赤峰第四中学2024-2025学年高二上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份赤峰第四中学2024-2025学年高二上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为( )
A.52B.48C.36D.24
2．我校高二年级14个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：91，89，90，92，93，87，91，94，则这组数据的70%分位数为( )
A.87B.91C.92D.93
3．已知m,n为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.，，，
B.，，
C.，
D.，
4．某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是( )
A.
B.长度的平均数是93
C.长度的中位数一定落在区间内
D.长度落在区间内的个数为35
5．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果是边长为12的正方形，则这个八面体的外接球的体积为( )
A.B.C.D.
6．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,
431,257,393,027,556,488,730,113,537,989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
7．如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知事件A，B满足，，则( )
A.若，则
B.若A与B互斥，则
C.若，则A与B相互独立
D.若A与B相互独立，则
10．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则( )
A.这五个社团的总人数为100
B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C.这五个社团总人数占该校学生人数的4%
D.从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
11．中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”等等.都能体现团队协作、集体智慧的强大.假设某人能力较强，他独自一人解决某个项目的概率为.同时，有由n个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是0.4.如果这n个人组成的团队解决该项目的概率为，且，则n的取值可能是( )（参考数据：，）
A.3B.4C.5D.6
三、填空题
12．已知数据，，，，的方差为6，则数据，，，，的方差为_______.
13．同时抛掷两颗质地均匀的骰子,则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为________;
14．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱、的中点，M为棱上的一点，且，设点N为的中点，则点N到平面的距离为_______.
四、解答题
15．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.
16．已知P是矩形所在平面外一点，M，N分别是，的中点，设，，.
(1)以为空间基底表示向量.
(2)求证：平面.
17．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和2，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.
18．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为，的中点，且.当点A的曲率为时，
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
19．为了庆祝新中国成立75周年，在国庆期间我市某社区举办了一次有奖答题活动.给出10个问题，要求参赛者依次作答10道试题，每答对一题得1分，答错一题或放弃作答扣1分，获得6分（含6分）以上可得奖品.某居民参加了此次答题活动，若该人已经完成了前5道题的作答，且都答对.剩下的每道题他做对的概率均为.
(1)当时，求该居民最终恰好得到8分的概率.
(2)记该居民答对n道题且获得奖品的概率为，求.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意，应抽取的一年级学生的人数为.
故选：C
2．答案：C
解析：对比赛得分从小到大排序，可得：87，89，90，91，91，92，93，94.
因，则这组数据的70%分位数为第6个数，即92.
故选：C
3．答案：D
解析：若，，，则m，n可能平行也可能异面，故B错误；
若，，则或，故C错误；
若，，，，由于m，n不一定相交，故也不一定成立，故A错误；
若，，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得，故D正确.
4．答案：A
解析：对于A，由频率和为1，得，解得，故A错误；
对于B，根据频率分布直方图长度的平均数为
，故B正确；
对于D，长度落在区间内的个数为，故D正确；
对于C，有个数，内有个数，所以长度的中位数一定落在区间内，故C正确.
故选：A
5．答案：D
解析：因八面体的每一个面都是正三角形，是正方形，
连接，，,则三线交于点O,易得平面,
在中，,则,
即,
故个八面体的外接球的半径为，故其体积为.
故选：D.
6．答案：B
解析：三次投篮共有20种,
恰有两次命中的事件有:191,271,932,812,393,有5种
该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故选:B
7．答案：B
解析：取上靠近的三等分点F，取上三等分点H,E，
连接，，，，，，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以直线与所成角即为直线与所成角，
，
由正方体的性质可得：平面，平面，
所以平面，所以，，
，，
，
在中，，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
8．答案：B
解析：拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，
第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为2,6,20,60；
第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为11,15,51,55，
所以表示不同整数的个数为8.
其中表示的数字大于50的有51,55,60共3个，
所以表示的数字大于50的概率为.
故选：B
9．答案：BC
解析：对于A，由，得，A错误；
对于B，由A与B互斥，得，B正确；
对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得A,相互独立，则，D错误.
故选：BC
10．答案：BCD
解析：A，因为参加朗诵社团的同学有8名，且该社团人数占比为，所以社团总人数为人，A选项错误.
B，合唱团人数为人，舞蹈社团人数为人.因为社团总人数为80人，所以脱口秀社团的人数为人.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的比例为，B选项正确.
C，这五个社团总人数为80人，该校学生人数为2000人，所以这五个社团总人数占该校学生人数的比例为，C选项正确.
D，脱口秀社团人数占五个社团总人数的，舞蹈社团人数占五个社团总人数的，所以这两个社团人数占五个社团总人数的比例为.故从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D选项错误.
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：依题意，，
由可得，即，
两边取对数，可得.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为数据，，，，的方差为6，
所以数据，，，，的方差为：
.
故答案为：24
13．答案：
解析：同时抛掷两枚质地均匀的骰子,基本事件共有个;
设两枚骰子点数之和为4为事件,则事件包含:,,共3个基本事件,
所以.
故答案为:
14．答案：
解析：由题意，以D为原点，分别以,,所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
所以点N到平面的距离.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2).
解析：（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点，其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示：
所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同，
其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以.
16．答案：(1)；
(2)证明见解析
解析：（1）；
（2）取中点H，连接，，
因为H是中点，N是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
同理，得，平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面，
故平面平面，
因为平面，
所以平面.
17．答案：(1)31.75；
(2)；
(3)
解析：（1）设这m人的平均年龄为，
则
.
（2）由题意得，第四组应抽取人，记为A（甲），B，C，D，
第五组抽取人，记为E（乙），F，
对应的样本空间的样本点为：
，
设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，
所以.
（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差为.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）在直三棱柱中，平面，平面，
则，，
点A的曲率为，.
，为正三角形.
N为的中点，.
又平面，平面，，
，平面，
平面.
（2）取的中点O，连接，，如图：
，，
为平行四边形，
平面
为直线与平面所成的角.
在中，求得.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）根据题意，该人已经完成了前5道题的作答，且都答对，
若该居民最终恰好得到8分，则参赛者共答对9道，答错或放弃1题，
所以概率为.
（2）根据题意，该人要获得奖品，则他获得6分（含6分）以上，
当10道试题都答对时，得分为10分，概率为，
当答对9道，答错或放弃1道时，得分为8分，概率为，
当答对8道，答错或放弃2道时，得分为6分，概率为，
综上可得：.
第2次摸球
第1次摸球
红1
红2
红3
白1
白2
红1
（红1，红1）
（红1，红2）
（红1，红3）
（红1，白1）
（红1，白2）
红2
（红2，红1）
（红2，红2）
（红2，红3）
（红2，白1）
（红2，白2）
红3
（红3，红1）
（红3，红2）
（红3，红3）
（红3，白1）
（红3，白2）
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
（白1，红3）
（白1,白1）
（白1,白2）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，红3）
（白2,白1）
（白2,白2）