份赤峰二中2024-2025学年高一上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题“，”的否定为( )
A.，B.，
C.，D.，
2．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.
C.D.
3．下列命题为真命题的是( )
A.,当时,
B.集合与集合是相同的集合
C.若,则
D.所有的素数都是奇数
4．设，，若，则实数a的值不可以为( )
A.B.0C.3D.
5．已知，则以下错误的是( )
A.B.
C.D.
6．向50名学生调查对A,B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是( )
A.赞成A的不赞成B的有9人
B.赞成B的不赞成A的有11人
C.对A,B都赞成的有21人
D.对A,B都不赞成的有8人
7．下面命题正确的是( )
A.已知，则“”是“”的充要条件
B.命题“若，使得”的否定是“，”
C.已知x，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
D.已知a，，则“”是“”的必要不充分条件
8．已知a，b是实数，则“且”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
9．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物，不知其数，三三数之，剩二;五五数之，剩三;七七数之，剩二.问:物几何?”现有数学语言表达如下:已知，，若，则下列选项中符合题意的整数x为( )
A.8B.23C.37D.128
10．设，则( )
A.B.
C.D.
11．已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知在不等式的解集中,则实数k的取值范围是________.
13．已知，则集合M的子集的个数是______．
14．设集合，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有_______种.
四、解答题
15．设R为全集，集合.
(1)若，求;
(2)若，求实数a的取值范围.
16．(1)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
(2)命题且，命题，若p与q不同时为真命题，求m的取值范围.
17．(1)设，证明：的充要条件是.
(2)已知a,b都是正实数，且，试比较与的大小，并证明.
18．已知命题对于，为真命题.
(1)求实数a的取值的集合A；
(2)若，使得成立，记实数b的范围为集合B，若中有且只有三个整数，求实数m的范围.
19．法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题.
(1)关于x的方程的一个实数根为，求另一实数根及实数m的值；
(2)关于x的方程有两个实数根、，若，求实数k的值；
(3)已知集合集合，且，，，求a，b的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此命题“，”的否定是，.
故选：A
2．答案：A
解析：图中阴影部分表示的集合为，
由，，得或，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：A
3．答案：C
解析：对于A,当,,时,,故A错误;
对于B,,,所以,故B错误;
对于C,若,则,故C正确;
对于D,2是素数,但2是偶数,故D错误;
故选:C.
4．答案：C
解析：由题，得，
因为，
所以，
当时，无解，此时，满足题意；
当时，得，
所以或，解得或，
综上，实数a的值可以为，不可以为.
故选：C
5．答案：D
解析：因为，
所以，，故AB正确；
而，，
所以，，故C正确，D错误.
故选：D
6．答案：B
解析：赞成A的人数为,赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A,赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示,
设对事件A,B都赞成的学生人数为x,
则对A,B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为,
赞成B而不赞成A的人数为.依题意,解得.
所以赞成A的不赞成B的有9人,赞成B的不赞成A的有12人,对A,B都赞成的有21人,对A,B都不赞成的有8人.
故选:B.
7．答案：D
解析：对于A，当时，或，故能推出，但不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于B，由存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题“若，使得”的否定是“，”，错误；
对于C，由得或，故推不出，
但是当时，一定成立，即能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，错误；
对于D，已知a，，当时，满足，但是不满足，
反之，当时，则，即，
所以“”是“”的必要不充分条件，正确.
故选：D.
8．答案：A
解析：当且时,,即且时成立.
当时,即解得且,或且
综上可知,“且”是“”的充分不必要条件
故选:A
9．答案：BD
解析：因为，故；
，故；
因，则；则.
故选：BD
10．答案：BC
解析：设，
则，A错误，C正确；
，B正确；
，D不正确.
故选：BC
11．答案：ABD
解析：且，则，，
对于A，，A正确；
对于B，由，，得，B正确；
对于C，，，，
当时，，则；当时，，则，
当时，，则，C错误；
对于D，，
当且仅当时取等号，此时由，
得，不符合，
因此不成立，则，
所以，D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：因为在不等式的解集中,
所以把代入不等式得:4（,解得,
故答案为:.
13．答案：16
解析：由题设，，
故集合M的子集的个数是.
故答案为：16
14．答案：129
解析：当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集，
有（种）选择方法；
当A中最大的数为2时，A可以是或，
B可以是的非空子集，有（种）选择方法；
当A中最大的数为3时，A可以是，，或，
B可以是的非空子集，有（种）选择方法；
当A中最大的数为4时，A可以是，，，，，
，，或，B可以是的非空子集，
有（种）选择方法.
当A中最大的数为5时，A可以是：，，
B是，有（种）选择方法.
所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法.
故答案为：129
15．答案：(1)，
(2)
解析：(1)由题意可得，，
当时，，
所以，
因为或，
所以.
(2)由(1)知，，
若，即，解得，此时满足；
若，则，解得，.
综上所述，实数a的取值范围为.
16．答案：(1)；
(2).
解析：(1)由“”是“”的充分不必要条件，得A真包含于B
而，显然
于是，解得，
所以a的取值范围为；
(2)当命题p为真命题时，
当命题q为真命题时，，即，
所以p与q同时为真命题时有，
解得
故p与q不同时为真命题时，m的取值范围是.
17．答案：(1)答案见解析；
(2)，理由见解析
解析：(1)充分性：如果，
那么，
，
.
必要性：如果，
那么，
，
，，，
.
综上知，的充要条件是.
(2)由
都是正实数，且，
即.
18．答案：(1)；
(2).
解析：(1)由条件知，恒成立，
只需不等式所对应的二次方程的.
解得，也即.
(2)若存在，使得成立，
由可知，即使得成立，
也即存在，使得，
当，只需，此时.
当，只需，此时.
因此，当时，若使得有且只有三个整数，
则只需，解得.
当，由于，
因此必有整数0,1,2,3，共四个整数，与条件不符，矛盾.
综上所述，实数m的取值范围是.
19．答案：(1)另一个根为，
(2)
(3)，
解析：(1)设另外一个根为n，由韦达定理得，解得.
(2)方程有两个实数根、，
所以，得.
由韦达定理得，
由
整理得，
代入得，
解得或5，
由于，故.
(3)由题意，，，
且，，
可知有三个元素，
由于两个方程有相同的对称轴为，
而恒成立，
所以方程有一个实根，
方程有两个不等实数根，
可知，，
所以，,
又方程有一个实根，
则，可得，
方程，可化简为方程，
可知
也可解得
所以，
由，
整理得，
即，
所以，
解得2，
又，
综合上述可知，
而，由2，可得，
即，
所以，
综合上述，a，b的取值范围分别为，.