高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05概率与数列、导数交汇问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05概率与数列、导数交汇问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共35页。试卷主要包含了记数列的前项和为，且满足等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·全国·统考模拟预测）遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用．已知某种农作物植株有，，三种基因型，根据遗传学定律可知，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代中，，，，个体均有，且其数量比为．假设每个植株自交产生的子代数量相等，且所有个体均能正常存活．
(1)现取个数比为的，，植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一株，已知该植株的基因型为，求该植株是由个体自交得到的概率；
(2)已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想的作物新品种．农科院研究人员为了获得更多的植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的Aa植株进行第一次自交，根据植株表现型的差异将其子代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再将第二次自交后代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推，不断地重复此操作，从第次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为AA的概率记为（且）
①证明：数列为等比数列；
②求，并根据的值解释该育种方案的可行性．
2．（2024上·山东威海·高三统考期末）甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一，设表示经过次传递后球传到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第次到第次传球）中球传到乙手中的次数为，求．
3．（2024上·山东淄博·高三统考期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．规定第1回合是甲先发球．
(1)求第3回合由甲发球的概率；
(2)①设第i回合是甲发球的概率为，证明：是等比数列；
②已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．
4．（2024上·浙江温州·高三统考期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
题型二：概率与导数
1．（2024上·湖南常德·高三统考期末）某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂．产品检验需要进行三项工序A、B、C，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少2项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A、B两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”．每个产品检验A、B、C三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p（）．
(1)记某产品被确定为“不合格”的概率为，求的值；
(2)若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用（包含检验费用与其他费用）为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由．
2．（2023·新疆·校联考一模）某游戏游玩规则如下：每次游戏有机会获得5分，10分或20分的积分，且每次游戏只能获得一种积分；每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，三次游戏为一轮，一轮游戏结束后，计算本轮游戏总积分．
(1)求某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的概率（用含的代数式表示）；
(2)当某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率取得最大值时，求一轮游戏累计积分的数学期望．
3．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）
(1)若，，求；
(2)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
三、专项训练
1．（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）假设市四月的天气情况有晴天，雨天，阴天三种，第二天的天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨的概率为，阴天的概率为；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为，阴天的概率为；若前一天为阴天，则第二天晴天的概率为，下雨的概率为；已知市4月第1天的天气情况为下雨.
(1)求市4月第3天的天气情况为晴天的概率；
(2)记为市四月第天的天气情况为晴天的概率，
（i）求出的通项公式；
（ii）市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生长，要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾问，根据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议.
2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.
(1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此时的信息熵.
3．（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第位员工获得奖金为元.
(1)求的概率；
(2)求的数学期望，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.
4．（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；
(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为，求；
(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记为王老师第天坐地铁去学校的概率，求的通项公式.
5．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数（PMI）为，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
参考数据：若随机变量服从正态分布,则，，．
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为．
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值．
8．（2024上·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）记数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，证明对任意，；
(3)某铁道线上共有列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数）.
参考数据：，，
9．（2023下·云南昆明·高二统考期末）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”.

(1)写出（用表示，组合数不必计算）；
(2)研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求.
10．（2023下·湖南邵阳·高二统考期末）新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；
(2)（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；
（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式.到校时间
7：30之前
7：30-7：35
7：35-7：40
7：40-7：45
7：45-7：50
7：50之后
乘地铁
0.1
0.15
0.35
0.2
0.15
0.05
乘汽车
0.25
0.3
0.2
0.1
0.1
0.05
专题05 概率与数列、导数交汇问题(典型题型归类训练)
题型一：概率与数列
1．（2023·全国·统考模拟预测）遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用．已知某种农作物植株有，，三种基因型，根据遗传学定律可知，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代中，，，，个体均有，且其数量比为．假设每个植株自交产生的子代数量相等，且所有个体均能正常存活．
(1)现取个数比为的，，植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一株，已知该植株的基因型为，求该植株是由个体自交得到的概率；
(2)已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想的作物新品种．农科院研究人员为了获得更多的植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的Aa植株进行第一次自交，根据植株表现型的差异将其子代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再将第二次自交后代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推，不断地重复此操作，从第次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为AA的概率记为（且）
①证明：数列为等比数列；
②求，并根据的值解释该育种方案的可行性．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）分析遗传特性，求概率即可.
