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高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题10数列求和(插入新数列混合求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)
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这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题10数列求和(插入新数列混合求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc27030" 一、典型题型 PAGEREF _Tc27030 \h 1
\l "_Tc28087" 题型一：插入新数列构成等差 PAGEREF _Tc28087 \h 1
\l "_Tc27898" 题型二：插入新数列构成等比 PAGEREF _Tc27898 \h 3
\l "_Tc23663" 题型三：插入新数混合 PAGEREF _Tc23663 \h 4
\l "_Tc21960" 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 PAGEREF _Tc21960 \h 5
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.
例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.
(1)求及数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
题型二：插入新数列构成等比
例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（ ）
A．30B．91C．273D．820
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于 .
例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论 成立．
例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题
(1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn ．
(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．
例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
题型三：插入新数混合
例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．
例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（ ）
A．43B．44C．75D．76
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
3．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（ ）
A．387B．388C．389D．390
4．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（ ）．
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C．
D．
三、填空题
6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时， .
7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 ．
四、解答题
8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项；
11．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足
(1)求数列，的通项公式;
(2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.
12．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.
专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc27030" 一、典型题型 PAGEREF _Tc27030 \h 1
\l "_Tc28087" 题型一：插入新数列构成等差 PAGEREF _Tc28087 \h 1
\l "_Tc27898" 题型二：插入新数列构成等比 PAGEREF _Tc27898 \h 5
\l "_Tc23663" 题型三：插入新数混合 PAGEREF _Tc23663 \h 7
\l "_Tc21960" 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 PAGEREF _Tc21960 \h 11
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由①
得时②
①-②得，①中令得，
是以为首项，为公比的等比数列，，
（2）
假设存在这样的三项成等比数列，
为递增数列，不妨设，
则
则，
成等差数列，
，，
由，得，所以，与题设矛盾
不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.
例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是数列的第8项．
【详解】（1）设数列的公差为．
由题意可知，，，于是．
因为，所以，所以．
所以．
所以数列的通项公式是．
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则．
令，解得．
所以是数列的第8项．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，，
因为，所以，解得或（舍去），
因为，所以，
即，解得或（舍去），
所以；
（2）由题意可得，，
则，
故数列单调递增，不难发现，
故满足题意的m的最小值为6.
例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
当时，有，则①，
当时，，两式相减可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比数列的通项公式为；
（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，设公差为，
所以
则，
设，则是递增数列，
当n为偶数时，恒成立，即，所以；
当n为奇函数时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是．
例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.
(1)求及数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）由题意，当时，，解得，
当时，，即，解得，
当时，由，可得，两式相减，可得，
整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，.
（2）由（1）可得，，，
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
则有，
∴，∴，
∴，
，
两式相减得，
∴.
题型二：插入新数列构成等比
例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（ ）
A．30B．91C．273D．820
【答案】C
【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，
所以，则由，得，
即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，
其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，
且，
所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于 .
【答案】27
【详解】依题意，，所以，所以或（舍去），
所以.
故答案为：
例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论 成立．
【答案】
【详解】因为，，，…，，成等比数列，
则，
则
则，即.
故答案为：.
例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题
(1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn ．
(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），，
，解得．
；
（2）设此等比数列的公比为q，∴， 解得：．
例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，，证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意，，
在数列中，
当时， 成等差数列，
∴，
即，即，即.
∴，
猜想.
下面我们证明.
∵，
∴，
∵当时，，
∴对任意正整数，均有，
∴，
∴，
∴，
即数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，
在数列中，，
∴.
假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，
化简得，
∵成等差数列，
∴，
∴，化简得，
又，
∴，即，
∴，
∴，这与题设矛盾，所以假设不成立，
∴在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
题型三：插入新数混合
例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，当时，递推得，
∴，，
因为数列各项均为正数，所以，又∵，
∴数列为等差数列，故．
（2）设和插入的个数构成一组数，
则前组共有个数，
令，又，解得：；
当时，，
∴的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，
∴
．
例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，解得（舍去），
由得时，，
两式相减得，
因为，所以，
所以是等差数列，首项为4，公差为3，
所以；
（2）由于，
因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，
所求和为.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
【答案】(1)
(2)
(3)2226
【详解】（1）由题意，可得，所以，
解得或（舍），则，
又，所以.
（2）由，得，
所以，，，
因为数列为等差数列，所以，解得，
所以当时，，由（常数）知此时数列为等差数列.
（3）因为，所以与之间插入个2，
，所以与之间插入个2，
，所以与之间插入个2，
……
则的前项，由个，构成，
所以.
例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以数列为首项为1，公比为的等比数列，
所以，
所以当时，
，
所以，
所以当时，，又也满足该关系，
所以数列的通项公式为；
（2）数列中在之前共有项，
当时，，当时
例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.
