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高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)
展开TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12629" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc12629 \h 1
\l "_Tc15772" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15772 \h 2
\l "_Tc20829" 题型一:构造法 PAGEREF _Tc20829 \h 2
\l "_Tc22156" 题型二:倒数法 PAGEREF _Tc22156 \h 3
\l "_Tc1818" 三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 PAGEREF _Tc1818 \h 5
一、必备秘籍
1.构造法
类型1: 用“待定系数法”构造等比数列
形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.
标准模型:(为常数,)或(为常数,)
类型2:用“同除法”构造等差数列
(1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
(2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.
(3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.
类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1: 用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)
二、典型题型
题型一:构造法
例题1.(2023秋·江西宜春·高三校考开学考试)已知正项数列中,,则数列的通项( )
A.B.
C.D.
例题2.(多选)(2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习)已知数列的前n项和为,且满足,,则( )
A.B.C.数列为等差数列D.为等比数列
例题3.(2023春·山东淄博·高二校考期中)已知数列满足,,则数列的通项公式为
例题4.(2023·全国·高二专题练习)已知数列满足,则数列的前项和为 .
例题5.(2023·全国·高三专题练习)在数列中,,且,求.
例题6.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设数列的前n项和为,.
(1)求证数列为等比数列,并求数列的通项公式.
例题7.(2023秋·重庆·高三统考阶段练习)记数列的前项和为,且.
(1)求证:数列是等比数列;
例题8.(2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中)已知正项数列满足,且.
(1)求数列的通项公式;
题型二:倒数法
例题1.(多选)(2023春·云南玉溪·高二统考期末)已知数列满足,则( )
A.为等比数列
B.的通项公式为
C.为单调递减数列
D.的前n项和
例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,则 .
例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的递推公式,且首项,求数列的通项公式.
例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,求的通项公式.
例题5.(2023春·辽宁锦州·高二校考期中)已知数列的首项,,.
(1)设,求数列的通项公式;
例题6.(2023·全国·高三专题练习)若,,.
(1)求证:;
例题7.(2023·全国·高二专题练习)已知数列的首项,且满足.
(1)求证:数列为等比数列:
三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练
一、单选题
1.(2023春·河南许昌·高二校考阶段练习)已知数列满足,则的通项公式( )
A.B.C.D.
二、填空题
2.(2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知数列满足,,则满足的最小正整数 .
3.(2023·全国·高三对口高考)数列中,,,则 .
4.(2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习)数列中,,,则此数列的通项公式 .
5.(2023·全国·高二专题练习)数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为 .
6.(2023·全国·高二专题练习)设为数列的前项和,已知,,则
三、解答题
7.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知数列满足:求通项.
8.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知:,时,,求的通项公式.
9.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.
10.(2023·全国·高二专题练习)已知数列中,,求数列的通项公式;
.
四、双空题
17.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,若,,则 ;若,,则 .
专题03 数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12629" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc12629 \h 1
\l "_Tc15772" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15772 \h 2
\l "_Tc20829" 题型一:构造法 PAGEREF _Tc20829 \h 2
\l "_Tc22156" 题型二:倒数法 PAGEREF _Tc22156 \h 5
\l "_Tc1818" 三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 PAGEREF _Tc1818 \h 8
一、必备秘籍
1.构造法
类型1: 用“待定系数法”构造等比数列
形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.
标准模型:(为常数,)或(为常数,)
类型2:用“同除法”构造等差数列
(1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
(2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.
(3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.
类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1: 用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)
二、典型题型
题型一:构造法
例题1.(2023秋·江西宜春·高三校考开学考试)已知正项数列中,,则数列的通项( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】解法一:在递推公式的两边同时除以,得①,
令,则①式变为,即,
所以数列是等比数列,其首项为,公比为,
所以,即,
所以,
所以,
解法二:设,则,
与比较可得,
所以,
所以数列是首项为,公比为2的等比数列,
所以,所以,
故选:D
例题2.(多选)(2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习)已知数列的前n项和为,且满足,,则( )
A.B.C.数列为等差数列D.为等比数列
【答案】ABC
【详解】由得,两式相减得,
,
又当时,,则,故为首项是1,公差为的等差数列,
即.
显然A、C正确;
,故B正确;
由通项公式易得,,,三者不成等比数列,故D错误.
故选:ABC.
例题3.(2023春·山东淄博·高二校考期中)已知数列满足,,则数列的通项公式为
【答案】
【详解】由得,
故为等差数列,公差为1,首项为1,
所以
所以.
故答案为:
例题4.(2023·全国·高二专题练习)已知数列满足,则数列的前项和为 .
【答案】
【详解】解:因为,
所以,即,即,
所以是以为首项,为公差的等差数列,
所以,所以,则,
令数列的前项和为,
则
故答案为:
例题5.(2023·全国·高三专题练习)在数列中,,且,求.
【答案】
【详解】由,得,
所以数列是以首项为,公比为的等比数列.
所以,即.
当时,,此式也满足,
故.
例题6.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设数列的前n项和为,.
(1)求证数列为等比数列,并求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析,
【详解】(1)因为,所以当时,,解得.
当时,,则,
整理得,故,,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以.所以
例题7.(2023秋·重庆·高三统考阶段练习)记数列的前项和为,且.