（2）①找到易求的，再利用递推关系求解即可. ②发现当实验次数够多时，概率趋近于1即可.
【详解】（1）由题意得若对植株进行自交，产生，，的概率比为，
故在个数比为的，，植株个体进行自交时，
其亲代，，的概率比为，
而亲代进行自交，产生，，的概率比为，
故概率为，
（2）①记第代的概率为，
子一代进行自交时，
子二代进行自交时，
故可递推出，易得，
而令，而，则有，
故数列为等比数列得证.
②由上问知，且当时，，故该方案可行.
2．（2024上·山东威海·高三统考期末）甲、乙、丙人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一，设表示经过次传递后球传到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第次到第次传球）中球传到乙手中的次数为，求．
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）分析已知计算即可得出结果；
（2）记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”，若发生，则一定不发生，则，变形可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可；
（3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解.
【详解】（1）因为表示经过次传递后球传到乙手中的概率，
所以，第一次传到乙手中的概率为：，
第二次传到乙手中的概率为：.
（2）记表示事件“经过次传递后球传到乙手中”，
若发生，则一定不发生，
所以，即，
即，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
（3）由题意，次传球后球在乙手中的次数，服从两点分布，且,所以
由（2）可知，，
则.
3．（2024上·山东淄博·高三统考期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．规定第1回合是甲先发球．
(1)求第3回合由甲发球的概率；
(2)①设第i回合是甲发球的概率为，证明：是等比数列；
②已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）通过设出事件，结合事件独立的概率乘法公式计算即可；
（2）①通过题意得到，进而构造等比数列进行证明即可；
②根据题意得到记第回合甲得分为，显然服从两点分布，结合题目中的期望公式计算即可.
【详解】（1）设“第3回合由甲发球”为事件，
则，
所以第3回合由甲发球的概率为
（2）①第回合是甲发球分两种情况：
第一种情况为第回合是甲发球且甲得分，
第二种情况为第回合是乙发球且甲得分，
则，
即，所以，
又因为，所以，
所以，
即是首项为，公比为的等比数列
②因为是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
记第回合甲得分为，显然服从两点分布，
且事件等价于第回合是甲发球，故，
又因为求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的得分为，
所以
，
故甲的总得分的期望为
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与概率的综合问题.关键点在于通过阅读题目得到这一递推式，进而构造等比数列进行求解.本题考查转化与化归能力、计算能力和阅读与分析能力，属于中档题.
4．（2024上·浙江温州·高三统考期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【分析】(1)由古典概率模型进行求解；
(2) 可取，求出对应的概率，再列出分布列即可；
(3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解.
【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
【点睛】关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解.
题型二：概率与导数
1．（2024上·湖南常德·高三统考期末）某企业对500个产品逐一进行检验，检验“合格”方能出厂．产品检验需要进行三项工序A、B、C，三项检验全部通过则被确定为“合格”，若其中至少2项检验不通过的产品确定为“不合格”，有且只有1项检验不通过的产品将其进行改良后再检验A、B两项工序，如果这两项全部通过则被确定为“合格”，否则确定为“不合格”．每个产品检验A、B、C三项工序工作相互独立，每一项检验不通过的概率均为p（）．
(1)记某产品被确定为“不合格”的概率为，求的值；
(2)若不需要重新检验的每个产品的检验费用为120元，需要重新检验的每个产品两次检验费用为200元．除检验费用外，其他费用为2万元，且这500个产品全部检验，该企业预算检验总费用（包含检验费用与其他费用）为10万元．试预测该企业检验总费用是否会超过预算？并说明理由．
【答案】(1)；
(2)预测不会超过预算，理由见解析.