【答案】(1)
(2)1809
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（ ）
A．43B．44C．75D．76
【答案】C
【详解】在，之间插入个1，构成数列，
所以共有个数，
当时，，
当时，，
由于，
所以．
故选：D.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
【答案】C
【详解】插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个．
，
∵，
∴
，
又数列的前13项和为
，
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（ ）
A．387B．388C．389D．390
【答案】A
【详解】∵数列满足，
∴，，，，，，
∵在任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，
∴其中，之间插入2个3，，之间插入4个3，，之间插入8个3，，之间插入16个3，，之间插入32个3，，之间插入64个3，
又，，
∴数列的前70项含有前6项和64个3，
故．
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
【答案】A
【详解】解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，
所以，
即，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
是以，所以，
则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，
所以经过11次拓展后6所在的位置为第，
所以.
故选：A.
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（ ）．
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C．
D．
【答案】BC
【详解】设该等比数列为，公比为，则，，故，
所以，故A错误；
因为，故B正确；
，
要证，即证，即证，
即证，即证，而，故C正确；
而，
因，
所以，，所以即,
所以，D错误.
故选：BC．
三、填空题
6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时， .
【答案】7
【详解】由等差数列的性质可知得，
则，当且仅当时取等号，此时，，
所以所以，因此，可得．
故答案为：7
7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 ．
【答案】370
【详解】因为与之间插入个4，
，，，，，
其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，
，之间插入32个4，由于，，
故数列的前60项含有的前5项和55个4，
故.
故答案为：370.
四、解答题
8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，即，
当时，，即，
又因为是等比数列，
所以的公比为3，且，即，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以令，①
所以，②
①②：
所以，
因为，
所以.
9．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意，，在数列中，当时，成等差数列，所以，即，
所以时，，又由知时，成立，
即对任意正整数均有，
所以，从而，
即数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，，在数列中，，所以.
假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，化简得，
因为成等差数列，所以，所以，化简得，
又，所以，即，所以，所以，这与题设矛盾，所以假设不成立，
所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由数列的前n项和为，且，
当时，，
所以，
当时，，不符合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）解：保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，
则新数列的前100项为3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，， ，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则
．
11．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足
(1)求数列，的通项公式;
(2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.
【答案】(1)，
(2)4090
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意，，所以
①
当时，②，
①-②可得，，
当时，适合，
所以
.
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc27030" 一、典型题型 PAGEREF _Tc27030 \h 1
\l "_Tc28087" 题型一：插入新数列构成等差 PAGEREF _Tc28087 \h 1
\l "_Tc27898" 题型二：插入新数列构成等比 PAGEREF _Tc27898 \h 3
\l "_Tc23663" 题型三：插入新数混合 PAGEREF _Tc23663 \h 4
\l "_Tc21960" 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 PAGEREF _Tc21960 \h 5
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.
例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.
(1)求及数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
题型二：插入新数列构成等比
例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（ ）
A．30B．91C．273D．820
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于 .
例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论 成立．
例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题
(1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn ．
(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．
例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
题型三：插入新数混合
例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．
例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（ ）
A．43B．44C．75D．76
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
3．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（ ）
A．387B．388C．389D．390
4．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（ ）．
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C．
D．
三、填空题
6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时， .
7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 ．
四、解答题
8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项；
11．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足
(1)求数列，的通项公式;
(2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.
12．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.
专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc27030" 一、典型题型 PAGEREF _Tc27030 \h 1
\l "_Tc28087" 题型一：插入新数列构成等差 PAGEREF _Tc28087 \h 1
\l "_Tc27898" 题型二：插入新数列构成等比 PAGEREF _Tc27898 \h 5
\l "_Tc23663" 题型三：插入新数混合 PAGEREF _Tc23663 \h 7
\l "_Tc21960" 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 PAGEREF _Tc21960 \h 11
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由①
得时②
①-②得，①中令得，
是以为首项，为公比的等比数列，，
（2）
假设存在这样的三项成等比数列，
为递增数列，不妨设，
则
则，
成等差数列，
，，
由，得，所以，与题设矛盾
不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.
例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是数列的第8项．
【详解】（1）设数列的公差为．
由题意可知，，，于是．
因为，所以，所以．
所以．
所以数列的通项公式是．
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则．
令，解得．
所以是数列的第8项．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，，
因为，所以，解得或（舍去），
因为，所以，
即，解得或（舍去），
所以；
（2）由题意可得，，
则，
故数列单调递增，不难发现，
故满足题意的m的最小值为6.
例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
当时，有，则①，
当时，，两式相减可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比数列的通项公式为；
（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，设公差为，
所以
则，
设，则是递增数列，
当n为偶数时，恒成立，即，所以；
当n为奇函数时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是．
例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.
