高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共34页。试卷主要包含了已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
题型一：垂直关系向量化
1．（2024上·贵州安顺·高二统考期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．
2．（2024上·天津宁河·高三统考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证：
（i）；
（ii）直线过定点，并求出此定点的坐标．
3．（2024上·天津·高三校联考期末）已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，点为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于P，O两点（点P在第一象限）．且面积的最大值为，
①求椭圆C的方程；
②若直线，分别与直线交于，两点，求证：以为直径的圆恒过右焦点．
题型二：向量坐标化
1．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.
2．（2024上·天津西青·高二统考期末）已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程.
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率．
题型三：利用向量求角
1．（2024上·山西太原·高二统考期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.
2．（2024·湖南长沙·统考一模）已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.
(1)探求参数，满足的关系式；
(2)若为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：.
题型四：利用向量证明三点共线问题
1．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，右焦点到其中一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
2．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B.
(1)求的方程；
(2)若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；
(3)设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值.
3．（2023上·江苏连云港·高三校考期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．
三、专项训练
1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知、，点满足．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记动点轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值．
5．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上．
(1)求的方程．
(2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024上·河南·高二校联考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.
8．（2024上·上海·高二校考期末）已知双曲线．
(1)求上焦点的坐标；
(2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标；
(3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值．
9．（2024上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线 相交于点 . 求证：
(1)直线 经过点 ;
(2)的外接圆过定点.
专题05 圆锥曲线中的向量问题(典型题型归类训练)
题型一：垂直关系向量化
1．（2024上·贵州安顺·高二统考期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算得即可.
【详解】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，
点P的轨迹为以焦点，准线方程为抛物线，
故点P的轨迹C的方程为：．
（2）由（1）得，曲线C的方程为：．
由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，
由得：．
设，，则，．
所以，，故．
2．（2024上·天津宁河·高三统考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证：
（i）；
（ii）直线过定点，并求出此定点的坐标．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点为
【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求出结果；
（2）根据条件，设出直线，直线，联立，得到，
联立，得，通过计算得，即可证明；
再计算出，从而得出直线的方程，即可求出结果.
【详解】（1）由题知，，，又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）由（1）知，设直线，直线，
由，消得到，得到，，所以，
由，消得到，得到，，所以，
故，，
所以，
故，
（ii）由（i）知，
所以直线的方程为，整理得到，
所以直线过定点，定点为.
3．（2024上·天津·高三校联考期末）已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，点为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于P，O两点（点P在第一象限）．且面积的最大值为，
①求椭圆C的方程；
②若直线，分别与直线交于，两点，求证：以为直径的圆恒过右焦点．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）利用椭圆上的点到左焦点距离的最小值与焦距的关系列方程，从而求得离心率.
（2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用根与系数关系以及弦长公式求得三角形面积的表达式，根据三角形面积的最大值求得，从而求得椭圆的方程.
②求得两点的坐标，由证得以为直径的圆恒过右焦点．
【详解】（1）先求椭圆上任意一点到左焦点的距离的最小值：
设是椭圆上任意一点，是左焦点，
则，
所以
，
二次函数的开口向上，对称轴，
所以二次函数在上单调递增，
所以的最小值为.
由题意可得，∴，
椭圆的离心率为.
（2）①由（1）可知，，∴，
设椭圆方程为，
法一：
由题意可知直线的斜率显然不为0，
设直线方程为：，，，
联立，
消去x整理得，
由题意知恒成立，
则，，
则，
令，则，
∴，
因为在上单调递增，
当时，有最大值，
，
∴，∴，，，
椭圆方程为：．
法二：当直线PQ的斜率存在时，由题知，，
此时，设PQ：，
联立，得，
设，，由题意知恒成立，
，，
，
令，∴，
因为在上单调递增，
∴， ∴，
当直线的斜率不存在时，此时，代入中，
得，∴，
∴面积的最大值为，∴，椭圆方程为.
②法一：由（i）知，，
∴， ，
∴直线的方程为：，直线的方程为：，
∴，，
∴，，
由，得，，，
∴
，
∴，
∴以为直径的圆恒过右焦点．
法二：由（i）知，，
当直线的斜率不存在时，有，，
直线，令，得，同理，
此时，
当直线的斜率存在时，，
∴，，
∴直线的方程为：，直线的方程为：，
∴，，
∴，，
由，，，
∴
，
∴，
∴以为直径的圆恒过右焦点．

