四川省绵阳南山中学2025届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳南山中学2025届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．下列函数是偶函数的是( )
A.B.
C.D.
3．由一组样本数据,,…,得到经验回归方程，那么下列说法正确的是( )
A.若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱
B.若越大，则两组变量的相关性越强
C.经验回归方程至少经过样本数据,,…,中的一个
D.在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位
4．在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是( )
A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形
5．函数的图象如下，则其解析式可能是( )
A.B.
C.D.
6．研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度v（单位：）与其耗氧量Q之间的关系式为：（其中a,b是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为.大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v（单位：），耗氧量单位数为，统计发现：与成正比.当时，.若这种鸟类与鲑鱼的速度与相同时，则与的关系是( )
A.B.C.D.
7．已知,是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是( )
①；②；③；④.
A.①③B.②③C.①④D.②④
8．设函数,，当时，曲线与交点个数的情况有( )种.
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．下列叙述正确的是( )
A.若等差数列的公差，则数列为递增数列
B.若等比数列的公比，则数列为递增数列
C.若，则a、b、c成等比数列
D.若是等比数列的前项和，则无解
10．设函数，若，则的最值情况是( )
A.有最大值B.无最大值C.有最小值D.无最小值
11．定义在R上的函数的导函数为，且满足下列条件：，，且.则下列正确的是( )
A.周期为8B.图象关于对称
C.关于对称D.
三、填空题
12．若数列的通项公式是，且等比数列满足，，则________.
13．设函数，已知,，且的最小值为，则________.
14．在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是.
四、解答题
15．2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：
(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附:
参考公式:，其中.
16．阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程的两根为，，则，展开得:，比较系数得:，，于是，.
(1)已知一元三次方程的三个根为，，，类比于上述推导过程，求；
(2)已知，若存在三个不相等的实数m,n,t，使得，求的取值范围.
17．如图所示，直线,之间的距离为2，直线,之间的距离为1，且点A,B,C分别在,,上运动，，令.
(1)判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值；若不能，请说明理由;
(2)求面积的最小值.
18．已知函数.
(1)若函数在上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)“若函数在上只有一个极值点，求实数a取值的集合”，某同学给出了如下解法：
由在上只有一个实数根，所以，得，此时.所以，实数a取值的集合为.
上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答;
(3)若函数有两个极值点,，证明：
19．设函数.
(1)设，讨论的单调区间；
(2)设曲线在点处的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为，令，求；
(3)若，，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，，
则或，故.
故选：D.
2．答案：B
解析：对于A，函数定义域为R，，
所以，
则，所以函数为奇函数；
对于B，函数定义域为，，
所以函数为偶函数；
对于C，正切函数为奇函数；
对于D，函数定义域为，，
所以不为偶函数.
故选：B.
3．答案：D
解析：对于A，若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，A错误；
对于B，若越大，则两组变量的相关性越强，是回归直线的斜率，它不反应两变量的相关性强弱，B错误；
对于C，经验回归方程不一定经过样本数据,,…,中的一个，C错误；
对于D，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，若，相应的观测值y约增加个单位；若，相应的观测值y约增加个单位；故当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加个单位，正确，
故选：D
4．答案：A
解析：，
由正弦定理得，
则，又，
可得，
B,C为三角形的内角，
，
所以一定是等腰三角形.
故选：A.
5．答案：A
解析：结合题意以及各选项可知A可为2，
结合图象可知,，
则对于B，，由此可判断B中解析式不可能；
对于C，，由此可判断C中解析式不可能；
对于D，，由此可判断D中解析式不可能；
对于A，由于,,，即可取2；
由，则，由于，可取，
此时，A可能，
故选：A
6．答案：B
解析：由题意得，解得，
，
设，
由题意得，解得，
，
又，
，
则，即，
，即.
故选：B.
7．答案：B
解析：如图所示，设,，的中点为，
点N在函数的图象上，且轴，则，
由图知点N在M的左侧，即，故①错误，②正确；
则，即，
即，故③正确，④错误.
故选：B.
