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    高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)
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    高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

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    这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共21页。试卷主要包含了双空题等内容,欢迎下载使用。

    TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12629" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc12629 \h 1
    \l "_Tc15772" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15772 \h 2
    \l "_Tc20829" 题型一:构造法 PAGEREF _Tc20829 \h 2
    \l "_Tc22156" 题型二:倒数法 PAGEREF _Tc22156 \h 3
    \l "_Tc1818" 三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 PAGEREF _Tc1818 \h 5
    一、必备秘籍
    1.构造法
    类型1: 用“待定系数法”构造等比数列
    形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.
    标准模型:(为常数,)或(为常数,)
    类型2:用“同除法”构造等差数列
    (1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
    (2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.
    (3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
    2.倒数法
    用“倒数变换法”构造等差数列
    类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.
    类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1: 用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)
    二、典型题型
    题型一:构造法
    例题1.(2023秋·江西宜春·高三校考开学考试)已知正项数列中,,则数列的通项( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(多选)(2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习)已知数列的前n项和为,且满足,,则( )
    A.B.C.数列为等差数列D.为等比数列
    例题3.(2023春·山东淄博·高二校考期中)已知数列满足,,则数列的通项公式为
    例题4.(2023·全国·高二专题练习)已知数列满足,则数列的前项和为 .
    例题5.(2023·全国·高三专题练习)在数列中,,且,求.
    例题6.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设数列的前n项和为,.
    (1)求证数列为等比数列,并求数列的通项公式.
    例题7.(2023秋·重庆·高三统考阶段练习)记数列的前项和为,且.
    (1)求证:数列是等比数列;
    例题8.(2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中)已知正项数列满足,且.
    (1)求数列的通项公式;
    题型二:倒数法
    例题1.(多选)(2023春·云南玉溪·高二统考期末)已知数列满足,则( )
    A.为等比数列
    B.的通项公式为
    C.为单调递减数列
    D.的前n项和
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,则 .
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的递推公式,且首项,求数列的通项公式.
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,求的通项公式.
    例题5.(2023春·辽宁锦州·高二校考期中)已知数列的首项,,.
    (1)设,求数列的通项公式;
    例题6.(2023·全国·高三专题练习)若,,.
    (1)求证:;
    例题7.(2023·全国·高二专题练习)已知数列的首项,且满足.
    (1)求证:数列为等比数列:
    三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练
    一、单选题
    1.(2023春·河南许昌·高二校考阶段练习)已知数列满足,则的通项公式( )
    A.B.C.D.
    二、填空题
    2.(2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知数列满足,,则满足的最小正整数 .
    3.(2023·全国·高三对口高考)数列中,,,则 .
    4.(2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习)数列中,,,则此数列的通项公式 .
    5.(2023·全国·高二专题练习)数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为 .
    6.(2023·全国·高二专题练习)设为数列的前项和,已知,,则
    三、解答题
    7.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知数列满足:求通项.
    8.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知:,时,,求的通项公式.
    9.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.
    10.(2023·全国·高二专题练习)已知数列中,,求数列的通项公式;

    四、双空题
    17.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,若,,则 ;若,,则 .
    专题03 数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)
    目录
    TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12629" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc12629 \h 1
    \l "_Tc15772" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15772 \h 2
    \l "_Tc20829" 题型一:构造法 PAGEREF _Tc20829 \h 2
    \l "_Tc22156" 题型二:倒数法 PAGEREF _Tc22156 \h 5
    \l "_Tc1818" 三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 PAGEREF _Tc1818 \h 8
    一、必备秘籍
    1.构造法
    类型1: 用“待定系数法”构造等比数列
    形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.
    标准模型:(为常数,)或(为常数,)
    类型2:用“同除法”构造等差数列
    (1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
    (2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.
    (3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
    2.倒数法
    用“倒数变换法”构造等差数列
    类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.
    类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1: 用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)
    二、典型题型
    题型一:构造法
    例题1.(2023秋·江西宜春·高三校考开学考试)已知正项数列中,,则数列的通项( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】解法一:在递推公式的两边同时除以,得①,
    令,则①式变为,即,
    所以数列是等比数列,其首项为,公比为,
    所以,即,
    所以,
    所以,
    解法二:设,则,
    与比较可得,
    所以,
    所以数列是首项为,公比为2的等比数列,
    所以,所以,
    故选:D
    例题2.(多选)(2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习)已知数列的前n项和为,且满足,,则( )
    A.B.C.数列为等差数列D.为等比数列
    【答案】ABC
    【详解】由得,两式相减得,