【点睛】求解椭圆上的点到焦点的距离的最大值或最小值，可设椭圆上任意一点的坐标，然后利用两点间的距离公式和二次函数的性质来求得最值.求解椭圆中三角形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，然后根据表达式的结构选择合适的方法来求最值.
题型二：向量坐标化
1．（2024上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，用坐标表示出已知关系化简即得；
（2）设，直线方程为代入椭圆方程后应用韦达定理得，再由向量运算的坐标表示得出的关系，结合越来可求得值．
【详解】（1）设，由题意得，
化简得:.
（2）设：，
与联立得，，因为，则定点在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，
所以
因为，所以，即，
所以③，
由①③得，
将④⑤代入②，得，
化简得，，解得.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再根据向量关系式，从而解出，最后得到关于的方程，解出即可.
2．（2024上·天津西青·高二统考期末）已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由椭圆定义得，，由此即可得解.
（2）由题意得，，设，联立椭圆方程，表示出点的坐标，结合求出斜率即可得解.
【详解】（1）
由题意得，，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
由（1）知，又，所以，
由题意，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），所以直线斜率存在且不为0，
设，直线和椭圆方程联立得，得，
当时，则，
因为直线与以为圆心的圆相切于点，即为中点，
则，，
，，
因为，所以，得，
因为，所以得.
所以直线或.
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆离心率为可知，所以椭圆的方程为，将点代入椭圆的方程即可求解；
（2）设直线的方程并将其方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及求解.
【详解】（1）由可知，，则，即，
则椭圆的方程为，
将点代入椭圆方程可得，
解得，，
故椭圆的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，且，，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
，化简得，解得或，
，，
由可知，所以，，
所以，化简得 ，解得，
所以直线的斜率为.
题型三：利用向量求角
1．（2024上·山西太原·高二统考期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案；
（2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论.
【详解】（1）由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
得，解得，
故抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
由，得，，.

，
，即直线关于x轴对称，
故.
2．（2024·湖南长沙·统考一模）已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.
(1)探求参数，满足的关系式；
(2)若为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将直线与双曲线方程联立，因只有一个切点从而可得，从而求解.
（2）将直线分别与双曲线的两渐近线方程联立求出，，由（1）可求出，即，分别求出，，，从而可求解.
【详解】（1）联立方程，整理得.
由，且是双曲线与直线的唯一公共点，可得，
则，即为参数，满足的关系式.

结合图象，由点在第一象限，可知，且.
所以，的关系式满足.
（2）由题可得双曲线的左焦点，渐近线为.
联立方程，解得，即；
联立方程，解得，即.
结合，且由式可变形为，
解得，可得.
要证，即证，
即证，
即证，即证.
由，得.
根据直线的斜率公式，，，，
则，
，
可得，
因此，.
【点睛】关键点点睛：利用直线与双曲线方程联立后利用，从而求得和点坐标，然后由直线分别与双曲线的两渐近线联立求出坐标，要证，从而可求解.
题型四：利用向量证明三点共线问题
1．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，右焦点到其中一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得到关于的方程，解之即可得解；
（2）联立直线与双曲线方程，得到，，再由三点共线得到，代入即可得解.
【详解】（1）∵双曲线的方程为：，
∴双曲线的渐近线方程为，设右焦点的坐标为，
则，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）由（1）知，双曲线的右焦点，
设直线与轴交于点，直线的方程为，，，则，
联立，消去得，
显然有且，
化简得且，
则，，
故，，
∵，，三点共线，
∴，则，
∴，
又，∴，
∴，
∴，化简得，经检验符合题意，
∴直线的方程为：，
∴直线经过轴上的一个定点，
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
2．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B.
(1)求的方程；
(2)若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；
(3)设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据长轴，离心率及求出椭圆方程；
（2）设点关于直线l的对称点为，列出方程组，求出，代入椭圆方程，求出值，舍去不合要求的值；
（3）设和直线PA的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，同理设，得到，根据三点共线得到方程，求出答案.
【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，
因为椭圆的长轴长为，离心率为，
所以，，所以，
所以.
故椭圆的方程为.
（2）设点关于直线l的对称点为，
则，解得，则，
由N在椭圆P上，可得，
整理得，解得或.
当时，点与点M重合，舍去，
当时，点，满足要求.
（3）设，，，，则，.
又，所以，
所以，则，
同理可求得.又，
则，
.
由点C，D和点三点共线，所以，
则，
可得，则.
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等或转化为向量来进行解决，进而列出方程，代入计算即可.
3．（2023上·江苏连云港·高三校考期中）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．
【答案】(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据求得椭圆的离心率.
（2）求得点坐标，利用向量法证得三点共线.
【详解】（1）依题意，，
所以离心率.
（2）直线的斜率为，
由（1）得，
设关于的对称点为，
线段的中点为，
在椭圆上，所以，
，
则
，
所以，所以三点共线.
【点睛】求解三点共线的问题，可以转化为来进行求解，也可以转化为来进行求解.求解点关于直线对称点的问题，关键点在于中点和斜率，根据这两个关键点可求得对称点的坐标.
三、专项训练
1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知、，点满足．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记动点轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，求出、的值，即可得出点的轨迹方程；
（2）将直线的方程与点的轨迹方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可求得的值.
因此，点的轨迹方程为.
（2）解：设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，，同理可得，
因为以为直径的圆过，则，
即，
整理可得，又因为，解得.
2．（2024上·天津·高二天津市第一百中学校联考期末）已知㭻圆：（）经过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解.
【详解】（1）由题意可得所以，
所以椭圆方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，，
，
所以，所以，
故，,
所以，
所以，
所以，解得，
故直线的方程为.

