重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数z满足（i为虚数单位），则的值为( )
A.1B.C.D.
2．已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A.若，，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
3．“直线与平行”是“”的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
4．已知两个单位向量，的夹角为，则( )
A.B.3C.D.5
5．圆关于直线对称，则实数( )
A.1B.-3C.1或-3D.-1或3
6．直线与圆交于A，B两点，则直线与直线的倾斜角之和为( )
A.B.C.D.
7．已知，，若，则实数m的值为( )
A.B.C.D.
8．已知圆及直线，下列说法正确的是( )
A.圆C被x轴截得的弦长为2
B.直线l过定点
C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为
D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为
二、多项选择题
9．在边长为2的正方形中，E,F分别为，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.在上的投影向量为
10．如图，直三棱柱所有棱长均为4，D，E，F，G分别在棱,,，上，（不与端点重合）且，H，P分别为，中点，则( )
A.平面
B.过D，F，G三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形
C.M在内部（含边界），，则M到棱距离的最小值为
D.若M，N分别是平面和内的动点，则周长的最小值为3
11．已知圆和圆，.点Q是圆上的动点，过点Q作圆的两条切线，切点分别为G，H，则下列说法正确的是( )
A.当时，圆和圆没有公切线
B.当圆和圆有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值
C.圆与x轴交于M，N，若圆上存在点P，使得，则
D.圆和外离时，若存在点Q，使四边形面积为，则
三、填空题
12．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则____.
13．已知点在直线l上，且点P恰好是直线l夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线l的方程为______________.（写出一条即可）
14．台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成.据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市O（如图）的东偏南方向350km的海面P处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大，_________小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭.
四、解答题
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，D为边上一点.
（1）若D为的中点，且，求c；
（2）若平分，且的面积为，求的长.
16．如图，在正三棱柱中，，E为棱的中点，P为边上靠近B的三等分点，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点作圆C的相互重直的两条弦，，求四边形的面积的最大值与最小值.
18．如图、三棱锥中，平面，O为的中点，，，.
（1）证明：面面；
（2）若点A到面的距离为，证明：；
（3）求与面所成角的正弦值的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，已知圆，，是圆C上的动点，且，的中点为M.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设点A是直线上的动点，，是M的轨迹的两条切线，P，Q为切点，求四边形面积的最小值；
（3）若垂直于y轴的直线过点C且与M的轨迹交于点D，E，点N为直线上的动点，直线，与M的轨迹的另一个交点分别为F，G(与不重合)，求证：直线过定点.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，则，
可得，所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：对于A，若，，，则或者l,m异面，故A错误，
对于B，若，，且l与，的交线垂直，才有，否则l与不一定垂直，故B错误，
对于C，若，，则或者，故C错误，
对于D，若，，则，D正确，
故选：D
3．答案：C
解析：若直线与平行,
则,解得或,
当时直线与重合,故舍去；
当时直线与平行,符合题意；
所以.
所以“直线与平行”是“”的充分必要条件.
故选：C
4．答案：A
解析：因为两个单位向量，的夹角为，
所以，
所以.
故选：A
5．答案：B
解析：的圆心坐标为，
因为圆关于直线对称，
所以圆心在直线上，也即，
解得：或.
当时，可得：，符合圆的方程；
当时，可得：，配方可得：，舍去.
故选：B
6．答案：A
解析：圆的圆心为，
由，消去y整理得，
设，，
又，所以，，
设直线与直线的倾斜角分别为,，显然,均不等于，
所以，，
所以,，则，
所以
，
所以，即直线与直线的倾斜角之和为.
故选：A
7．答案：C
解析：因为，
则，即，
整理可得，即，
又因为，故，解得或，
且，则，可得，
即，解得.
故选：C.
8．答案：D
解析：对于A，由圆C方程可得圆C与x轴的交点坐标为和，
因此圆C被x轴截得的弦长为4，即A错误；
对于B，将直线整理可得；
由，解得，
所以无论m为何值时，直线l恒过定点，即B错误；
对于C，易知圆是以为圆心，半径，
易知圆心不在直线l上，又直线l被圆C截得的弦长的最大值为直径，
所以可得直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，可得C错误；
对于D，设直线l与圆C交于点A,B，圆心C到直线l的距离为d，
则弦长，
由直线l恒过定点可得圆心C到直线l的距离d有最大值为，
此时直线l被圆C截得的弦长存在最小值，满足，如下图所示；
此时直线l的斜率为1，其方程为，即,可得D正确；
故选：D
9．答案：BC
解析：
对于A，，
所以，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，因为E中点，由图可知在上的投影向量为,故D错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于A，如下图所示：
由可得，由三棱柱性质可得，因此可得，
因为平面，平面，
所以平面，即可知A正确；
对于B，由可知，结合A选项可知，
当D,E,F,G分别为棱,,，的中点时，满足，如下图所示：
结合直棱柱性质可知，此时过D，F，G三点的平面截三棱柱所得截面为，为矩形；即B错误；
对于C，易知，又，
所以在直角三角形中，，可得；
因此可得M的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内的部分，即圆弧；如下图所示：
又是边长为4的正三角形，取为的中点，所以到的距离为，因此可得当M为圆弧的中点时，M到棱距离的最小值为，即C正确；
对于D，取P点关于平面和对称点分别为,，
连接与平面和的交点分别为M，N时，周长的最小，如下图所示：
易知，，
由余弦定理可得
，
因此周长的最小值为，即D正确.