    又当时,,则,故为首项是1,公差为的等差数列,
    即.
    显然A、C正确;
    ,故B正确;
    由通项公式易得,,,三者不成等比数列,故D错误.
    故选:ABC.
    例题3.(2023春·山东淄博·高二校考期中)已知数列满足,,则数列的通项公式为
    【答案】
    【详解】由得,
    故为等差数列,公差为1,首项为1,
    所以
    所以.
    故答案为:
    例题4.(2023·全国·高二专题练习)已知数列满足,则数列的前项和为 .
    【答案】
    【详解】解:因为,
    所以,即,即,
    所以是以为首项,为公差的等差数列,
    所以,所以,则,
    令数列的前项和为,

    故答案为:
    例题5.(2023·全国·高三专题练习)在数列中,,且,求.
    【答案】
    【详解】由,得,
    所以数列是以首项为,公比为的等比数列.
    所以,即.
    当时,,此式也满足,
    故.
    例题6.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设数列的前n项和为,.
    (1)求证数列为等比数列,并求数列的通项公式.
    【答案】(1)证明见解析,
    【详解】(1)因为,所以当时,,解得.
    当时,,则,
    整理得,故,,
    所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以.所以
    例题7.(2023秋·重庆·高三统考阶段练习)记数列的前项和为,且.
    (1)求证:数列是等比数列;
    【答案】(1)证明见解析
    【详解】(1)由于,故,,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,,
    ,可得,
    所以数列是一个首项为1,公比为2的一个等比数列;
    例题8.(2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中)已知正项数列满足,且.
    (1)求数列的通项公式;
    【答案】(1)
    【详解】(1)数列中,,由,可得
    又,则数列是首项为1公差为1的等差数列,则,
    则数列的通项公式为
    题型二:倒数法
    例题1.(多选)(2023春·云南玉溪·高二统考期末)已知数列满足,则( )
    A.为等比数列
    B.的通项公式为
    C.为单调递减数列
    D.的前n项和
    【答案】BCD
    【详解】因为,所以是以1为首项,3为公差的等差数列,故选项A错误;
    ,即,故选项B正确;
    根据函数在上单调递增,且,则函数在上单调递减,
    又因为,,则数列为单调递减数列,故选项C正确;
    的前项和,故选项D正确,
    故选:BCD.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,则 .
    【答案】
    【详解】设,令得:,解得:;
    ,化简得,,
    所以,从而,
    故,
    又,所以是首项和公差均为的等差数列,
    从而,故.
    故答案为:
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的递推公式,且首项,求数列的通项公式.
    【答案】
    【详解】令.先求出数列的不动点,解得.
    将不动点代入递推公式,得,
    整理得,,
    ∴.
    令,则,.
    ∴数列是以为首项,以1为公差的等差数列.
    ∴的通项公式为.
    将代入,得.
    ∴.
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,求的通项公式.
    【答案】.
    【详解】由题意,