3．（2024上·天津河北·高三统考期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题设得，结合椭圆参数关系即可得方程；
（2）设直线的方程为，联立椭圆并应用韦达定理求坐标，根据已知确定坐标，再由向量数量积的坐标表示求，即可证.
【详解】（1）由题设，，得，
椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，联立，
又，将代入，得，则.
所以，为定值.
4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积得到关系式，结合离心率以及求解出，则椭圆方程可求；
（2）设出坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系，再利用点差法结合已知坐标关系进行化简从而得到关于的表示，根据椭圆的有界性可求的范围.
【详解】（1）设点的坐标分别为，
又点的坐标为，且，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则依据得，
整理得，
又，故，
得，
即，
当时，此时，即重合，显然不成立，所以，
所以，即，
又，得，
又，故，且，
故实数的取值范围为.
5．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上．
(1)求的方程．
(2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点，或，使得以为直径的圆过点，理由见解析
【分析】（1）由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程；
（2）假设存在定点，满足条件.设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可.
【详解】（1）由题意可知：，解得，
故双曲线C的方程为：
（2）由双曲线的对称性，又点及点均在轴上，
若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上.
故假设存在定点，使得以为直径的圆过点.
双曲线的左顶点，
由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：，
设，，
∴，
，解得，
又直线的方程为，代入，
同理，直线的方程为，代入.
要使以为直径的圆过点，则.
∴，
∴
，
解得，或
故存在定点，或，使得以为直径的圆过点.

6．（2024上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点
【分析】（1）根据离心率、双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，建立方程，可得答案；
（2）根据题意，设出直线方程与交点坐标，联立方程写出韦达定理，进而建立方程，可得答案.
【详解】（1）因为离心率为且双曲线，则①，
（2）
易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
显然，且，
由韦达定理得，，
假设在轴上存在定点，使得恒成立，
不妨设，此时，
即
，
解得，则点的坐标为．
综上，轴上存在点，使恒成立．
7．（2024上·河南·高二校联考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率、焦点到渐近线的距离为3及求出可得答案；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理代入得，再根据的范围可得答案.
【详解】（1）由题意得，其中，
由题得，所以，即，
又焦点到渐近线的距离为3，所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）显然直线的斜率存在，设其方程为，
联立直线与的方程，得消去得，
，
综上，的取值范围是.
8．（2024上·上海·高二校考期末）已知双曲线．
(1)求上焦点的坐标；
(2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标；
(3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据双曲线方程求解出的值，根据求解出的值，则坐标可知；
（2）设出点坐标，然后表示出，根据点在双曲线上以及二次函数的性质求解出，代入于双曲线方程则可知，故点坐标可知；
（3）设出坐标，联立直线与双曲线方程得到横坐标的韦达定理形式，然后将数量积关系转化为坐标关系，结合韦达定理可求解出的值.
【详解】（1）因为双曲线方程为，
所以，所以，
所以上焦点.
（2）设，则，
所以，
(2)的外接圆过定点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设，，利用导数的几何意义分别求出切线PA、PB的方程，将点P分别代入可得直线AB的方程，即可证明；
（2）设，由（1）可知曲线在点处的切线方程，求出点M、N坐标；根据代数法和可证明，则线段为的外接圆的直径.设直线AB方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，结合平面向量数量积的坐标表示计算化简可得，即可证明.
【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为，
又因为切线过点，所以有；同理可得.
所以直线的方程为，故直线经过点.
（2）设点，由（1）可知曲线在点处的切线方程为.
联立方程组，得且，，解得，
即，同理解得，
由（1），设过点P的切线方程为，
，消去y，得，，得，
记关于的一元二次方程的两根为，其中分别为切线PA、PB的斜率，
则，所以，故线段即为的外接圆的直径.
设直线AB方程为，由，消去可得，
则，
因为，
所以
将代入上式，可得，
所以的外接圆过定点.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的切线方程、直线恒过定点和圆恒过定点等知识点，解题关键是求出直线AB的方程和.本题中AB直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理求出，结合平面向量数量积的坐标表示计算化简可得，得到所要证的结论．