故选：ACD
11．答案：ABD
解析：由题意可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，可得，
对于选项A：若，则，
可知圆和圆内含，所以圆和圆没有公切线，故A正确；
对于选项B：若圆和圆有三条公切线，则两圆外切，
则，即，可得，
此时两圆是确定的，则公切线方程也是确定的，
所以公切线的倾斜角的和为定值，故B正确；
对于选项C：若，则点P的轨迹方程为圆，
由此可知：圆存在点P在圆内，且，
可知圆与圆相交，可得，即，
解得，故C错误；
对于选项D：若圆和外离，可得，即，解得，
因为四边形面积
，
解得，
又因为，即，
可得，解得，故D正确；
故选：ABD.
12．答案：或
解析：将函数的图象向右平移个单位长度得到，
又为奇函数，所以，
解得，又，所以或.
故答案为：或.
13．答案：或（其中一条即可）
解析：设直线l夹在直线、之间的部分是，且被三等分，
设，，则或，
所以或，
又A、B分别在直线、上，所以，，
解得、或、，
所以，或，，
则直线l的方程为或，
整理得或.
故答案为：或（其中一条即可）
14．答案：8
解析：设在t小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点Q，
则,,，且，
因为,，则，
可得
，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得或，
故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭.
故答案为：8.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）在中，，，
因为D为的中点，所以，
两边平方得，
则，解得，
由余弦定理，
所以.
（2）因为平分，所以，
又，
即
所以，
解得，.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）如图，连接，连接，
则O为的中点，又E为的中点，
，又平面，平面，
平面；
（2）取中点M,设三棱柱的高为a，以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
，，
由于，故，解得，（负值舍去），，,
设平面的法向量为,,，
则，取，得，
而平面的一个法向量为，
则
故平面与平面夹角的余弦值为
17．答案：（1）；
（2）四边形的面积的最大值为6，最小值为
解析：（1）因为圆心C在直线，设，
由题意可知：，即，解得，
即圆心，半径，
所以圆C的标准方程为.
（2）因为，可知点M在圆C内，
设弦，的中点分别为弦P,Q，,，
由题意可知：为矩形，则，
即，可得，
且，，
则四边形的面积，
且，即，
当，即时，取到最大值6；
当或，即或时，取到最小值；
所以四边形的面积的最大值为6，最小值为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）因为平面，在平面内，
所以，又，，为平面内两条相交之间，
所以平面，又在平面内，
所以面面.
（2）
因为O为的中点，，，
所以,，设,，所以，
由（1）知，，，,
所以，
所以，所以，
所以在直角三角形中，由面积可得：，结合，
解得：，也即，
所以
（3）
因为，，设,，所以，其中
此时,所以
过A向作垂线，垂足为D，设，
所以，
所以，
由（1）可知，面,
因为O为的中点，所以O到面的距离为，
设与面所成角为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以与面所成角的正弦值的取值范围是.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）因为圆，即，
可知圆C的圆心为，半径，
由题意可得：，
可知点M的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以点M的轨迹方程为.
（2）因为四边形面积
，
可知当时，取到最小值，
所以四边形面积的最小值为.
（3）由题意可知：直线，不妨令,，
先说明如下问题：若点为直线上的动点，直线,与圆的另一个交点分别为,，（与不重合），求证：直线过定点.
因为,，
可知，即，可得，
又因为,，
可得,，
则，即，
整理可得，
若直线的斜率存在，设为，
联立方程，消去y可得，
则，且,，
则，整理可得，解得或，
若，则直线过定点；
若，则直线过定点，
且与不重合，不合题意；
所以直线过定点；
若直线的斜率不存在，则，可得，
即，解得或（舍去），
此时直线过点，符合题意；
且在圆O内部，直线与圆O必相交，
综上所述：直线过定点.
将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得得到本题的问题，
结合图形平移可知：直线过定点.