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式及独立重复实验的概率计算公式进行求解即可.
（2）根据给定条件，求出每个产品检验费用的数学期望表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可.
【详解】（1）依题意，每个产品首次检验被确定为“不合格”的概率为，
首次检验有且只有1项检验不通过的产品再次检验被确定为“不合格”的概率为，
因此，
所以.
（2）设每个产品检验的费用为X元，则X的可能取值为120，200，
依题意，，，
则，，
令函数，，求导得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因此，即，
则该企业检验总费用的期望最大值为（万元），
所以预测不会超过预算.
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
2．（2023·新疆·校联考一模）某游戏游玩规则如下：每次游戏有机会获得5分，10分或20分的积分，且每次游戏只能获得一种积分；每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，三次游戏为一轮，一轮游戏结束后，计算本轮游戏总积分．
(1)求某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的概率（用含的代数式表示）；
(2)当某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率取得最大值时，求一轮游戏累计积分的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的情况，利用独立事件与互斥事件的概率公式，结合组合的思想即可得解.
（2）依题意得到累计积分在区间内的概率，构造函数，利用导数求得当时满足题意，进而得到的所有可能取值，求得对应的概率，从而得解.
【详解】（1）某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的情况为：
①三次游戏都获得5分；②两次游戏获得5分，一次游戏获得10分；③一次游戏获得5分，两次游戏获得10分；
所以其概率为：.
（2）依题意，记一轮游戏累计积分为，
而某人在一轮游戏中累计积分在区间内的情况有分和分两种情况，
则，，
记某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率为，
则，，
则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调减；
所以当时，取得最大值；
此时每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，
由题意可知的所有可能取值为，
，，
，，
，，
，，
，
则的数学期望为
.
【点睛】关键点睛：本题解决的难点是分析得各个累计积分时的概率，从而得解.
3．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）
(1)若，，求；
(2)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时的值为.
【分析】（1）由题意可知，要摘到那颗最大的麦穗，有两种情况，最大的麦穗是第3颗和最大的麦穗是最后1颗，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；
（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再利用导数求出最值即可.
【详解】（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况.
要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：
①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
故所求概率为.
（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗.
因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以.
以给定所在位置的序号作为条件，.
当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时.
当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时，
此时.
由全概率公式知.
令函数，.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
所以当，时取得最大值，最大值为，此时，
即的最大值为，此时的值为.
三、专项训练
1．（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）假设市四月的天气情况有晴天，雨天，阴天三种，第二天的天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨的概率为，阴天的概率为；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为，阴天的概率为；若前一天为阴天，则第二天晴天的概率为，下雨的概率为；已知市4月第1天的天气情况为下雨.
(1)求市4月第3天的天气情况为晴天的概率；
(2)记为市四月第天的天气情况为晴天的概率，
（i）求出的通项公式；
（ii）市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生长，要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾问，根据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）建议在四月第27天对种子进行特殊处理
【分析】（1）由题意可确定前一天天气为晴，第二天为晴或宇或阴的概率以及前一天天气为雨，第二天为晴或雨或阴的概率以及前一天天气为阴，第二天为晴或雨或阴的概率，由此根据第一天的天气情况，即可求出第二天每种情况的概率，即可求出第3天晴天的概率；
（2）（i）记分别为市四月第天的天气情况为晴天，雨天，阴天的概率，依题意可求出递推关系式，构造等比数列，即可求得的通项公式；
（ii）结合数列的单调性，可确定四月份天气为晴的最大概率是第几天吗，由此可提出合理建议.