    所以,则,而,
    故是以为首项,3为公比的等比数列.
    于是.
    例题5.(2023春·辽宁锦州·高二校考期中)已知数列的首项,,.
    (1)设,求数列的通项公式;
    【答案】(1)
    【详解】(1)因为,,
    所以,
    取倒得,
    所以,
    因为,
    所以,
    所以是,的等比数列,
    所以.
    例题6.(2023·全国·高三专题练习)若,,.
    (1)求证:;
    【答案】(1)证明见解析
    【详解】(1)证明:假设,因,,则,解得或,
    于是得或,与题设且矛盾,故假设不成立,所以成立.
    7.(2023·全国·高二专题练习)已知数列的首项,且满足.
    (1)求证:数列为等比数列:
    【答案】(1)证明见解析
    【详解】(1)证明:由,可得,

    故数列为等比数列.
    三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练
    一、单选题
    1.(2023春·河南许昌·高二校考阶段练习)已知数列满足,则的通项公式( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】由得,而,
    故是首项为2,公比为2的等比数列,
    所以,即.
    故选:D
    二、填空题
    2.(2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知数列满足,,则满足的最小正整数 .
    【答案】5
    【详解】由,解得,
    又,所以.
    另一方面由,可得,
    所以是首项为,公比为3的等比数列,
    所以,易知是递增数列,
    又,,
    所以满足的最小正整数.
    故答案为:5.
    3.(2023·全国·高三对口高考)数列中,,,则 .
    【答案】
    【详解】由,,可得,
    所以,即(定值),
    故数列以为首项,为公差的等差数列,
    所以,
    所以,所以.
    故答案为:.
    4.(2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习)数列中,,,则此数列的通项公式 .
    【答案】
    【详解】因为,所以,又,
    所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,
    所以,则.
    故答案为:
    5.(2023·全国·高二专题练习)数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为 .
    【答案】.
    【详解】∵,所以,即,
    ∴是等差数列,而,
    所以,
    所以.
    故答案为:.
    6.(2023·全国·高二专题练习)设为数列的前项和,已知,,则
    【答案】
    【详解】,
    令,
    则,
    ∴又,,
    ∴;
    故答案为:;
    三、解答题
    7.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知数列满足:求通项.
    【答案】
    【详解】取倒数:,故是等差数列,首项为,公差为2,

    ∴.
    8.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知:,时,,求的通项公式.
    【答案】
    【详解】设,所以,
    ∴ ,解得:,
    又 ,∴ 是以3为首项, 为公比的等比数列,
    ∴ ,∴ .
    9.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.
    【答案】
    【详解】将代入已知可得.
    因为,所以,
    所以有,所以.
    又,
    所以,数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
    所以,,
    所以,.
    10.(2023·全国·高二专题练习)已知数列中,,求数列的通项公式;
    【答案】.
    【详解】解:由,
    得:,
    ∴,
    即数列是首项为1,公差为2的等差数列,
    ∴,
    得.
    11.(2023秋·江苏·高二专题练习)设是数列的前n项和,且,.
    (1)求;
    【答案】(1)
    【详解】(1)因为,,
    所以,
    两边同除以得,
    因为,所以,
    因此数列是首项为,公差为的等差数列,
    所以,所以.
    12.(2023·浙江·模拟预测)已知数列的前项和为
    (1)试求数列的通项公式;
    【答案】(1)
    【详解】(1)由题意,两边同时除以,将其变形为,即,
    15.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,.求数列的通项公式;
    【答案】
    【详解】由两边取倒数,得,所以,
    又,所以是以为首项,以为公比的等比数列,
    所以,即,
    所以.
    16.(2023春·河南许昌·高二校考阶段练习)已知数列中,,.
    (1)求数列的通项公式;
    【答案】(1);(2)证明见解析.
    【详解】(1)因为,令,则,又,所以.
    对两边同时除以,得,
    又因为,所以是首项为,公差为的等差数列,
    所以,故;
    四、双空题
    17.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,若,,则 ;若,,则 .
    【答案】 85
    【详解】解:因为,当,时,所以,,;
    当,时,则,又,所以,即
    故答案为:;;
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