(1)求证:数列是等比数列;
【答案】(1)证明见解析
【详解】(1)由于,故,,
∴,
∴,,
∴,,
,可得,
所以数列是一个首项为1,公比为2的一个等比数列;
例题8.(2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中)已知正项数列满足,且.
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
【详解】(1)数列中,,由,可得
又,则数列是首项为1公差为1的等差数列,则,
则数列的通项公式为
题型二:倒数法
例题1.(多选)(2023春·云南玉溪·高二统考期末)已知数列满足,则( )
A.为等比数列
B.的通项公式为
C.为单调递减数列
D.的前n项和
【答案】BCD
【详解】因为,所以是以1为首项,3为公差的等差数列,故选项A错误;
,即,故选项B正确;
根据函数在上单调递增,且,则函数在上单调递减,
又因为,,则数列为单调递减数列,故选项C正确;
的前项和,故选项D正确,
故选:BCD.
例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,则 .
【答案】
【详解】设,令得:,解得:;
,化简得,,
所以,从而,
故,
又,所以是首项和公差均为的等差数列,
从而,故.
故答案为:
例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的递推公式,且首项,求数列的通项公式.
【答案】
【详解】令.先求出数列的不动点,解得.
将不动点代入递推公式,得,
整理得,,
∴.
令,则,.
∴数列是以为首项,以1为公差的等差数列.
∴的通项公式为.
将代入,得.
∴.
例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,求的通项公式.
【答案】.
【详解】由题意,
,
所以,则,而,
故是以为首项,3为公比的等比数列.
于是.
例题5.(2023春·辽宁锦州·高二校考期中)已知数列的首项,,.
(1)设,求数列的通项公式;
【答案】(1)
【详解】(1)因为,,
所以,
取倒得,
所以,
因为,
所以,
所以是,的等比数列,
所以.
例题6.(2023·全国·高三专题练习)若,,.
(1)求证:;
【答案】(1)证明见解析
【详解】(1)证明:假设,因,,则,解得或,
于是得或,与题设且矛盾,故假设不成立,所以成立.
7.(2023·全国·高二专题练习)已知数列的首项,且满足.
(1)求证:数列为等比数列:
【答案】(1)证明见解析
【详解】(1)证明:由,可得,
又
故数列为等比数列.
三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练
一、单选题
1.(2023春·河南许昌·高二校考阶段练习)已知数列满足,则的通项公式( )
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】由得,而,
故是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,即.
故选:D
二、填空题
2.(2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知数列满足,,则满足的最小正整数 .
【答案】5
【详解】由,解得,
又,所以.
另一方面由,可得,
所以是首项为,公比为3的等比数列,
所以,易知是递增数列,
又,,
所以满足的最小正整数.
故答案为:5.
3.(2023·全国·高三对口高考)数列中,,,则 .
【答案】
【详解】由,,可得,
所以,即(定值),
故数列以为首项,为公差的等差数列,
所以,
所以,所以.
故答案为:.
4.(2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习)数列中,,,则此数列的通项公式 .
【答案】
【详解】因为,所以,又,
所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,则.
故答案为:
5.(2023·全国·高二专题练习)数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为 .
【答案】.
【详解】∵,所以,即,
∴是等差数列,而,
所以,
所以.
故答案为:.
6.(2023·全国·高二专题练习)设为数列的前项和,已知,,则
【答案】
【详解】,
令,
则,
∴又,,
∴;
故答案为:;
三、解答题
7.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知数列满足:求通项.
【答案】
【详解】取倒数:,故是等差数列,首项为,公差为2,
,
∴.
8.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知:,时,,求的通项公式.
【答案】
【详解】设,所以,
∴ ,解得:,
又 ,∴ 是以3为首项, 为公比的等比数列,
∴ ,∴ .
9.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.
【答案】
【详解】将代入已知可得.
因为,所以,
所以有,所以.
又,
所以,数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,,
所以,.
10.(2023·全国·高二专题练习)已知数列中,,求数列的通项公式;
【答案】.
【详解】解:由,
得:,
∴,
即数列是首项为1,公差为2的等差数列,
∴,
得.
11.(2023秋·江苏·高二专题练习)设是数列的前n项和,且,.
(1)求;
【答案】(1)
【详解】(1)因为,,
所以,
两边同除以得,
因为,所以,
因此数列是首项为,公差为的等差数列,
所以,所以.
12.(2023·浙江·模拟预测)已知数列的前项和为
(1)试求数列的通项公式;
【答案】(1)
【详解】(1)由题意,两边同时除以,将其变形为,即,
15.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,.求数列的通项公式;
【答案】
【详解】由两边取倒数,得,所以,
又,所以是以为首项,以为公比的等比数列,
所以,即,
所以.
16.(2023春·河南许昌·高二校考阶段练习)已知数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】(1)因为,令,则,又,所以.
对两边同时除以,得,
又因为,所以是首项为,公差为的等差数列,
所以,故;
四、双空题
17.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,若,,则 ;若,,则 .
【答案】 85
【详解】解:因为,当,时,所以,,;
当,时,则,又,所以,即
故答案为:;;
高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题09数列求和(通项含绝对值数列求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析): 这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题09数列求和(通项含绝对值数列求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共14页。试卷主要包含了双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05数列求和(倒序相加法、分组求和法)(典型题型归类训练)(学生版+解析): 这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05数列求和(倒序相加法、分组求和法)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共30页。
高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)(学生版+解析): 这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)(学生版+解析),共25页。