8．答案：C
解析：由函数,，
设,，
可得，
所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，
令，可得，即，
则解的个数，即为与的图象在上的交点个数，
如图所示：
当时，，此时与的图象在上没有公共点；
当时，即时，与的图象在上有没有公共点；
当时，即时，与的图象在上有1个公共点；
当且时，即时，
与的图象在上有2个公共点；
当且时，即时，
与的图象在上有没有公共点；
当时，此时对应的抛物线开口向下，且，
此时与的图象在上有没有公共点，
综上可得，曲线与交点个数的情况有3种.
故选：C.
9．答案：AD
解析：对于A：因为，可知数列为递增数列，故A正确；
对于B：例如,，则，即，可知数列不为递增数列，故B错误；
对于C：例如，满足，但a、b、c不成等比数列，故C错误；
对于D：设等比数列的公比为q，且，
若，则；
若，则；
综上所述：无解，故D正确；
故选：AD.
10．答案：BC
解析：根据，可知,
根据恒成立，则相同取值情况下,为异号或同时等于0，又在R上递减，在上递增，
只需它们的零点重合，得，即，
所以，
所以有最小值，没有最大值.
故选：BC
11．答案：ACD
解析：对于A,B，因为，则，则,可知的图象关于中心对称，知的图象关于中心对称，B错误；
因为，则，
两边求导数可得，即得，
所以，即得，
所以，，
所以函数的周期为8，A正确；
对于C，因为则，
所以，函数关于对称，C正确；
对于D，因为的图象关于中心对称，所以关于对称，所以,
又，所以，可得，
所以，所以函数周期为8，
因为，所以，
所以,,,，
所以
，D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题意可知：,，
设等比数列的公比为q，
则，解得，
所以.
故答案为：.
13．答案：1
解析：由题意知图象可由，的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故的周期为，
又,，
则的最小值为函数周期的二分之一，即,
即,，
故答案为：1
14．答案：126
解析：先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6，若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小，
每种选法可标记为，a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的个位数字，
则所有的可能结果为：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
此时最小为，
所以选中的方格中，5,23,32,66的4个数之和最小，为.
故答案为：126.
15．答案：(1)应在A组抽取20人，应在B组抽取12人；
(2)能认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005
解析：（1）应在A组抽取人，应在B组抽取人.
（2）零假设为：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联，
根据列联表中的数据，经计算可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意知，
展开得:，
比较系数得，即.
（2）令，m,n,t是的三个根，
即为的三个不等根，由上知.
，
于是,,单调递减，,,单调递增，,,单调递增，
且,,函数的大致图象如下:
为使得与有三个交点，
则,故.
17．答案：(1)是正三角形，；
(2).
解析：（1）过C作，过B作，垂足分别为D,E，如图，
由，，得,，
在中，，在中，，
由是正三角形，则，
即,，
整理得，又，解得，
所以.
（2）由（1）知，
，
而，
由，得，则当，即时，取最大值，
所以时，取得最小值.
18．答案：(1)；
(2)上述解答不正确，理由见解析，解答见解析；
(3)证明见解析
解析：（1）因为，
由题意可知恒成立，则，
可得，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
（2）上述解答不正确，理由如下：
由题意可知：在上只有一个变号零点，
令，整理可得，
令，则，
令，，作出其函数图象，
由图象可知：，解得，
所以实数a取值的集合是.
（3）因为函数有两个极值点,，
可知在上有两个不等实根为,，
则，解得，
可得
，
令，则.
令，则，
可知在内单调递增，则，
所以.
19．答案：(1)答案见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）,则.
①若，则，在上单调递增;
②若，令，解得
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意易得曲线在点处的切线方程为.
设切线与x轴、y轴相交所得的横截距与纵截距分别为,.
则令，解得，令，解得.
则所围成的三角形面积为
则,，
.
（3）即，令，
则，
①当时，因为，所以，，
令，则，
则函数单调递增，且，即；
由（1）可知当时，，
即，所以，则，
所以函数在上单调递增，且，
即恒成立.
②当时，，存在实数，使得均有，则函数在上单调递减，且，不符合题意，所以当时，不符合题意.
综上，a的取值范围为.
8
27
32
62
3
23
37
63
6
27
38
66
5
26
39
66
喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课（A组）
150
50
200
未选奥数课（B组）
90
110
200
总计
240
160
400