2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

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\l "_Tc218" 二、典型题型 PAGEREF _Tc218 \h 2
\l "_Tc2744" 题型一：构造法 PAGEREF _Tc2744 \h 2
\l "_Tc28991" 题型二：倒数法 PAGEREF _Tc28991 \h 4
\l "_Tc29364" 三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 PAGEREF _Tc29364 \h 5
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列的前项和.
(1)求
5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
题型二：倒数法
1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.
2．（2023高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.
3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知数列有递推关系
(1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；
(2)求的通项公式.
4．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列中，，
（1）证明：数列是等比数列
6．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为 .
7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式.
8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知满足.
(1)证明：数列为等比数列；
9．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
11．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．
(1)求的通项公式；
12．（23-24高二上·福建莆田·期末）设数列的前项和为，已知，且
(1)求数列的通项公式;
专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25464" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc25464 \h 1
\l "_Tc218" 二、典型题型 PAGEREF _Tc218 \h 2
\l "_Tc2744" 题型一：构造法 PAGEREF _Tc2744 \h 2
\l "_Tc28991" 题型二：倒数法 PAGEREF _Tc28991 \h 4
\l "_Tc29364" 三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 PAGEREF _Tc29364 \h 7
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
【详解】（1）因为，所以又，
所以，
所以是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以.
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）变形得到是以2为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式；
【详解】（1）由两边同时除以，可得，
所以，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）由已知条件构造等比数列，根据等比数列的通项公式，即可求得结果；
【详解】（1）由已知，所以，又，
所以数列是首项为，公比的等比数列，
所以，即 .
4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列的前项和.
(1)求
【答案】(1)
【分析】（1）由题意列方程，求出数列的首项和公差，求出，可得，变形后构造等比数列，即可求得答案；
【详解】（1）因为成等比数列，所以，
设等差数列的公差为，，所以，
解得，
，
，
对上式两边同时除以得:，即
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，即；
5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解；
【详解】（1）由，即，
可得，且，故，
可知是首项为2，公比为的等比数列，
则，即，
所以数列的通项公式为.
题型二：倒数法
1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.
【答案】
【分析】取倒数后得到是等差数列，求出，得到通项公式.
【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，
，
∴.
2．（2023高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】将代入已知可得，进而推得，即可得出数列是等差数列，写出通项即可得出答案.
【详解】将代入已知可得.
因为，所以，
所以有，所以.
又，
所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，
所以，.
3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知数列有递推关系
(1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；
(2)求的通项公式.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意整理可得，即，运算求解即可；
（2）取，可得，利用构造法结合等比数列求通项公式.
【详解】（1）因为，且，
所以，
则，解得或；
（2）由（1）可得：当时，则，且，
可得，
则，且，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，则，
故.
4．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列中，，
（1）证明：数列是等比数列
【答案】（1）证明见解析 ；
【解析】（1）由可得，然后可得答案；
【详解】（1）证明：由，知
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列
5．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，．求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析；
【分析】根据等差数列的定义证明，然后利用等差数列的通项公式求解．
【详解】
，
且所以，数列是等差数列，且首项为1，公差为1，
．
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和 ．
【答案】502
【分析】根据取倒数构造等比数列，结合等比数列求和公式即可得到答案.
【详解】由，取倒数得，
所以，
因为，所以，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以数列的前8项和.
故答案为：502
2．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .
【答案】
【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得.
【详解】数列中，，，显然，取倒数得，
即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，
因此，所以.
故答案为：.
3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】
在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式.
【分析】因为数列满足，且，则，
，，
以此类推可知，对任意的，，
在等式两边取倒数可得，则，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，，所以，.
故答案为：.
4．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ．
【答案】19
【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得.
【详解】∵，则，
∴，∴故数列为等差数列，公差等于2，
又，故，
∴.
故答案为：19．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
6．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为 .
【答案】
【分析】对取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.
【详解】对两边取倒数得，即，
当时，，，，，，
将以上各式累加得，又，
所以，所以，当时，也满足，所以.
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】根据题意先证数列为等比数列，再结合等比数列的通项公式分析求解.
【详解】因为，且，可知，
则，可得，
且，
可知数列是首项为2，公比为4的等比数列，
可得，所以.
8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知满足.
(1)证明：数列为等比数列；
【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求得数列的通项公式；
【详解】（1）解：因为数列满足，，则，
且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为，
所以，，则.
10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由得，得数列以为首项以3为公比的等比数列，由等比数列求通项即可.
【详解】（1）当时，，得，
当时，
，
所以，变形得，即，
数列以为首项以3为公比的等比数列，
所以，即
11．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由可得，由等比数列定义可得是首项为2，公比为2的等比数列，即可得的通项公式，即可得；
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，即；
12．（23-24高二上·福建莆田·期末）设数列的前项和为，已知，且
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
【分析】（1）计算，根据得到，变换，确定是首项为，公比为的等比数列，计算得到答案.
【详解】（1），则，故，
当时，，，
两式相减得到，即，则，
，故是首项为，公比为的等比数列，
，故，
时满足，故.