【详解】（1）依题意，可列举如下概率：前一天晴，第二天为晴雨阴；
前一天为雨，第二天为晴，雨，阴；前一天为阴，第二天为晴，雨阴，
记分别为市四月第天的天气情况为晴天，雨天，阴天的概率，则，
依题意知，故，
第3天为晴天概率；
（2）（i）由题意知，
当时，，①
，②
，③
在①中代入，整理得，
变形为，故为首项，公比的等比数列，
；
（ii）由于随着n的增大而减小，故在递增，
故四月份天气为晴的最大概率是第30天，因此建议在第30天为种植时间，提前3天，
即在四月第27天对种子进行特殊处理.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键时要理解题意，明确第一天各种天气情况下第二天各种天气情况的概率，进而推出第二天各种天气情况的概率的递推式，结合数列知识，即可求解.
2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.
(1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此时的信息熵.
【答案】(1)，，最大值为.
(2).
【分析】（1）由题意可知且，减少变量可得的信息熵关于的解析式，求导可得单调性，故而求出最大值；
（2）由可知数列从第二项起，是首项为，公比为2的等比数列，故而可求出（）的通项公式，再由可得的解析式.
【详解】（1）当时，,，
令，，
则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
（2）因为，（），
所以（），
故，
而，
于是，
整理得
令，
则，
两式相减得
因此，
所以.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列定义写出，进而写出的通项公式，应用裂项相消及等比数列前n项和公式求化简.
3．（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第位员工获得奖金为元.
(1)求的概率；
(2)求的数学期望，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.
【答案】(1)
(2)，第1位
【分析】（1）首先要理解包含两类情况，分别运用独立事件的概率乘法公式计算即得；
（2）弄清第位员工取出红球的概率与第位员工取出红球的概率的关系式，从而构建一个等比数列，求出其通项，列出分布列，计算数学期望即得.
【详解】（1）的情形为第2位员工从第2个盒子中摸出红球，包括两种情况：
①第1位员工从从第1个盒子中摸出红球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球；
②第1位员工从从第1个盒子中摸出白球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球.
故的概率为：.
（2）设第位员工取出红球的概率为则有,
即：，且
故组成首项为，公比为的等比数列.
即
第位员工取出白球的概率为.
易知的所有可能取值为则的分布列如下：
显然关于单调递减，第1位员工获得奖金额的数学期望最大.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查独立事件的概率乘法公式和随机变量的分布列和数学期望.其中在求解时，关键在于要推理分析出第位员工取出红球的概率与第位员工取出红球的概率的关系式，再借助于数列递推式推导出的通项公式，为后续列出分布列，求数学期望奠定基础.
4．（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）
(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；
(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为，求；
(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记为王老师第天坐地铁去学校的概率，求的通项公式.
【答案】(1)0.15
(2)
(3)
【分析】(1)由全概率公式求解即可；
(2) 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于，；，即可求出数学期望；
(3) 由题意：，，由递推关系求出数列的通项.
【详解】（1）记事件“硬币正面向上”，事件“7：40-7：45到校”
则由题有，，，
故.
（2）可取1，2，3，…，9，10，
由题：对于，；，
故，
，
以上两式相减得：，
故.
所以.
（3）由题意：，，则，
这说明为以为首项，为公比的等比数列.
故，所以.
5．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数（PMI）为，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
参考数据：若随机变量服从正态分布,则，，．
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为．
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值．
【答案】(1)
(2)①；②时，最大值为.
【分析】（1）根据频率分布直方图可估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数，再根据标准差，可得出和，得出，结合正品的条件，即可求出该企业生产的产品为正品的概率的结果；
（2）①由题意，结合组合的定义可知，从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，通过古典概型的概率求法，即可求出箱产品抽检被记为B的概率为，最后利用排列数的运算即可得出结果；
②根据二项分布的概率求法求出，化简得出关于的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当时，取得最大值，从而可求出时，最大值为.
【详解】（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，即，
，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：；
（2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为.
6．（2023·河南开封·统考一模）某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.
(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；
(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复.
（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）求甲第（，2，，16）天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.