(1)求及数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）由题意，当时，，解得，
当时，，即，解得，
当时，由，可得，两式相减，可得，
整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，.
（2）由（1）可得，，，
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
则有，
∴，∴，
∴，
，
两式相减得，
∴.
题型二：插入新数列构成等比
例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（ ）
A．30B．91C．273D．820
【答案】C
【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，
所以，则由，得，
即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，
其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，
且，
所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于 .
【答案】27
【详解】依题意，，所以，所以或（舍去），
所以.
故答案为：
例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论 成立．
【答案】
【详解】因为，，，…，，成等比数列，
则，
则
则，即.
故答案为：.
例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题
(1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn ．
(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），，
，解得．
；
（2）设此等比数列的公比为q，∴， 解得：．
例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，，证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意，，
在数列中，
当时， 成等差数列，
∴，
即，即，即.
∴，
猜想.
下面我们证明.
∵，
∴，
∵当时，，
∴对任意正整数，均有，
∴，
∴，
∴，
即数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，
在数列中，，
∴.
假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，
化简得，
∵成等差数列，
∴，
∴，化简得，
又，
∴，即，
∴，
∴，这与题设矛盾，所以假设不成立，
∴在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
题型三：插入新数混合
例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，当时，递推得，
∴，，
因为数列各项均为正数，所以，又∵，
∴数列为等差数列，故．
（2）设和插入的个数构成一组数，
则前组共有个数，
令，又，解得：；
当时，，
∴的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，
∴
．
例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，解得（舍去），
由得时，，
两式相减得，
因为，所以，
所以是等差数列，首项为4，公差为3，
所以；
（2）由于，
因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，
所求和为.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
【答案】(1)
(2)
(3)2226
【详解】（1）由题意，可得，所以，
解得或（舍），则，
又，所以.
（2）由，得，
所以，，，
因为数列为等差数列，所以，解得，
所以当时，，由（常数）知此时数列为等差数列.
（3）因为，所以与之间插入个2，
，所以与之间插入个2，
，所以与之间插入个2，
……
则的前项，由个，构成，
所以.
例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以数列为首项为1，公比为的等比数列，
所以，
所以当时，
，
所以，
所以当时，，又也满足该关系，
所以数列的通项公式为；
（2）数列中在之前共有项，
当时，，当时
例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.
【答案】(1)
(2)1809
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（ ）
A．43B．44C．75D．76
【答案】C
【详解】在，之间插入个1，构成数列，
所以共有个数，
当时，，
当时，，
由于，
所以．
故选：D.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
【答案】C
【详解】插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个．
，
∵，
∴
，
又数列的前13项和为
，
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（ ）
A．387B．388C．389D．390
【答案】A
【详解】∵数列满足，
∴，，，，，，
∵在任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，
∴其中，之间插入2个3，，之间插入4个3，，之间插入8个3，，之间插入16个3，，之间插入32个3，，之间插入64个3，
又，，
∴数列的前70项含有前6项和64个3，
故．
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
【答案】A
【详解】解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，
所以，
即，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
是以，所以，
则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，
所以经过11次拓展后6所在的位置为第，
所以.
故选：A.
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（ ）．
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C．
D．
【答案】BC
【详解】设该等比数列为，公比为，则，，故，
所以，故A错误；
因为，故B正确；
，
要证，即证，即证，
即证，即证，而，故C正确；
而，
因，
所以，，所以即,
所以，D错误.
故选：BC．
三、填空题
6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时， .
【答案】7
【详解】由等差数列的性质可知得，
则，当且仅当时取等号，此时，，
所以所以，因此，可得．
故答案为：7
7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为 ．
【答案】370
【详解】因为与之间插入个4，
，，，，，
其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，
，之间插入32个4，由于，，
故数列的前60项含有的前5项和55个4，
故.
故答案为：370.
四、解答题
8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，即，
当时，，即，
又因为是等比数列，
所以的公比为3，且，即，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以令，①
所以，②
①②：
所以，
因为，
所以.
9．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意，，在数列中，当时，成等差数列，所以，即，
所以时，，又由知时，成立，
即对任意正整数均有，
所以，从而，
即数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，，在数列中，，所以.
假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，化简得，
因为成等差数列，所以，所以，化简得，
又，所以，即，所以，所以，这与题设矛盾，所以假设不成立，
所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由数列的前n项和为，且，
当时，，
所以，
当时，，不符合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）解：保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，
则新数列的前100项为3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，， ，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则
．
11．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足
(1)求数列，的通项公式;
(2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.
【答案】(1)，
(2)4090
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意，，所以
①
当时，②，
①-②可得，，
当时，适合，
所以
.
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