【答案】(1)4
(2)（i）；
（ii）；2天
【分析】（1）由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；
（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率．；
（ii）由题意，求与的关系，通过构造等比数列，求出，再由求出对应的n.
【详解】（1）由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为，
随机抽取三人，用随机变量表示三人合计得分，则可能的取值为3，4，5，6，
，，
，，
则.
所以三人合计得分的数学期望为4.
（2）第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为，
若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，
若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，则后一天选择“单车自由行”的概率为，
（i）甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）甲第天选择“单车自由行”的概率，有，
则 ，，
∴，
又∵，∴，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴．
由题意知，需，即，
，即，
显然n必为奇数，偶数不成立，
当时，有即可，
时，成立；
时，成立；
时，，则时不成立，
又因为单调递减，所以时，不成立．
综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天．
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用全概率公式得到，从而利用数列的相关知识求得，从而得解.
7．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
(1)求，；
(2)求的表达式；
(3)设，证明：.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可；
（2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前项和公式进行证明即可.
【详解】（1），，；
（2）由已知，∴，即，
∴是以为公比的等比数列，
∴，∴.
（3）.
设，，∴，∴在上单调递增，
显然，则，
∴，则，
即，
∴.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意利用独立事件概率公式得到递推关系式.
8．（2024上·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）记数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，证明对任意，；
(3)某铁道线上共有列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数）.
参考数据：，，
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)5
【分析】（1）由可得，对分奇偶利用累加法可得，从而可得数列的通项公式；
（2）设，作差判断数列的单调性，由差可设，设函数，求导即可得单调性，从而证明不等式成立；设，求导得单调性，从而可证得不等式；
（3）结合（2）中不等式可得，在根据对数运算进行估值，即可得的估计值.
【详解】（1）因为，当时，，即，
当时，，则
整理得，
当为偶数时，，，，……，
累加得，即，
当为奇数时，，，，，……，
累加得，即，
综上，可得，所以由可得；
（2）设，则
所以
设，设函数，所以
所以当时，，故可得 ，
故
设，所以恒成立，可知，则，令可得
所以，则
累加得：，所以，
故，原不等式得证.
（3）设每次乘坐到新列车的概率为，还未乘坐过列，则，则所尝试坐上新列车的次数期望是，累加得
又，则，故.
【点睛】关键点点睛：要证明不等式和，结合数列单调性证明作差法进行变形处理，在判断差的符号时，关键是构造函数，利用函数和导数的关系确定最值从而判断差的符号，即可证得结论.
9．（2023下·云南昆明·高二统考期末）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”.

(1)写出（用表示，组合数不必计算）；
(2)研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知随机变量，然后利用二项分布的概率公式求解；
（2）设事件，再根据频数分布图和二项分布的概率公式可求出，令，化简后利用导数可求出其最大值，并求出此时的，代入中可求得.
【详解】（1）由题知随机变量，所以.
（2）设事件，由题图可知，
则，
即.
设，则，
所以当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以当时，取得最大值，即取得最大值，
所以，即，
解得或，
因为，所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的概率公式的应用，考查独立事件的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据二项分布的概率公式表示出，然后构造函数，利用导数求出其最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
10．（2023下·湖南邵阳·高二统考期末）新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；
(2)（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；
（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与
所以，即，
，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
方法二：得分分可以先得分，再得2分，也可以先得分，再得4分，
“已调查过的累计得分恰为分”的概率为，则“得分”的概率为，“得分”的概率为，
所以，
由，得，
，
，
（后面同方法一）
另解：由，得，
，
.
又
.
1
2
3
P
1000
500
到校时间
7：30之前
7：30-7：35
7：35-7：40
7：40-7：45
7：45-7：50
7：50之后
乘地铁
0.1
0.15
0.35
0.2
0.15
0.05
乘汽车
0.25
0.3
0.2
0.1
0.1
0.05